Nauka » Matematyka » Równanie wymierne

Zadanie maturalne nr 7, matura 2021 (poziom rozszerzony)

Treść zadania:

Rozwiąż nierówność \(\frac{2x-1}{1-x}\leq \frac{2+2x}{5x}\).

Rozwiązanie zadania

Nierówność \(\frac{2x-1}{1-x}\leq \frac{2+2x}{5x}\) ma sens, gdy \(x\neq 1\) oraz \(x\neq 0\).

Przekształcamy nierówność:

\(\frac{2x-1}{1-x}\leq \frac{2+2x}{5x}\)

\(\frac{2x-1}{1-x}- \frac{2+2x}{5x}\leq 0\)

\(\frac{(2x-1)5x}{(1-x)5x}- \frac{(2+2x)(1-x)}{5x(1-x)}\leq 0\)

\(\frac{(2x-1)5x-(2+2x)(1-x)}{(1-x)5x}\leq 0\)

\(\frac{10x^2-5x-2+2x-2x+2x^2}{(1-x)5x}\leq 0\)

\(5x(1-x)(12x^2-5x-2)\leq 0\)

Rozkładamy na czynniki trójmian kwadratowy:

\(\Delta=25+8\cdot 12=121\)

\(x_1=\frac{5-11}{24}=-\frac{1}{4}\)

\(x_2=\frac{5+11}{24}=\frac{2}{3}\)

\(5x(1-x)(x-\frac{2}{3})(x+\frac{1}{4})\leq 0\)

\(5x\cdot (-1)(x-1)(x-\frac{2}{3})(x+\frac{1}{4})\leq 0/:(-5)\)

\(x(x-1)(x-\frac{2}{3})(x+\frac{1}{4})\geq 0\)

Zaznaczamy miejsca zerowe otrzymanego wielomianu na osi.

Rysunek

Stąd odczytujemy odpowiedź:

Odpowiedź

\(x\in (-\infty;\frac{1}{4}\rangle\cup \langle 0;\frac{2}{3}\rangle \cup \langle 1;\infty)\)

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1 — maturalne.

Równanie wymierne \(\frac{3x-1}{x+5}=3\), gdzie \(x\neq -5\),

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

D. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

Równanie \(\frac{x-1}{x+1}=x-1\):

A. ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=1\).

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=0\).

C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=-1\).

D. ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0, x=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Równanie \(\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0\) ma:

A. ma trzy rozwiązania \(x=-2, x=0, x=2\)

B. ma dwa rozwiązania \(x=0, x=2\)

C. ma dwa rozwiązania \(x=-2, x=2\)

D. ma jedno rozwiązanie \(x=0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Równanie \((x-1)(x+2)/(x-3)=0\)

A. ma trzy różne rozwiązania: \(x=1, x=3, x=-2\).

B. ma trzy różne rozwiązania: \(x=-1, x=-3, x=2\).

C. ma dwa różne rozwiązania: \(x=1, x=-2\).

D. ma dwa różne rozwiązania: \(x=-1, x=2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Rozwiąż równanie \((3x+2)/(3x-2)=4-x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie \(\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}\) w zbiorze liczb rzeczywistych

A. nie ma rozwiązania.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: -1.

C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: 1.

D. ma dokładnie dwa rozwiązania: -1 oraz 1.

Pokaż rozwiązanie zadania.