Układ równań algebraicznych

Układ równań algebraicznych o dwóch niewiadomych x, y jest to układ w postaci:

$\begin{cases}A(x,y)=0\\B(x,y)=0\end{cases}$

gdzie są wielomianami dwóch zmiennych.

Przykład

Przykład takiego układu równań.
$\begin{cases}x^2+y^3_xy+y^2x-x+y+2=0\\-xy-x^5+y^4=0\end{cases}$

Układy równań algebraicznych rozwiązujemy metodą analizy starożytnych, metodą równań równoważnych pod względem logicznym, a pod względem rachunkowym zwykle eliminujemy jedną ze zmiennych w równaniu układu albo stosujemy pomocnicze niewiadome.

Układy równań algebraicznych stopnia wyższego niż 2 bywają bardzo trudne do rozwiązania. Tutaj przytoczę tylko prosty przykład układu równań algebraicznych.

Przykład rozwiązania układu równań algebraicznych

Rozwiąż układ równań algebraicznych:

$\begin{cases}x^2-3xy+y^2=1\\xy=3\end{cases}$

Z drugiego równania wyznaczamy $y=\frac{3}{x}$ i podstawiamy do pierwszego równania. Otrzymujemy
$x^2-3x(\frac{3}{x})+\frac{9}{x^2}-1=0\\x^2-10+\frac{9}{x^2}=0\\\frac{x^4}{x^2}-\frac{10x^2}{x^2}+\frac{9}{x^2}=0\\\frac{x^4-10x^2+9}{x^2}=0$

Ułamek jest równy zeru, jeżeli jego licznik jest zerem. Możemy więc zapisać, że:
x^4-10x^2+9=0
Jest to równanie dwukwadratowe. Stosujemy podstawienie t=x^2 i otrzymujemy
$t^2-10t+9=0\\\Delta=100-36=64\\t_1=1\\t_2=9\\t_1=x^2=1,\quad{t_2}=x^2=9\\x_1=1,\quad{x_2=-1},\quad{x_3}=3,\quad{x_4}=-3$
Otrzymane wartości podstawiamy do równania $y=\frac{3}{x}$ i otrzymujemy
$y_1=3,\quad{y_2}=-3,\quad{y_3}=1,\quad{y_4}=-1$

Odpowiedź: Rozwiązaniem badanego układu równań są pary liczb (1,3), (-1, -3), (3,1), (-3, -1)