Układ równań algebraicznych

Przykład takiego układu równań.

\(\begin{cases}x^2+y^3x+y^2x-x+y+2=0\\-xy-x^5+y^4=0\end{cases}\)

Rozwiąż układ równań algebraicznych:

\(\begin{cases}x^2-3xy+y^2=1\\xy=3\end{cases}\)

Z drugiego równania wyznaczamy \(y=\frac{3}{x}\) i podstawiamy do pierwszego równania. Otrzymujemy:

\(x^2-3x(\frac{3}{x})+\frac{9}{x^2}-1=0\)

\(x^2-10+\frac{9}{x^2}=0\)

\(\frac{x^4}{x^2}-\frac{10x^2}{x^2}+\frac{9}{x^2}=0\)

\(\frac{x^4-10x^2+9}{x^2}=0\)

Ułamek jest równy zeru, jeżeli jego licznik jest zerem. Możemy więc zapisać, że:

\(x^4-10x^2+9=0\)

Jest to równanie dwukwadratowe. Stosujemy podstawienie \(t=x^2\) i otrzymujemy:

\(t^2-10t+9=0\)

\(\Delta=100-36=64\)

\(t_1=1\)

\(t_2=9\)

\(t_1=x^2=1, t_2=x^2=9\)

\(x_1=1, x_2=-1, x_3=3, x_4=-3\)

Otrzymane wartości podstawiamy do równania \(y=\frac{3}{x}\) i otrzymujemy \(y_1=3,\quad{y_2}=-3,\quad{y_3}=1,\quad{y_4}=-1\).

Odpowiedź: Rozwiązaniem badanego układu równań są pary liczb \((1,3), (-1, -3), (3,1), (-3, -1)\).