Układ równań algebraicznych

Układ równań algebraicznych o dwóch niewiadomych \(x, y\) jest to układ w postaci:

\(\begin{cases}A(x,y)=0\\B(x,y)=0\end{cases}\)

gdzie \(A(x,y),B(x,y)\) są wielomianami dwóch zmiennych.

Przykład

Przykład takiego układu równań.

\(\begin{cases}x^2+y^3xy+y^2x-x+y+2=0\\-xy-x^5+y^4=0\end{cases}\)

Układy równań algebraicznych rozwiązujemy metodą analizy starożytnych, metodą równań równoważnych pod względem logicznym, a pod względem rachunkowym zwykle eliminujemy jedną ze zmiennych w równaniu układu albo stosujemy pomocnicze niewiadome.

Układy równań algebraicznych stopnia wyższego niż drugi, bywają bardzo trudne do rozwiązania. Tutaj przytoczymy tylko prosty przykład układu równań algebraicznych.

Przykład rozwiązania układu równań algebraicznych

Rozwiąż układ równań algebraicznych:

\(\begin{cases}x^2-3xy+y^2=1\\xy=3\end{cases}\)

Z drugiego równania wyznaczamy \(y=\frac{3}{x}\) i podstawiamy do pierwszego równania. Otrzymujemy:

\(x^2-3x(\frac{3}{x})+\frac{9}{x^2}-1=0\)

\(x^2-10+\frac{9}{x^2}=0\)

\(\frac{x^4}{x^2}-\frac{10x^2}{x^2}+\frac{9}{x^2}=0\)

\(\frac{x^4-10x^2+9}{x^2}=0\)

Ułamek jest równy zeru, jeżeli jego licznik jest zerem. Możemy więc zapisać, że:

\(x^4-10x^2+9=0\)

Jest to równanie dwukwadratowe. Stosujemy podstawienie \(t=x^2\) i otrzymujemy:

\(t^2-10t+9=0\)

\(\Delta=100-36=64\)

\(t_1=1\)

\(t_2=9\)

\(t_1=x^2=1, t_2=x^2=9\)

\(x_1=1, x_2=-1, x_3=3, x_4=-3\)

Otrzymane wartości podstawiamy do równania \(y=\frac{3}{x}\) i otrzymujemy \(y_1=3,\quad{y_2}=-3,\quad{y_3}=1,\quad{y_4}=-1\).

Odpowiedź: Rozwiązaniem badanego układu równań są pary liczb \((1,3), (-1, -3), (3,1), (-3, -1)\).

Inne zagadnienia z tej lekcji

Równanie wielomianowe

Nierówność wielomianowa