Układ równań algebraicznych

Teoria Układ równań algebraicznych o dwóch niewiadomych x, y jest to układ w postaci:

\begin{cases}A(x,y)=0\\B(x,y)=0\end{cases}

gdzie A(x,y),B(x,y) są wielomianami dwóch zmiennych.

Przykład Przykład

Przykład takiego układu równań.
\begin{cases}x^2+y^3_xy+y^2x-x+y+2=0\\-xy-x^5+y^4=0\end{cases}


Teoria Układy równań algebraicznych rozwiązujemy metodą analizy starożytnych, metodą równań równoważnych pod względem logicznym, a pod względem rachunkowym zwykle eliminujemy jedną ze zmiennych w równaniu układu albo stosujemy pomocnicze niewiadome.

Układy równań algebraicznych stopnia wyższego niż 2 bywają bardzo trudne do rozwiązania. Tutaj przytoczę tylko prosty przykład układu równań algebraicznych.

Przykład rozwiązania układu równań algebraicznych

Rozwiąż układ równań algebraicznych:

\begin{cases}x^2-3xy+y^2=1\\xy=3\end{cases}

Z drugiego równania wyznaczamy y=\frac{3}{x} i podstawiamy do pierwszego równania. Otrzymujemy
x^2-3x(\frac{3}{x})+\frac{9}{x^2}-1=0\\x^2-10+\frac{9}{x^2}=0\\\frac{x^4}{x^2}-\frac{10x^2}{x^2}+\frac{9}{x^2}=0\\\frac{x^4-10x^2+9}{x^2}=0

Ułamek jest równy zeru, jeżeli jego licznik jest zerem. Możemy więc zapisać, że:
x^4-10x^2+9=0
Jest to równanie dwukwadratowe. Stosujemy podstawienie t=x^2 i otrzymujemy
t^2-10t+9=0\\\Delta=100-36=64\\t_1=1\\t_2=9\\t_1=x^2=1,\quad{t_2}=x^2=9\\x_1=1,\quad{x_2=-1},\quad{x_3}=3,\quad{x_4}=-3
Otrzymane wartości podstawiamy do równania y=\frac{3}{x} i otrzymujemy
y_1=3,\quad{y_2}=-3,\quad{y_3}=1,\quad{y_4}=-1

Odpowiedź: Rozwiązaniem badanego układu równań są pary liczb (1,3), (-1, -3), (3,1), (-3, -1)





© medianauka.pl, 2009-08-19, ART-289





Polecamy w naszym sklepie

Kolorowe skarpetki urodzinowe
Liczby, ich dzieje, rodzaje, własności
Tuba Pitagorasa
Czy kości grają rolę Boga? Matematyka niepewności
Matematyka konkretna
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2022 r.