Metoda analizy starożytnych

Rozwiązać równanie \(\sqrt{2x-1}=x\).

Nie zastosujemy tutaj metody równań równoważnych, gdyż dodanie do obu stron równania liczby lub pomnożenie ich przez daną liczbę niczego nie da. Możemy jednak podnieść obie strony równania do drugiej potęgi. (Skoro dwie liczby są równe, to ich kwadraty też są równe). Otrzymujemy wówczas: \(2x-1=x^2\).

Dalej przekształcamy równanie (przenosimy \(x^2\) na lewą stronę równania):

\(-x^2+2x-1=0/\cdot (-1)\)

\(x^2-2x+1=0\)

\((x-1)^2=0\)

\(x=1\)

Sprawdzenie, czy jest to pierwiastek obcy poprzez podstawienie wyniku do równania wyjściowego:

\(\sqrt{2\cdot 1-1}=1\)

\({1=1}\)

Zatem liczba 1 jest rozwiązaniem rozpatrywanego równania.

Rozwiązać równanie: \(\sqrt{2x^2-1}=x\).

\(\sqrt{2x^2-1}=x/^2\)

\(2x^2-1=x^2\)

\(x^2-1=0\)

\((x-1)(x+1)=0\)

\(x=1\) lub \(x=-1\)

Sprawdzenie:

Podstawiamy pierwszy pierwiastek równania wynikowego:

\(\sqrt{2\cdot 1^2-1}=1\)

\(1=1\)

Zatem liczba \(1\) jest rozwiązaniem rozpatrywanego równania. Podstawiamy drugi pierwiastek równania wynikowego:

\(\sqrt{2\cdot (-1)^2-1}=-1\)

\(1=-1\)

Zatem liczba \((-1)\) nie jest rozwiązaniem równania wyjściowego.

Warto zauważyć, że dziedziną nierówności są liczby nieujemne, bo lewa strona jest nieujemna. To automatycznie eliminuje pierwiastek \(x=-1\).

Odpowiedź: \(x=1\).