Rozwiązywanie równań
Metoda równań równoważnych
Metoda równań równoważnych polega na przekształcaniu równania w taki sposób, aby każde kolejne było równoważne danemu i łatwiejsze do rozwiązania. Możemy korzystać z następujących twierdzeń:
Twierdzenie
Dla każdego c prawdziwa jest równoważność: .
Z powyższego twierdzenia wynika, że do obu stron równania możemy dodać dowolną liczbę lub całe wyrażenie i otrzymamy równanie równoważne. Jeżeli od każdej ze stron równania odejmujemy liczbę, to korzystamy wówczas z tego samego twierdzenia (dodajemy liczbę przeciwną do obu stron równania).
Przykład
Dane jest równanie: .
Jeżeli do obu stron równania dodamy liczbę 2, to otrzymamy:
Otrzymaliśmy równanie równoważne. Wygląda tak, jakbyśmy liczbę 2 z prawej strony równania przenieśli ze znakiem przeciwnym na lewą stronę równania.
Często zamiast mówić, że do obu stron dodajemy wyrażenie lub liczbę mówimy, że przenosimy je na drugą stronę równania ze znakiem "minus". Przenosić możemy liczby, niewiadomą i całe wyrażenia.
Przykład
Rozwiązać równanie:
Do obu stron równania dodajemy liczbę 3 (lub łatwiej powiedzieć: przenosimy liczbę 3 na drugą stronę):
Do obu stron równania dodajemy -2x (lub łatwiej powiedzieć: przenosimy 2x na drugą stronę):
Otrzymaliśmy rozwiązanie:
Dobrym zwyczajem jest dokonanie sprawdzenia poprawności wyniku. Wystarczy za niewiadomą x do równania wyjściowego podstawić wynik.
Sprawdzenie:
Animacja
Twierdzenie
Dla każdego prawdziwa jest równoważność:
Z powyższego twierdzenia wynika, że obie strony równania możemy pomnożyć (a więc i podzielić, czyli pomnożyć przez odwrotność tej liczby) przez dowolną liczbę różną od zera lub całe wyrażenie, które nie przyjmuje wartości zero i otrzymamy wówczas równanie równoważne.
Aby śledzić tok rachunków, działanie takie zwykle zapisujemy za równaniem po ukośniku.
Przykład
Rozwiązujemy równanie: (dzielimy obie strony równania przez 3)
Pytania
Jak rozwiązać równanie?
Poniżej przedstawiamy linki do artykułów, w których pokazujemy jak rozwiązujemy różne typy równań:
- Jak rozwiązać równanie liniowe?
- Jak rozwiązać równanie kwadratowe?
- Jak rozwiązać równanie algebraiczne?
- Jak rozwiązać równanie wykładnicze?
- Jak rozwiązać równanie logarytmiczne?
- Jak rozwiązać równanie trygonometryczne?
- Jak rozwiązać równanie pierwiastkowe?
- Jak rozwiązać równanie wymierne?
© medianauka.pl, 2009-06-22, ART-240
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Rozwiązywanie równań
Zadanie - cegła, równanie z jedną niewiadomą
Cegła waży kilogram i pół cegły. Ile waży cegła?
Inne zagadnienia z tej lekcji

Równanie - wiadomości podstawowe

Nierówność - wiadomości podstawowe

Metoda nierówności równoważnych polega na ich przekształcaniu w tak, aby każde kolejne było równoważne i łatwiejsze do rozwiązania.

Metoda analizy starożytnych polega na przekształcaniu równania tak, aby otrzymać równanie łatwiejsze i spełniające rozwiązania równania wyjściowego.

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.