Rozwiązywanie równań

Metoda równań równoważnych

Metoda równań równoważnych polega na przekształcaniu równania w taki sposób, aby każde kolejne było równoważne danemu i łatwiejsze do rozwiązania. Możemy korzystać z następujących twierdzeń:

Twierdzenie

Dla każdego c prawdziwa jest równoważność: $a=b\Leftrightarrow{a+c=b+c}$ .

Z powyższego twierdzenia wynika, że do obu stron równania możemy dodać dowolną liczbę lub całe wyrażenie i otrzymamy równanie równoważne. Jeżeli od każdej ze stron równania odejmujemy liczbę, to korzystamy wówczas z tego samego twierdzenia (dodajemy liczbę przeciwną do obu stron równania).

Przykład

Dane jest równanie: .
Jeżeli do obu stron równania dodamy liczbę 2, to otrzymamy:

Otrzymaliśmy równanie równoważne. Wygląda tak, jakbyśmy liczbę 2 z prawej strony równania przenieśli ze znakiem przeciwnym na lewą stronę równania.

Często zamiast mówić, że do obu stron dodajemy wyrażenie lub liczbę mówimy, że przenosimy je na drugą stronę równania ze znakiem "minus". Przenosić możemy liczby, niewiadomą i całe wyrażenia.

Przykład

Rozwiązać równanie:
Do obu stron równania dodajemy liczbę 3 (lub łatwiej powiedzieć: przenosimy liczbę 3 na drugą stronę):
$3x=2x-1+3\\{3x=2x+2}$
Do obu stron równania dodajemy -2x (lub łatwiej powiedzieć: przenosimy 2x na drugą stronę):
$3x-2x=2\\{x=2}$
Otrzymaliśmy rozwiązanie:

Dobrym zwyczajem jest dokonanie sprawdzenia poprawności wyniku. Wystarczy za niewiadomą x do równania wyjściowego podstawić wynik.
Sprawdzenie:
$3\cdot{2-3=2{\cdot}2-1}\\{3=3}$

Animacja

Animacja

Twierdzenie

Dla każdego $c\neq{0}$ prawdziwa jest równoważność: $a=b\Leftrightarrow{a}\cdot{c=b}\cdot{c}$

Z powyższego twierdzenia wynika, że obie strony równania możemy pomnożyć (a więc i podzielić, czyli pomnożyć przez odwrotność tej liczby) przez dowolną liczbę różną od zera lub całe wyrażenie, które nie przyjmuje wartości zero i otrzymamy wówczas równanie równoważne.
Aby śledzić tok rachunków, działanie takie zwykle zapisujemy za równaniem po ukośniku.

Przykład

Rozwiązujemy równanie:
$3x=6\quad{/:3}$ (dzielimy obie strony równania przez 3)

Pytania

Jak rozwiązać równanie?

Poniżej przedstawiamy linki do artykułów, w których pokazujemy jak rozwiązujemy różne typy równań:

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Rozwiązywanie równań

Zadanie - cegła, równanie z jedną niewiadomą
Cegła waży kilogram i pół cegły. Ile waży cegła?

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Równanie
Równanie - wiadomości podstawowe

Nierówność
Nierówność - wiadomości podstawowe

Rozwiązywanie nierówności
Metoda nierówności równoważnych polega na ich przekształcaniu w tak, aby każde kolejne było równoważne i łatwiejsze do rozwiązania.

Metoda analizy starożytnych
Metoda analizy starożytnych polega na przekształcaniu równania tak, aby otrzymać równanie łatwiejsze i spełniające rozwiązania równania wyjściowego.

Test wiedzy
Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.