Równania trygonometryczne
Definicja
Równanie trygonometryczne jest to równanie, w którym niewiadome występują wyłącznie pod znakami funkcji trygonometrycznych.
Przykład
Oto przykłady równań trygonometrycznych:
Rozwiązania równań trygonometrycznych
Rozwiązaniem równania trygonometrycznego możne być kąt skierowany lub w innej interpretacji miara kąta skierowanego. Mówimy więc o dwóch interpretacjach rozwiązania równania trygonometrycznego i dwóch nowych pojęciach:
Rozwiązanie podstawowe równania trygonometrycznego jest to zbiór wszystkich kątów skierowanych spełniających dane równanie.
Rozwiązanie ogólne równania trygonometrycznego jest to zbiór wszystkich miar kątów skierowanych spełniających dane równanie.
Przykład
Rozwiążemy równanie trygonometryczne .
Sporządzamy koło trygonometryczne:

Jeżeli a jest liczbą mniejszą od 1 i większą od -1 (czyli |a|<1), to odpowiednia prosta (zaznaczona liczbą przerywaną na rysunku) przecina koło trygonometryczne w dwóch punktach: A1, A2, wyznaczając dwa kąty, które spełniają równanie. Kąty te można wyrazić za pomocą miary głównej. Otrzymujemy więc rozwiązanie podstawowe: .
Wszystkie miary stopniowe danego kąta otrzymamy, jeśli do miary tego kąta dodamy dowolną całkowitą wielokrotność miary kąta pełnego. Mamy więc rozwiązanie ogólne: .
Jeżeli a>1 lub a< -1, czyli |a|>1 to równanie to nie ma rozwiązań. (odpowiednia prosta nie przecina koła trygonometrycznego (patrz rysunek).

Jeżeli a=1, to:

mamy wówczas jedno rozwiązanie podstawowe i rozwiązanie ogólne:
.
Jeżeli a=-1, to:

mamy wówczas jedno rozwiązanie podstawowe i rozwiązanie ogólne:
.
Reasumując:
Przypadek | Rozwiązanie podstawowe | Rozwiązanie ogólne |
---|---|---|
|a|>1 | brak rozwiązań | brak rozwiązań |
a=1 | ![]() | ![]() |
a=-1 | ![]() | ![]() |
|a|<1 | ![]() | ![]() |
Wzory trygonometryczne a równania trygonometryczne
Przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych bardzo często przydają się wzory trygonometryczne. Warto się z nimi zapoznać. Wzory trygonometryczne przedstawiamy i omawiamy tutaj.
Równania elementarne

nazywamy równaniami elementarnymi.
Rozwiązując równania trygonometryczne staramy się doprowadzić je do równania elementarnego. Powyżej pokazano sposób rozwiązania jednego z takich równań. W praktyce należy pamiętać rozwiązania równań elementarnych.
Poniżej zostały przedstawione rozwiązania wszystkich równań elementarnych:




x0 - najmniejsze dodatnie rozwiązanie
Gdy |a|>1, równania sinx=a, cosx=a nie mają rozwiązania.
Rozwiązania powyższe dobrze widać na wykresie:




Pytania
Jak rozwiązać równania trygonometryczne?
Na to pytanie odpowiadamy w kolejnym artykule: Rozwiązywanie równań trygonometrycznych.
Ile rozwiązań ma równanie trygonometryczne?
O ile równanie trygonometryczne posiada rozwiązanie, to często tych rozwiązań jest nieskończenie wiele, z uwagi na to, że funkcja trygonometryczna to funkcja okresowa.
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Równania trygonometryczne
Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a)
b)
Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a)
b)
c)
Zadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
Zadanie maturalne nr 7, matura 2018 (poziom rozszerzony)
Rozwiąż równanie 2cos2x+3sinx=0 w przedziale < -π/2; 3π/2>.
Inne zagadnienia z tej lekcji
Funkcje trygonometryczne sinus cosinus tangens

Definicja funkcji trygonometrycznych kąta ostrego: sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans.
Sinus cosinus tangens cotangens 0 30 45 60 90 stopni

Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów.
Nauka wartości funkcji trygonometrycznych

Nauka wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych on-line za pomocą darmowej aplikacji
Wzory trygonometryczne, tożsamości trygonometryczne

Podstawowe wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne) oraz przykłady ich stosowania.
Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne z omówieniem sposobu ich wyznaczania za pomocą koła trygonometrycznego.
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą podstawiania, z wykorzystaniem tożsamości trygonometrycznych, metody równań równoważnych i analizy starożytnych
Nierówności trygonometryczne

Nierówność trygonometryczna jest to nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznej.
© medianauka.pl, 2011-05-29, ART-1330