Równania trygonometryczne

Definicja

Równanie trygonometryczne jest to równanie, w którym niewiadome występują wyłącznie pod znakami funkcji trygonometrycznych.

Przykład

Oto przykłady równań trygonometrycznych:

$\sin(x-2)=1\\ \frac{1}{\sin{x}}-3=\cos{x}\\ tg{4x}=0$

Rozwiązaniem równania trygonometrycznego możne być kąt skierowany lub w innej interpretacji miara kąta skierowanego. Mówimy więc o dwóch interpretacjach rozwiązania równania trygonometrycznego i dwóch nowych pojęciach:

Rozwiązanie podstawowe równania trygonometrycznego jest to zbiór wszystkich kątów skierowanych spełniających dane równanie.

Rozwiązanie ogólne równania trygonometrycznego jest to zbiór wszystkich miar kątów skierowanych spełniających dane równanie.

Przykład

Rozwiążemy równanie $\sin{x}=a$ .

Sporządzamy koło trygonometryczne:

Jeżeli a jest liczbą mniejszą od 1 i większą od -1 (czyli |a|<1), to odpowiednia prosta (zaznaczona liczbą przerywaną na rysunku) przecina koło trygonometryczne w dwóch punktach: A₁, A₂, wyznaczając dwa kąty, które spełniają równanie. Kąty te można wyrazić za pomocą miary głównej. Otrzymujemy więc rozwiązanie podstawowe: $x_1=\alpha \, \ x_2=180^o-\alpha$ .

Wszystkie miary stopniowe danego kąta otrzymamy, jeśli do miary tego kąta dodamy dowolną całkowitą wielokrotność miary kąta pełnego. Mamy więc rozwiązanie ogólne: $x_1=\alpha +k\cdot 360^o \, \ x_2=180^o-\alpha+k\cdot 360^o, k\in C$ .

Jeżeli a>1 lub a< -1, czyli |a|>1 to równanie to nie ma rozwiązań. (odpowiednia prosta nie przecina koła trygonometrycznego (patrz rysunek).

Jeżeli a=1, to:

mamy wówczas jedno rozwiązanie podstawowe i rozwiązanie ogólne: $x=90^o+k\cdot 360^o,\ k\in C$ .

Jeżeli a=-1, to:

mamy wówczas jedno rozwiązanie podstawowe i rozwiązanie ogólne: $x=-90^o+k\cdot 360^o,\ k\in C$ .

Reasumując:

Przypadek	Rozwiązanie podstawowe	Rozwiązanie ogólne
\|a\|>1	brak rozwiązań	brak rozwiązań
a=1		$x=90^o+k\cdot 360^o,\ k\in C$
a=-1		$x=-90^o+k\cdot 360^o,\ k\in C$
\|a\|<1	$x=\alpha\ \vee \ x=180^o-\alpha$	$x=\alpha+k\cdot 360^o\ \vee \ x=180^o-\alpha+k\cdot 360^o,\ k\in C$

Równania elementarne

Równania:
$\sin{x}=a,\ \cos{x}=a,\ tgx=a,\ ctgx=a$
nazywamy równaniami elementarnymi.

Rozwiązując równania trygonometryczne staramy się doprowadzić je do równania elementarnego. Powyżej pokazano sposób rozwiązania jednego z takich równań. W praktyce należy pamiętać rozwiązania równań elementarnych.

Poniżej zostały przedstawione rozwiązania wszystkich równań elementarnych:

$(\sin{x}=a \ \wedge \ |a|\leq 1) \Leftrightarrow x=x_0+2k\pi \ \vee \ x=(\pi-x_0)+2k\pi,\ k\in C$
$(\cos{x}=a \ \wedge \ |a|\leq 1) \Leftrightarrow x=x_0+2k\pi \ \vee \ x=-x_0+2k\pi,\ k\in C$
$tgx=a \Leftrightarrow x=x_0+k\pi,\ k\in C$
$ctgx=a \Leftrightarrow x=x_0+k\pi, ,\ k\in C$

x₀ - najmniejsze dodatnie rozwiązanie
Gdy |a|>1, równania sinx=a, cosx=a nie mają rozwiązania.

Rozwiązania powyższe dobrze widać na wykresie: