Wykres funkcji cosinus

Wykresem funkcji cosinus jest cosinusoida. Aby sporządzić cosinusoidę w układzie kartezjańskim, skorzystamy z następujących własności funkcji cosinus.

  • Rozpatrujemy tutaj funkcję cosinus jako funkcję zmiennej rzeczywistej.
  • Okresem podstawowym funkcji cosinus jest \(T=2\pi\), tzn. że funkcja przypiera w odstępie co \(T\) te same wartości: \(\cos(x+2\pi)=\cos{x}\).
  • Maksymalna wartość funkcji cosinus to \(1\), minimalna to \(-1\).
  • Wartości funkcji cosinus pamiętamy z tabeli:

    \(\alpha\)\(0\)\(\frac{\pi}{6}\)\(\frac{\pi}{4}\)\(\frac{\pi}{3}\)\(\frac{\pi}{2}\)
    \(\sin{\alpha}\)\(0\)\(\frac{1}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(1\)
    \(\cos{\alpha}\)\(1\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{1}{2}\) \(0\)

    Skorzystamy też ze wzorów redukcyjnych, aby wyznaczyć wartości funkcji większe od tych zawartych w powyższej tabeli:

    \(\cos{(\frac{\pi}{2}+x)}=-\sin{x}\)
    \(\cos{(\pi+x)}=-\cos{x}\)

Sporządzamy wykres funkcji:

wykres funkcji cosinus

Własności funkcji \(y=\cos{x}\)

  • Dziedziną funkcji \(y=cosx\) jest zbiór liczb rzeczywistych.
  • Przeciwdziedziną funkcji \(y=\cos{x}\) jest przedział \([-1,1]\).
  • Okresem podstawowym funkcji jest \(2\pi\).
  • Jest to funkcja parzysta.
  • Miejsca zerowe funkcji: \(x_0=\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in \mathbb{Z}\).

WykresWykres funkcji

Poniższa symulacja pozwala obserwować zachowanie się wykresu funkcji \(y=a\cos{(bx+c)}\) w zależności od wartości współczynników \(a,b,c\).


Funkcja w postaci \(y = A\cos{(bx+φ)}, czyli \(y = \cos{x}\)

A 1

b 1

φ 0

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Znaleźć okres podstawowy funkcji \(y=\cos{4x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć okres podstawowy funkcji: \(y=\cos^4{x}-\sin^4{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).

Zadanie 2, matura z matematyki 2021

Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji \(f\).

A. \(f(x)=\frac{\cos{x}+1}{|\cos{|x|}+1}\)

B. \(f(x)=\frac{\sin{x}+1}{|\sin{|x|}+1}\)

C. \(f(x)=\frac{\cos{x}-2}{|\cos{|x|}-2}\)

D. \(f(x)=\frac{\sin{x}-2}{|\sin{|x|}-2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2011-04-10, A-1294
Data aktualizacji artykułu: 2023-07-22



©® Media Nauka 2008-2023 r.