Wzory redukcyjne
Wzory redukcyjne z uwagi na ich wielość, różnorodność są trudne do zapamiętania, stąd oprócz przedstawienia samych wzorów proponujemy zapoznać się także ze sposobem, w jaki można sobie te wzory wyznaczyć samodzielnie za pomocą tak zwanego koła trygonometrycznego.
W poniższe tabeli zestawiono wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych.
Wzory redukcyjne dla kąta -α
Dla kąta ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Zastosowanie koła trygonometrycznego do wyznaczenia powyższych zależności znajdziesz tutaj.
Wzory redukcyjne dla kąta 180°-α oraz 180°+α
Dla kąta 180°-α | Dla kąta 180°+α |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Zastosowanie koła trygonometrycznego do wyznaczenia powyższych zależności znajdziesz tutaj.
Wzory redukcyjne dla kąta 90°-α oraz 90°+α
Dla kąta 90°-α | Dla kąta 90°+α |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Zastosowanie koła trygonometrycznego do wyznaczenia powyższych zależności znajdziesz tutaj.
Wzory redukcyjne związane z okresem funkcji trygonometrycznej
Dla dowolnej liczby całkowitej k |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Wzory redukcyjne dla kąta 45°-α oraz 45°+α
Dla kąta 45°-α oraz 45°+α |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Koło trygonometryczne

Powyższych wzorów nie trzeba uczyć się na pamięć, można je sobie dość łatwo wyprowadzić korzystając z tak zwanego koła trygonometrycznego.
Jest to koło o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r=1. Można wówczas zaznaczyć pewne charakterystyczne odcinki, których długości są równe odpowiednim funkcjom trygonometrycznym kąta zgodnie z definicją. Koło takie zostało zilustrowane poniższym rysunkiem:
Dla przykładu, zgodnie z definicją sinusa kąta jest on równy stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej kątowi (odcinek zaznaczony kolorem niebieskim), do przeciwprostokątnej, a ponieważ przeciwprostokątna, to r=1, więc długość odcinka zaznaczonego kolorem niebieskim jest równa sinusowi danego kąta.
W przypadku pozostałych funkcji trygonometrycznych jest podobnie, zawsze w mianowniku ułamka występuje liczba 1.
Jak wyznaczyć wzory redukcyjne dla kąta -α?

Rysujemy koło trygonometryczne i zaznaczamy odpowiednie kąty oraz współrzędne:
Mamy na podstawie rysunku:
oraz
Natomiast dla funkcji cosinus:
oraz
Dla funkcji tangens warto sporządzić osobny rysunek:
Mamy na podstawie rysunku:
oraz
Podobne wyprowadzenie wzoru redukcyjnego można przeprowadzić dla funkcji cotangens. Można także skorzystać bezpośrednio ze wzoru i od razu ustalić znak.
Dla pozostałych wzorów redukcyjnych postępujemy w identyczny sposób. Sporządzamy koło trygonometryczne, zaznaczamy kąt dany oraz kąt, dla którego określamy wzór redukcyjny, zaznaczamy odpowiednie odcinki i wyznaczamy kolejno funkcje trygonometryczne. Poniżej ograniczymy się tylko do niektórych funkcji trygonometrycznych.
Jak wyznaczyć wzory redukcyjne dla kąta 180°-α?

Rysujemy koło trygonometryczne i zaznaczamy odpowiednie kąty oraz współrzędne:
Mamy na podstawie rysunku:
oraz
Natomiast dla funkcji cosinus:
oraz
Jak wyznaczyć wzory redukcyjne dla kąta 180°+α?

Rysujemy koło trygonometryczne i zaznaczamy odpowiednie kąty oraz współrzędne:
Mamy na podstawie rysunku:
oraz
Natomiast dla funkcji cosinus:
oraz
Jak wyznaczyć wzory redukcyjne dla kąta 90°-α?

Rysujemy koło trygonometryczne i zaznaczamy odpowiednie kąty oraz współrzędne:
Ponieważ x=y', y=x' mamy na podstawie rysunku:
oraz
Jak wyznaczyć tangens takiego kąta? Wystarczy skorzystać ze wzoru:
czyli:
Przykłady zastosowania wzorów redukcyjnych
Wzory redukcyjne wykorzystujemy przy obliczaniu wartości funkcji trygonometrycznych innych kątów niż 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Oto kilka przykładów:
Przykład
Obliczyć
Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru redukcyjnego dla pełnego kąta:
Przykład
Obliczyć
Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru redukcyjnego dla kąta -α:
Przykład
Obliczyć
Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru redukcyjnego dla kąta 180°+α:
Pytania
Czy jest możliwa zamiana sinusa na cosinus?
Do tego między innymi służą wzory trygonometryczne. Zobacz wzory redukcyjne dla kąta 90°-α oraz 90°+α.
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Wzory redukcyjne
Zadanie - wzory redukcyjne
Obliczyć:
a) sin30°,
b) cos3285°,
c) tg1125°,
d) ctg210°.
Zadanie - wzory redukcyjne
Obliczyć:
a) sin(-45o)
b) ctg(-60o)
c) cos(-90o)
Zadanie - wzory redukcyjne
Obliczyć:
a) sin120o
b) cos135o
c) cos240o
d) sin225o
Zadanie - wzory redukcyjne
Obliczyć:
a) sin150o
b) tg120o
Zadanie - wzory redukcyjne
Obliczyć:
a) sin960o
b) tg2115o
c) cos2760o
Zadanie - wzory redukcyjne
Sprowadzić do prostszej postaci:
Zadanie - wzory redukcyjne
Sprowadzić do prostszej postaci:
Zadanie maturalne nr 14, matura 2017 (poziom podstawowy)
Jeśli m = sin50° , to
A. m = sin40°
B. m = cos40°
C. m = cos50°
D. m = tg50°
Inne zagadnienia z tej lekcji
Funkcje trygonometryczne sinus cosinus tangens

Definicja funkcji trygonometrycznych kąta ostrego: sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans.
Sinus cosinus tangens cotangens 0 30 45 60 90 stopni

Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów.
Nauka wartości funkcji trygonometrycznych

Nauka wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych on-line za pomocą darmowej aplikacji
Wzory trygonometryczne, tożsamości trygonometryczne

Podstawowe wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne) oraz przykłady ich stosowania.
Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów

Omówienie twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów wraz z przykładami ich zastosowania w rozwiązywaniu trójkątów
Równania trygonometryczne

Równanie trygonometryczne jest to równanie, w którym niewiadome występują wyłącznie pod znakami funkcji trygonometrycznych.
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą podstawiania, z wykorzystaniem tożsamości trygonometrycznych, metody równań równoważnych i analizy starożytnych
Nierówności trygonometryczne

Nierówność trygonometryczna jest to nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznej.
© medianauka.pl, 2011-04-06, ART-1285