Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne z uwagi na ich wielość i różnorodność są trudne do zapamiętania, stąd oprócz przedstawienia samych wzorów proponujemy zapoznać się także ze sposobem, w jaki można sobie te wzory wyznaczyć samodzielnie za pomocą tak zwanego koła trygonometrycznego.

W poniższe tabeli zestawiono wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych.

Wzory redukcyjne dla kąta -α

Dla kąta \(-\alpha\)
\(\sin{(-\alpha)}=-\sin{\alpha}\)
\(\cos{(-\alpha)}=\cos{\alpha}\)
\(tg{(-\alpha)}=-tg{\alpha}\)
\(ctg{(-\alpha)}=-ctg{\alpha}\)

Zastosowanie koła trygonometrycznego do wyznaczenia powyższych zależności znajdziesz tutaj.

Wzory redukcyjne dla kąta 180°-α oraz 180°+α

Dla kąta \(180°-\alpha\) Dla kąta \(180°+\alpha\)
\(\sin{(180°-\alpha)}=\sin{\alpha}\)\(\sin{(180°+\alpha)}=-\sin{\alpha}\)
\(\cos{(180°-\alpha)}=-\cos{\alpha}\)\(\cos{(180°+\alpha)}=-\cos{\alpha}\)
\(tg{(180°-\alpha)}=-tg{\alpha}\)\(tg{(180°+\alpha)}=tg{\alpha}\)
\(ctg{(180°-\alpha)}=-ctg{\alpha}\)\(ctg{(180°+\alpha)}=ctg{\alpha}\)

Zastosowanie koła trygonometrycznego do wyznaczenia powyższych zależności znajdziesz tutaj.

Wzory redukcyjne dla kąta 90°-α oraz 90°+α

Dla kąta \(90°-\alpha\) Dla kąta \(90°+\alpha\)
\(\sin{(90°-\alpha)}=\cos{\alpha}\)\(\sin{(90°+\alpha)}=\cos{\alpha}\)
\(\cos{(90°-\alpha)}=\sin{\alpha}\)\(\cos{(90°+\alpha)}=-\sin{\alpha}\)
\(tg{(90°-\alpha)}=ctg{\alpha}\)\(tg{(90°+\alpha)}=-ctg{\alpha}\)
\(ctg{(90°-\alpha)}=tg{\alpha}\)\(ctg{(90°+\alpha)}=-tg{\alpha}\)

Zastosowanie koła trygonometrycznego do wyznaczenia powyższych zależności znajdziesz tutaj.

Wzory redukcyjne związane z okresem funkcji trygonometrycznej

Dla dowolnej liczby całkowitej \(k\)
\(\sin{(\alpha+k\cdot 360°)}=\sin{\alpha}\)
\(\cos{(\alpha+k\cdot 360°)}=\cos{\alpha}\)
\(tg{(\alpha+k\cdot 180°)}=tg{\alpha}\)
\(ctg{(\alpha+k\cdot 180°)}=ctg{\alpha}\)

Wzory redukcyjne dla kąta 45°-α oraz 45°+α

Dla kąta \(45°-\alpha\) oraz \(45°+\alpha\)
\(\sin{(45°+\alpha)}=\cos{(45°-\alpha)}\)
\(\cos{(45°+\alpha)}=\sin{(45°-\alpha)}\)
\(tg{(45°+\alpha)}=ctg{(45°-\alpha)}\)
\(ctg{(45°+\alpha)}=tg{(45°-\alpha)}\)

Koło trygonometryczne

koło trygonometryczne

Powyższych wzorów nie trzeba uczyć się na pamięć, można je sobie dość łatwo wyprowadzić, korzystając z tak zwanego koła trygonometrycznego.

Jest to koło o środku w początku układu współrzędnych i promieniu \(r=1\). Można wówczas zaznaczyć pewne charakterystyczne odcinki, których długości są równe odpowiednim funkcjom trygonometrycznym kąta zgodnie z definicją. Koło takie zostało zilustrowane poniższym rysunkiem.

Dla przykładu zgodnie z definicją sinusa kąta jest on równy stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej kątowi (odcinek zaznaczony kolorem niebieskim), do przeciwprostokątnej, a ponieważ przeciwprostokątna, to \(r=1\), więc długość odcinka zaznaczonego kolorem niebieskim jest równa sinusowi danego kąta.

W przypadku pozostałych funkcji trygonometrycznych jest podobnie, zawsze w mianowniku ułamka występuje liczba \(1\).

Jak wyznaczyć wzory redukcyjne dla kąta -α?

koło trygonometryczne

Rysujemy koło trygonometryczne i zaznaczamy odpowiednie kąty oraz współrzędne:

Mamy na podstawie rysunku:

\(\sin{\alpha}=\frac{y}{r}=\frac{y}{1}=y\)

oraz

\(\sin{(-\alpha)}=\frac{-y}{r}=\frac{-y}{1}=-y=-\sin{\alpha}\)

Natomiast dla funkcji cosinus:

\(\cos{\alpha}=\frac{x}{r}=\frac{x}{1}=x\)

oraz

\(\cos{(-\alpha)}=\frac{x}{r}=\frac{x}{1}=x=\cos{\alpha}\)

koło trygonometryczne

Dla funkcji tangens warto sporządzić osobny rysunek:

Mamy na podstawie rysunku:

\(tg{\alpha}=\frac{y}{x}=\frac{y}{1}=y\)

oraz

\(tg{(-\alpha)}=\frac{-y}{x}=\frac{-y}{1}=-y=-tg{\alpha}\)

Podobne wyprowadzenie wzoru redukcyjnego można przeprowadzić dla funkcji cotangens. Można także skorzystać bezpośrednio ze wzoru \(tg{\alpha}=\frac{1}{ctg{\alpha}}\) i od razu ustalić znak.

Dla pozostałych wzorów redukcyjnych postępujemy w identyczny sposób. Sporządzamy koło trygonometryczne, zaznaczamy kąt dany oraz kąt, dla którego określamy wzór redukcyjny, zaznaczamy odpowiednie odcinki i wyznaczamy kolejno funkcje trygonometryczne. Poniżej ograniczymy się tylko do niektórych funkcji trygonometrycznych.

Jak wyznaczyć wzory redukcyjne dla kąta 180°-α?

koło trygonometryczne

Rysujemy koło trygonometryczne i zaznaczamy odpowiednie kąty oraz współrzędne:

Mamy na podstawie rysunku:

\(\sin{\alpha}=\frac{y}{r}=\frac{y}{1}=y\)

oraz

\(\sin{(180°-\alpha)}=\frac{y}{r}=\frac{y}{1}=y=\sin{\alpha}\)

Natomiast dla funkcji cosinus:

\(cos{\alpha}=\frac{x}{r}=\frac{x}{1}=x\)

oraz

\(\cos{(180°-\alpha)}=\frac{-x}{r}=\frac{-x}{1}=-x=-\cos{\alpha}\)

Jak wyznaczyć wzory redukcyjne dla kąta 180°+α?

koło trygonometryczne

Rysujemy koło trygonometryczne i zaznaczamy odpowiednie kąty oraz współrzędne:

Mamy na podstawie rysunku:

\(\sin{\alpha}=\frac{y}{r}=\frac{y}{1}=y\)

oraz

\(\sin{(180°+\alpha)}=\frac{-y}{r}=\frac{-y}{1}=-y=-\sin{\alpha}\)

Natomiast dla funkcji cosinus:

\(\cos{\alpha}=\frac{x}{r}=\frac{x}{1}=x\)

oraz

\(\cos{(180°+\alpha)}=\frac{-x}{r}=\frac{-x}{1}=-x=-\cos{\alpha}\)

Jak wyznaczyć wzory redukcyjne dla kąta 90°-α?

koło trygonometryczne

Rysujemy koło trygonometryczne i zaznaczamy odpowiednie kąty oraz współrzędne:

Ponieważ \(x=y', y=x'\) mamy na podstawie rysunku:

\(\sin{\alpha}=\frac{y}{r}=\frac{y}{1}=y\)

\(\cos{\alpha}=\frac{x}{r}=\frac{x}{1}=x\)

oraz

\(\sin{(90°-\alpha)}=\frac{y'}{r}=\frac{x}{r}=\cos{\alpha}\)

\(\cos{(90°-\alpha)}=\frac{x'}{r}=\frac{y}{r}=\sin{\alpha}\)

Jak wyznaczyć tangens takiego kąta? Wystarczy skorzystać ze wzoru:

\(tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\)

czyli:

\(tg{(90°-\alpha)}=\frac{\sin{(90°-\alpha)}}{\cos{(90°-\alpha)}}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}=ctg{\alpha}\)

Przykłady zastosowania wzorów redukcyjnych

Wzory redukcyjne wykorzystujemy przy obliczaniu wartości funkcji trygonometrycznych innych kątów niż 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Oto kilka przykładów.

Przykład 1

Obliczyć \(\sin{405°}\).

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru redukcyjnego dla pełnego kąta:

\(\sin{405°}=\sin{(360°+45°)}=\sin{45°}= \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Przykład 2

Obliczyć \(tg{(-60°)}\).

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru redukcyjnego dla kąta \(-\alpha\):

\(tg{(-60°)}=-tg{60°}=-\sqrt{3}\)

Przykład 3

Obliczyć \(\sin{225°}\).

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru redukcyjnego dla kąta \(180°+\alpha\):

\(\sin{225°}=\sin{(180°+45°)}=-\sin{45°}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Pytania

Czy jest możliwa zamiana sinusa na cosinus?

Do tego między innymi służą wzory trygonometryczne redukcyjne. Zobacz wzory redukcyjne dla kąta \(90°-alpha\) oraz \(90°+\alpha\).



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Obliczyć:

a) \(\sin{30°}\)

b) \(\cos{3285°}\)

c) \(tg{1125°}\)

d) \(ctg{210°}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Obliczyć:

a) \(\sin{(-45°)}\)

b) \(ctg{(-60°)}\)

c) \(\cos{(-90°)}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3.

Obliczyć:

a) \(\sin{120°}\)

b) \(\cos{135°}\)

c) \(\cos{240°}\)

d) \(\sin{225°}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4.

Obliczyć:

a) \(\sin{150°}\)

b) \(tg{120°}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5.

Obliczyć:

a) \(\sin{960°}\)

b) \(tg{2115°}\)

c) \(\cos{2760°}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6.

Sprowadzić do prostszej postaci:

a) \(\sin{(180^o-x)}+\cos{(90^o+x)}\)

b) \(\cos{(\pi-x)}\sin{(\frac{\pi}{2}-x)}\)

c) \(tg{(270^o-x)}tg{(180^o+x)}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7.

Sprowadzić do prostszej postaci:

a) \(\sin{(-x)}-\cos{(270°-x)}\)

b) \(\sin{(x-90°)}\)

c) \(\cos{(x-\pi)}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Jeśli \(m=\sin{50°}\), to

A. \(m=\sin40°\)

B. \(m=\cos40°\)

C. \(m=\cos50°\)

D. \(m=tg50°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Liczba \(cos{12°}\cdot \sin{78°}+\sin{12°}\cdot \cos{78°}\) jest równa

A. \(\frac{1}{2}\)

B. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

C. \(\frac{2}{9}\)

D. 1

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2011-04-06, A-1285
Data aktualizacji artykułu: 2023-07-22



©® Media Nauka 2008-2023 r.