Wzory redukcyjne
Wzory redukcyjne z uwagi na ich wielość, różnorodność są trudne do zapamiętania, stąd oprócz przedstawienia samych wzorów proponujemy zapoznać się także ze sposobem, w jaki można sobie te wzory wyznaczyć samodzielnie za pomocą tak zwanego koła trygonometrycznego.
W poniższe tabeli zestawiono wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych.
Wzory redukcyjne dla kąta -α
Dla kąta ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Zastosowanie koła trygonometrycznego do wyznaczenia powyższych zależności znajdziesz tutaj.
Wzory redukcyjne dla kąta 180°-α oraz 180°+α
Dla kąta 180°-α | Dla kąta 180°+α |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Zastosowanie koła trygonometrycznego do wyznaczenia powyższych zależności znajdziesz tutaj.
Wzory redukcyjne dla kąta 90°-α oraz 90°+α
Dla kąta 90°-α | Dla kąta 90°+α |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Zastosowanie koła trygonometrycznego do wyznaczenia powyższych zależności znajdziesz tutaj.
Wzory redukcyjne związane z okresem funkcji trygonometrycznej
Dla dowolnej liczby całkowitej k |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Wzory redukcyjne dla kąta 45°-α oraz 45°+α
Dla kąta 45°-α oraz 45°+α |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Koło trygonometryczne

Powyższych wzorów nie trzeba uczyć się na pamięć, można je sobie dość łatwo wyprowadzić korzystając z tak zwanego koła trygonometrycznego.
Jest to koło o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r=1. Można wówczas zaznaczyć pewne charakterystyczne odcinki, których długości są równe odpowiednim funkcjom trygonometrycznym kąta zgodnie z definicją. Koło takie zostało zilustrowane poniższym rysunkiem:
Dla przykładu, zgodnie z definicją sinusa kąta jest on równy stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej kątowi (odcinek zaznaczony kolorem niebieskim), do przeciwprostokątnej, a ponieważ przeciwprostokątna, to r=1, więc długość odcinka zaznaczonego kolorem niebieskim jest równa sinusowi danego kąta.
W przypadku pozostałych funkcji trygonometrycznych jest podobnie, zawsze w mianowniku ułamka występuje liczba 1.
Jak wyznaczyć wzory redukcyjne dla kąta -α?

Rysujemy koło trygonometryczne i zaznaczamy odpowiednie kąty oraz współrzędne:
Mamy na podstawie rysunku:
oraz
Natomiast dla funkcji cosinus:
oraz
Dla funkcji tangens warto sporządzić osobny rysunek:
Mamy na podstawie rysunku:
oraz
Podobne wyprowadzenie wzoru redukcyjnego można przeprowadzić dla funkcji cotangens. Można także skorzystać bezpośrednio ze wzoru i od razu ustalić znak.
Dla pozostałych wzorów redukcyjnych postępujemy w identyczny sposób. Sporządzamy koło trygonometryczne, zaznaczamy kąt dany oraz kąt, dla którego określamy wzór redukcyjny, zaznaczamy odpowiednie odcinki i wyznaczamy kolejno funkcje trygonometryczne. Poniżej ograniczymy się tylko do niektórych funkcji trygonometrycznych.
Jak wyznaczyć wzory redukcyjne dla kąta 180°-α?

Rysujemy koło trygonometryczne i zaznaczamy odpowiednie kąty oraz współrzędne:
Mamy na podstawie rysunku:
oraz
Natomiast dla funkcji cosinus:
oraz
Jak wyznaczyć wzory redukcyjne dla kąta 180°+α?

Rysujemy koło trygonometryczne i zaznaczamy odpowiednie kąty oraz współrzędne:
Mamy na podstawie rysunku:
oraz
Natomiast dla funkcji cosinus:
oraz
Jak wyznaczyć wzory redukcyjne dla kąta 90°-α?

Rysujemy koło trygonometryczne i zaznaczamy odpowiednie kąty oraz współrzędne:
Ponieważ x=y', y=x' mamy na podstawie rysunku:
oraz
Jak wyznaczyć tangens takiego kąta? Wystarczy skorzystać ze wzoru:
czyli:
Przykłady zastosowania wzorów redukcyjnych
Wzory redukcyjne wykorzystujemy przy obliczaniu wartości funkcji trygonometrycznych innych kątów niż 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Oto kilka przykładów:
Przykład
Obliczyć
Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru redukcyjnego dla pełnego kąta:
Przykład
Obliczyć
Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru redukcyjnego dla kąta -α:
Przykład
Obliczyć
Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru redukcyjnego dla kąta 180°+α:
Pytania
Czy jest możliwa zamiana sinusa na cosinus?
Do tego między innymi służą wzory trygonometryczne. Zobacz wzory redukcyjne dla kąta 90°-α oraz 90°+α.
© medianauka.pl, 2011-04-06, ART-1285
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Wzory redukcyjne
Zadanie - wzory redukcyjne
Obliczyć:
a) sin30°,
b) cos3285°,
c) tg1125°,
d) ctg210°.
Zadanie - wzory redukcyjne
Obliczyć:
a) sin(-45o)
b) ctg(-60o)
c) cos(-90o)
Zadanie - wzory redukcyjne
Obliczyć:
a) sin120o
b) cos135o
c) cos240o
d) sin225o
Zadanie - wzory redukcyjne
Obliczyć:
a) sin150o
b) tg120o
Zadanie - wzory redukcyjne
Obliczyć:
a) sin960o
b) tg2115o
c) cos2760o
Zadanie - wzory redukcyjne
Sprowadzić do prostszej postaci:
Zadanie - wzory redukcyjne
Sprowadzić do prostszej postaci:
Zadanie maturalne nr 14, matura 2017 (poziom podstawowy)
Jeśli m = sin50° , to
A. m = sin40°
B. m = cos40°
C. m = cos50°
D. m = tg50°
Inne zagadnienia z tej lekcji

Definicja funkcji trygonometrycznych kąta ostrego: sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans.

Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów.

Nauka wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych on-line za pomocą darmowej aplikacji

Wykresem funkcji sinus jest krzywa, którą nazywamy sinusoidą.

Wykresem funkcji cosinus jest cosinusoida.

Wykresem funkcji tangens jest tangensoida.

Wykresem funkcji cotangens jest cotangensoida.

Podstawowe wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne) oraz przykłady ich stosowania.

Omówienie twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów wraz z przykładami ich zastosowania w rozwiązywaniu trójkątów

Równanie trygonometryczne jest to równanie, w którym niewiadome występują wyłącznie pod znakami funkcji trygonometrycznych.

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą podstawiania, z wykorzystaniem tożsamości trygonometrycznych, metody równań równoważnych i analizy starożytnych

Nierówność trygonometryczna jest to nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznej.