Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne z uwagi na ich wielość, różnorodność są trudne do zapamiętania, stąd oprócz przedstawienia samych wzorów proponujemy zapoznać się także ze sposobem, w jaki można sobie te wzory wyznaczyć samodzielnie za pomocą tak zwanego koła trygonometrycznego.

W poniższe tabeli zestawiono wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych.

Wzory redukcyjne dla kąta -α

Dla kąta $-\alpha$

$\sin{(-\alpha)}=-\sin{\alpha}$

$\cos{(-\alpha)}=\cos{\alpha}$

$tg{(-\alpha)}=-tg{\alpha}$

$ctg{(-\alpha)}=-ctg{\alpha}$

Zastosowanie koła trygonometrycznego do wyznaczenia powyższych zależności znajdziesz tutaj.

Wzory redukcyjne dla kąta 180°-α oraz 180°+α

Dla kąta 180°-α	Dla kąta 180°+α
$\sin{(180^o-\alpha)}=\sin{\alpha}$	$?\sin{(180^o+\alpha)}=-\sin{\alpha}$
$\cos{(180^o-\alpha)}=-\cos{\alpha}4$	$\cos{(180^o+\alpha)}=-\cos{\alpha}$
$tg{(180^o-\alpha)}=-tg{\alpha}$	$tg{(180^o+\alpha)}=tg{\alpha}$
$ctg{(180^o-\alpha)}=-ctg{\alpha}$	$ctg{(180^o+\alpha)}=ctg{\alpha}$

Zastosowanie koła trygonometrycznego do wyznaczenia powyższych zależności znajdziesz tutaj.

Wzory redukcyjne dla kąta 90°-α oraz 90°+α

Dla kąta 90°-α	Dla kąta 90°+α
$\sin{(90^o-\alpha)}=\cos{\alpha}$	$\sin{(90^o+\alpha)}=\cos{\alpha}$
$\cos{(90^o-\alpha)}=\sin{\alpha}$	$\cos{(90^o+\alpha)}=-\sin{\alpha}$
$tg{(90^o-\alpha)}=ctg{\alpha}$	$tg{(90^o+\alpha)}=-ctg{\alpha}$
$ctg{(90^o-\alpha)}=tg{\alpha}$	$ctg{(90^o+\alpha)}=-tg{\alpha}$

Zastosowanie koła trygonometrycznego do wyznaczenia powyższych zależności znajdziesz tutaj.

Wzory redukcyjne związane z okresem funkcji trygonometrycznej

Dla dowolnej liczby całkowitej k

$\sin{(\alpha+k\cdot 360^o)}=\sin{\alpha}$

$\cos{(\alpha+k\cdot 360^o)}=\cos{\alpha}$

$tg{(\alpha+k\cdot 180^o)}=tg{\alpha}$

$ctg{(\alpha+k\cdot 180^o)}=ctg{\alpha}$

Wzory redukcyjne dla kąta 45°-α oraz 45°+α

Dla kąta 45°-α oraz 45°+α

$\sin{(45^o+\alpha)}=\cos{(45^o-\alpha)}$

$\cos{(45^o+\alpha)}=\sin{(45^o-\alpha)}$

$tg{(45^o+\alpha)}=ctg{(45^o-\alpha)}$

$ctg{(45^o+\alpha)}=tg{(45^o-\alpha)}$

Koło trygonometryczne

Powyższych wzorów nie trzeba uczyć się na pamięć, można je sobie dość łatwo wyprowadzić korzystając z tak zwanego koła trygonometrycznego.

Jest to koło o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r=1. Można wówczas zaznaczyć pewne charakterystyczne odcinki, których długości są równe odpowiednim funkcjom trygonometrycznym kąta zgodnie z definicją. Koło takie zostało zilustrowane poniższym rysunkiem:

Dla przykładu, zgodnie z definicją sinusa kąta jest on równy stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej kątowi (odcinek zaznaczony kolorem niebieskim), do przeciwprostokątnej, a ponieważ przeciwprostokątna, to r=1, więc długość odcinka zaznaczonego kolorem niebieskim jest równa sinusowi danego kąta.

W przypadku pozostałych funkcji trygonometrycznych jest podobnie, zawsze w mianowniku ułamka występuje liczba 1.

Jak wyznaczyć wzory redukcyjne dla kąta -α?

Rysujemy koło trygonometryczne i zaznaczamy odpowiednie kąty oraz współrzędne:

Mamy na podstawie rysunku:

$\sin{\alpha}=\frac{y}{r}=\frac{y}{1}=y$

oraz

$\sin{(-\alpha)}=\frac{-y}{r}=\frac{-y}{1}=-y=-\sin{\alpha}$

Natomiast dla funkcji cosinus:

$\cos{\alpha}=\frac{x}{r}=\frac{x}{1}=x$

oraz

$\cos{(-\alpha)}=\frac{x}{r}=\frac{x}{1}=x=\cos{\alpha}$ koło trygonometryczne

Dla funkcji tangens warto sporządzić osobny rysunek:

Mamy na podstawie rysunku:

$tg{\alpha}=\frac{y}{x}=\frac{y}{1}=y$

oraz

$tg{(-\alpha)}=\frac{-y}{x}=\frac{-y}{1}=-y=-tg{\alpha}$

Podobne wyprowadzenie wzoru redukcyjnego można przeprowadzić dla funkcji cotangens. Można także skorzystać bezpośrednio ze wzoru $tg{\alpha}=\frac{1}{ctg{\alpha}}$ i od razu ustalić znak.

Dla pozostałych wzorów redukcyjnych postępujemy w identyczny sposób. Sporządzamy koło trygonometryczne, zaznaczamy kąt dany oraz kąt, dla którego określamy wzór redukcyjny, zaznaczamy odpowiednie odcinki i wyznaczamy kolejno funkcje trygonometryczne. Poniżej ograniczymy się tylko do niektórych funkcji trygonometrycznych.

Jak wyznaczyć wzory redukcyjne dla kąta 180°-α?

Rysujemy koło trygonometryczne i zaznaczamy odpowiednie kąty oraz współrzędne:

Mamy na podstawie rysunku:

$\sin{\alpha}=\frac{y}{r}=\frac{y}{1}=y$

oraz

$\sin{(180^o-\alpha)}=\frac{y}{r}=\frac{y}{1}=y=\sin{\alpha}$

Natomiast dla funkcji cosinus:

$\cos{\alpha}=\frac{x}{r}=\frac{x}{1}=x$

oraz

$\cos{(180^o-\alpha)}=\frac{-x}{r}=\frac{-x}{1}=-x=-\cos{\alpha}$

Jak wyznaczyć wzory redukcyjne dla kąta 180°+α?

Rysujemy koło trygonometryczne i zaznaczamy odpowiednie kąty oraz współrzędne:

Mamy na podstawie rysunku:

$\sin{\alpha}=\frac{y}{r}=\frac{y}{1}=y$

oraz

$\sin{(180^o+\alpha)}=\frac{-y}{r}=\frac{-y}{1}=-y=-\sin{\alpha}$

Natomiast dla funkcji cosinus:

$\cos{\alpha}=\frac{x}{r}=\frac{x}{1}=x$

oraz

$\cos{(180^o+\alpha)}=\frac{-x}{r}=\frac{-x}{1}=-x=-\cos{\alpha}$

Jak wyznaczyć wzory redukcyjne dla kąta 90°-α?

Rysujemy koło trygonometryczne i zaznaczamy odpowiednie kąty oraz współrzędne:

Ponieważ x=y', y=x' mamy na podstawie rysunku:

$\sin{\alpha}=\frac{y}{r}=\frac{y}{1}=y$
$\cos{\alpha}=\frac{x}{r}=\frac{x}{1}=x$

oraz

$\sin{(90^o-\alpha)}=\frac{y'}{r}=\frac{x}{r}=\cos{\alpha}$
$\cos{(90^o-\alpha)}=\frac{x'}{r}=\frac{y}{r}=\sin{\alpha}$

Jak wyznaczyć tangens takiego kąta? Wystarczy skorzystać ze wzoru:
$tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$

czyli:

$tg{(90^o-\alpha)}=\frac{\sin{(90^o-\alpha)}}{\cos{(90^o-\alpha)}}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}=ctg{\alpha}$

Przykłady zastosowania wzorów redukcyjnych

Wzory redukcyjne wykorzystujemy przy obliczaniu wartości funkcji trygonometrycznych innych kątów niż 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Oto kilka przykładów:

Przykład

Obliczyć $\sin{405^o}$

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru redukcyjnego dla pełnego kąta:
$\sin{405^o}=\sin{(360^o+45^o)}=\sin{45^o}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Przykład

Obliczyć $tg{(-60^o)}$

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru redukcyjnego dla kąta -α:
$tg{(-60^o)}=-tg{60^o}=-\sqrt{3}$

Przykład

Obliczyć $\sin{225^o}$

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru redukcyjnego dla kąta 180°+α:
$\sin{225^o}=\sin{(180^o+45^o)}=-\sin{45^o}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pytania

Czy jest możliwa zamiana sinusa na cosinus?

Do tego między innymi służą wzory trygonometryczne. Zobacz wzory redukcyjne dla kąta 90°-α oraz 90°+α.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Wzory redukcyjne

Zadanie - wzory redukcyjne
Obliczyć:
a) sin30°,
b) cos3285°,
c) tg1125°,
d) ctg210°.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory redukcyjne
Obliczyć:
a) sin(-45^o)
b) ctg(-60^o)
c) cos(-90^o)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory redukcyjne
Obliczyć:
a) sin120^o
b) cos135^o
c) cos240^o
d) sin225^o

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory redukcyjne
Obliczyć:
a) sin150^o
b) tg120^o

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory redukcyjne
Obliczyć:
a) sin960^o
b) tg2115^o
c) cos2760^o

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory redukcyjne
Sprowadzić do prostszej postaci:
$a)\ \sin{(180^o-x)}+\cos{(90^o+x)}\\ b)\ \cos{(\pi-x)}\sin{(\frac{\pi}{2}-x)}\\ c)\ tg{(270^o-x)}tg{(180^o+x)}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory redukcyjne
Sprowadzić do prostszej postaci:
$a)\ \sin{(-x)}-\cos{(270^o-x)}\\ b)\ \sin{(x-90^o)}\\ c)\ \cos{(x-\pi)}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Funkcje trygonometryczne sinus cosinus tangens
Definicja funkcji trygonometrycznych kąta ostrego: sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans.

Sinus cosinus tangens cotangens 0 30 45 60 90 stopni
Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów.

Nauka wartości funkcji trygonometrycznych
Nauka wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych on-line za pomocą darmowej aplikacji

Wykres funkcji sinus
Wykresem funkcji sinus jest krzywa, którą nazywamy sinusoidą.

Wykres funkcji cosinus
Wykresem funkcji cosinus jest cosinusoida.

Wykres funkcji tangens
Wykresem funkcji tangens jest tangensoida.

Wykres funkcji cotangens
Wykresem funkcji cotangens jest cotangensoida.

Wzory trygonometryczne, tożsamości trygonometryczne
Podstawowe wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne) oraz przykłady ich stosowania.

Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów
Omówienie twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów wraz z przykładami ich zastosowania w rozwiązywaniu trójkątów

Równania trygonometryczne
Równanie trygonometryczne jest to równanie, w którym niewiadome występują wyłącznie pod znakami funkcji trygonometrycznych.

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą podstawiania, z wykorzystaniem tożsamości trygonometrycznych, metody równań równoważnych i analizy starożytnych

Nierówności trygonometryczne
Nierówność trygonometryczna jest to nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznej.