Wzory redukcyjne

W poniższe tabeli zestawiono wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych.

Wzory redukcyjne dla kąta -α

Dla kąta $-\alpha$

$\sin{(-\alpha)}=-\sin{\alpha}$

$\cos{(-\alpha)}=\cos{\alpha}$

$tg{(-\alpha)}=-tg{\alpha}$

$ctg{(-\alpha)}=-ctg{\alpha}$

Zastosowanie koła trygonometrycznego do wyznaczenia powyższych zależności znajdziesz tutaj.

Wzory redukcyjne dla kąta 180°-α oraz 180°+α

Dla kąta 180°-α	Dla kąta 180°+α
$\sin{(180^o-\alpha)}=\sin{\alpha}$	$?\sin{(180^o+\alpha)}=-\sin{\alpha}$
$\cos{(180^o-\alpha)}=-\cos{\alpha}4$	$\cos{(180^o+\alpha)}=-\cos{\alpha}$
$tg{(180^o-\alpha)}=-tg{\alpha}$	$tg{(180^o+\alpha)}=tg{\alpha}$
$ctg{(180^o-\alpha)}=-ctg{\alpha}$	$ctg{(180^o+\alpha)}=ctg{\alpha}$

Zastosowanie koła trygonometrycznego do wyznaczenia powyższych zależności znajdziesz tutaj.

Wzory redukcyjne dla kąta 90°-α oraz 90°+α

Dla kąta 90°-α	Dla kąta 90°+α
$\sin{(90^o-\alpha)}=\cos{\alpha}$	$\sin{(90^o+\alpha)}=\cos{\alpha}$
$\cos{(90^o-\alpha)}=\sin{\alpha}$	$\cos{(90^o+\alpha)}=-\sin{\alpha}$
$tg{(90^o-\alpha)}=ctg{\alpha}$	$tg{(90^o+\alpha)}=-ctg{\alpha}$
$ctg{(90^o-\alpha)}=tg{\alpha}$	$ctg{(90^o+\alpha)}=-tg{\alpha}$

Zastosowanie koła trygonometrycznego do wyznaczenia powyższych zależności znajdziesz tutaj.

Wzory redukcyjne związane z okresem funkcji trygonometrycznej

Dla dowolnej liczby całkowitej k

$\sin{(\alpha+k\cdot 360^o)}=\sin{\alpha}$

$\cos{(\alpha+k\cdot 360^o)}=\cos{\alpha}$

$tg{(\alpha+k\cdot 180^o)}=tg{\alpha}$

$ctg{(\alpha+k\cdot 180^o)}=ctg{\alpha}$

Wzory redukcyjne dla kąta 45°-α oraz 45°+α

Dla kąta 45°-α oraz 45°+α

$\sin{(45^o+\alpha)}=\cos{(45^o-\alpha)}$

$\cos{(45^o+\alpha)}=\sin{(45^o-\alpha)}$

$tg{(45^o+\alpha)}=ctg{(45^o-\alpha)}$

$ctg{(45^o+\alpha)}=tg{(45^o-\alpha)}$

Powyższych wzorów nie trzeba uczyć się na pamięć, można je sobie dość łatwo wyprowadzić korzystając z tak zwanego koła trygonometrycznego.

Jest to koło o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r=1. Można wówczas zaznaczyć pewne charakterystyczne odcinki, których długości są równe odpowiednim funkcjom trygonometrycznym kąta zgodnie z definicją. Koło takie zostało zilustrowane poniższym rysunkiem:

Dla przykładu, zgodnie z definicją sinusa kąta jest on równy stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej kątowi (odcinek zaznaczony kolorem niebieskim), do przeciwprostokątnej, a ponieważ przeciwprostokątna, to r=1, więc długość odcinka zaznaczonego kolorem niebieskim jest równa sinusowi danego kąta.

W przypadku pozostałych funkcji trygonometrycznych jest podobnie, zawsze w mianowniku ułamka występuje liczba 1.

Jak wyznaczyć wzory redukcyjne dla kąta -α?

Rysujemy koło trygonometryczne i zaznaczamy odpowiednie kąty oraz współrzędne:

Mamy na podstawie rysunku:

$\sin{\alpha}=\frac{y}{r}=\frac{y}{1}=y$

oraz

$\sin{(-\alpha)}=\frac{-y}{r}=\frac{-y}{1}=-y=-\sin{\alpha}$

Natomiast dla funkcji cosinus:

$\cos{\alpha}=\frac{x}{r}=\frac{x}{1}=x$

oraz

$\cos{(-\alpha)}=\frac{x}{r}=\frac{x}{1}=x=\cos{\alpha}$ koło trygonometryczne

Dla funkcji tangens warto sporządzić osobny rysunek:

Mamy na podstawie rysunku:

$tg{\alpha}=\frac{y}{x}=\frac{y}{1}=y$

oraz

$tg{(-\alpha)}=\frac{-y}{x}=\frac{-y}{1}=-y=-tg{\alpha}$

Podobne wyprowadzenie wzoru redukcyjnego można przeprowadzić dla funkcji cotangens. Można także skorzystać bezpośrednio ze wzoru $tg{\alpha}=\frac{1}{ctg{\alpha}}$ i od razu ustalić znak.

Dla pozostałych wzorów redukcyjnych postępujemy w identyczny sposób. Sporządzamy koło trygonometryczne, zaznaczamy kąt dany oraz kąt, dla którego określamy wzór redukcyjny, zaznaczamy odpowiednie odcinki i wyznaczamy kolejno funkcje trygonometryczne. Poniżej ograniczymy się tylko do niektórych funkcji trygonometrycznych.