Wzory trygonometryczne

W niniejszym artykule przedstawiamy podstawowe wzory trygonometryczne, o których często mówimy także tożsamości trygonometryczne.

Teoria Między funkcjami trygonometrycznymi kąta \alpha zachodzą następujące związki (tożsamości trygonometryczne):

Teoria Dowód

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa mamy:

a^2+b^2=c^2/:c^2\\ \frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=1\\ (\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=1\\ \sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1

Jedynka trygonometryczna

Jedynka trygonometryczna to jeden z najczęściej występujący wzorów w zadaniach z trygonometrii. Obok przedstawiamy dowód tej tożsamości trygonometrycznej.

Twierdzenie Twierdzenie

\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1

Powyższy wzór nosi też inne nazwy: "wzór jednostkowy", "jedność trygonometryczna", "trygonometryczne twierdzenie Pitagorasa".


Oto inne, bardzo często wykorzystywane w kursie matematyki wzory:

Teoria Dowód

\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{c}\cdot \frac{c}{b}=\frac{a}{b}=tg{\alpha}

Twierdzenie Twierdzenie


tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}

Twierdzenie Twierdzenie

ctg{\alpha}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}
tg{\alpha}=\frac{1}{ctg{\alpha}}

Funkcje sumy kątów

Oto wzory na sinus sumy kątów, cosinus sumy kątów, tangens i cotangens sumy kątów:

Twierdzenie Twierdzenie

\sin({\alpha+\beta})=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}\\ \cos({\alpha+\beta})=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\\ tg({\alpha+\beta})=\frac{tg{\alpha}+tg{\beta}}{1-tg{\alpha}tg{\beta}}\\ ctg({\alpha+\beta})=\frac{ctg{\alpha}ctg{\beta}-1}{ctg{\alpha}+ctg{\beta}}

Funkcje różnicy kątów

Oto wzory na sinus różnicy kątów, cosinus różnicy kątów, tangens i cotangens różnicy kątów:

Twierdzenie Twierdzenie

\sin({\alpha-\beta})=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\\ \cos({\alpha-\beta})=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\\ tg({\alpha-\beta})=\frac{tg{\alpha}-tg{\beta}}{1+tg{\alpha}tg{\beta}}\\ ctg({\alpha-\beta})=\frac{ctg{\alpha}ctg{\beta}+1}{ctg{\alpha}-ctg{\beta}}

Funkcje podwójnego kąta

Wzory na sinus podwojonego kąta, cosinus podwojonego kąta i tangens podwojonego kąta:

Twierdzenie Twierdzenie

\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cdot \cos{\alpha}\\ \cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}\\ tg{2\alpha}=\frac{2tg{\alpha}}{1-tg^2{\alpha}}

Funkcje potrojonego kąta

Wzory na sinus potrojonego kąta, cosinus potrojonego kąta:

Twierdzenie Twierdzenie

\sin{3\alpha}=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}\\ \cos{3\alpha}=4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha}

Funkcje połowy kąta

Wzory połówkowe:

Twierdzenie Twierdzenie

\sin{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{2}}\\ \cos{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{\alpha}}{2}}\\ tg{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}}\\ tg{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}=\frac{\sin{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

Wzory na sumę sinusów, sumę cosinusów oraz różnicy sinusów i cosinusów są następujące:

Twierdzenie Twierdzenie

\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ \sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ \cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ \cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}

Przykłady

A oto kilka przykładów zastosowania powyższych wzorów trygonometrycznych:

Przykład Przykład

Wiadomo, że \sin{\alpha}=0,3. Obliczyć \cos{\alpha}, tg{\alpha}, ctg{\alpha}.

Wyznaczamy cosinus kąta, korzystając z jedynki trygonometrycznej:

\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1\\ \cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}\\ \cos{\alpha}=\pm\sqrt{1-\sin^2{\alpha}}\\ \cos{\alpha}=\pm\sqrt{1-0,3^2}=\pm\sqrt{1-0,09}=\pm\sqrt{0,91}\approx\pm0,954

Wyznaczamy tangens kąta:

tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\approx\frac{0,3}{\pm0,954}\approx\pm 0,3145

Wyznaczamy cotangens kąta:

ctg{\alpha}=\frac{1}{tg{\alpha}}\approx\frac{1}{\pm0,3145}\approx \pm 3,1797

Przykład Przykład

Obliczyć \sin{75^o}.

Skorzystamy ze wzoru na sinus sumy kątów:

\sin{75^o}=\sin{(45^o+30^o)}=\sin{45^0}\cos{30^o}+\cos{45^o}\sin{30^o}=\\ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

Przykład Przykład

Obliczyć \cos{120^o}

Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:

\cos{120^o}=\cos{(2\cdot 60^o)}=\cos^2{60^o}-\sin^2{60^o}=(\frac{1}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}

Przykład Przykład

Obliczyć \sin{120^o}+\sin{60^o}

Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów kąta:

\sin{120^o}+\sin{60^o}=2\sin{\frac{120^o+60^o}{2}}\cos{\frac{120^o-60^o}{2}}=2\sin{90^o}\cos{30^o}=2\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=1

Pozostałe wzory

To nie jedyne wzory trygonometryczne. W osobnych artykułach omawiamy:



© medianauka.pl, 2011-03-27, ART-1267


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Wzory trygonometryczne, tożsamości trygonometryczne

zadanie-ikonka Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz tg{75^o}.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz \cos{75^o}\cos{10^o}+\sin{70^o}\cos{10^o}.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - wzory trygonometryczne
Wiedząc, że \sin{x}=0,2 oblicz \cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - wzory trygonometryczne
Obliczyć
Obliczyć a) sin{75^o}+sin{15^o} b) cos{75^o}+cos{15^o} c) sin{75^o}-sin{15^o} d) cos{75^o}-cos{15^o}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}
b) tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}
c) \sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}
b) \frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}
c) \frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość: tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{1}{\cos{x}}.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) \frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}
b) tg(45^o+x)tg(45^o-x)=1
c) \cos{x}+\sin{x}=\sqrt{2}\sin(45^o+x)
d) tg{x}+ctg{x}=\frac{2}{\sin{2x}}
e) \frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=tg(45^o+x)

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom podstawowy)
Jeżeli 0°<α<90° oraz tgα=2sinα, to :

A. cosα=1/2
B. cosα=√2/2
C. cosα=√3/2
D. cosα=1

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 14, matura 2014
Jeżeli α jest kątem ostrym oraz tg\alpha=\frac{2}{5}, to wartość wyrażenia \frac{3cos\alpha-2sin\alpha}{sin\alpha-5cos\alpha}jest równa:

A. -11/23
B. 24/5
C. -23/11
D. 5/24

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - okres funkcji, znajdowanie okresu funkcji
Znaleźć okres podstawowy funkcji: y=\cos^4x-\sin^4x.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

Funkcje trygonometryczne sinus cosinus tangensFunkcje trygonometryczne sinus cosinus tangens
Definicja funkcji trygonometrycznych kąta ostrego: sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans.
Sinus cosinus tangens cotangens 0 30 45 60 90 stopniSinus cosinus tangens cotangens 0 30 45 60 90 stopni
Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów.
Nauka wartości funkcji trygonometrycznychNauka wartości funkcji trygonometrycznych
Nauka wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych on-line za pomocą darmowej aplikacji
Wykres funkcji sinusWykres funkcji sinus
Wykresem funkcji sinus jest krzywa, którą nazywamy sinusoidą.
Wykres funkcji cosinusWykres funkcji cosinus
Wykresem funkcji cosinus jest cosinusoida.
Wykres funkcji tangensWykres funkcji tangens
Wykresem funkcji tangens jest tangensoida.
Wykres funkcji cotangensWykres funkcji cotangens
Wykresem funkcji cotangens jest cotangensoida.
Wzory redukcyjneWzory redukcyjne
Wzory redukcyjne z omówieniem sposobu ich wyznaczania za pomocą koła trygonometrycznego.
Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensówTwierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów
Omówienie twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów wraz z przykładami ich zastosowania w rozwiązywaniu trójkątów
Równania trygonometryczneRównania trygonometryczne
Równanie trygonometryczne jest to równanie, w którym niewiadome występują wyłącznie pod znakami funkcji trygonometrycznych.
Rozwiązywanie równań trygonometrycznychRozwiązywanie równań trygonometrycznych
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą podstawiania, z wykorzystaniem tożsamości trygonometrycznych, metody równań równoważnych i analizy starożytnych
Nierówności trygonometryczneNierówności trygonometryczne
Nierówność trygonometryczna jest to nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznej.



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.