Wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne)

Między funkcjami trygonometrycznymi kąta $\alpha$ zachodzą związki:

Dowód

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa mamy:

$a^2+b^2=c^2/:c^2\\ \frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=1\\ (\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=1\\ \sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

Jedynka trygonometryczna

Twierdzenie

$\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

Powyższy wzór nosi też inne nazwy: "wzór jednostkowy", "jedność trygonometryczna", "trygonometryczne twierdzenie Pitagorasa". To najczęściej wykorzystywany wzór w trygonometrii.

Oto inne wzory:

Dowód

$\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{c}\cdot \frac{c}{b}=\frac{a}{b}=tg{\alpha}$

Twierdzenie

$tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$

Twierdzenie

$ctg{\alpha}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$

$tg{\alpha}=\frac{1}{ctg{\alpha}}$

Funkcje sumy kątów

Twierdzenie

$\sin({\alpha+\beta})=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}\\ \cos({\alpha+\beta})=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\\ tg({\alpha+\beta})=\frac{tg{\alpha}+tg{\beta}}{1-tg{\alpha}tg{\beta}}\\ ctg({\alpha+\beta})=\frac{ctg{\alpha}ctg{\beta}-1}{ctg{\alpha}+ctg{\beta}}$

Funkcje różnicy kątów

Twierdzenie

$\sin({\alpha-\beta})=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\\ \cos({\alpha-\beta})=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\\ tg({\alpha-\beta})=\frac{tg{\alpha}-tg{\beta}}{1+tg{\alpha}tg{\beta}}\\ ctg({\alpha-\beta})=\frac{ctg{\alpha}ctg{\beta}+1}{ctg{\alpha}-ctg{\beta}}$

Funkcje podwójnego kąta

Twierdzenie

$\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cdot \cos{\alpha}\\ \cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}\\ tg{2\alpha}=\frac{2tg{\alpha}}{1-tg^2{\alpha}}$

Funkcje potrojonego kąta

Twierdzenie

$\sin{3\alpha}=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}\\ \cos{3\alpha}=4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha}$

Funkcje połowy kąta

Twierdzenie

$\sin{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{2}}\\ \cos{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{\alpha}}{2}}\\ tg{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}}\\ tg{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}=\frac{\sin{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}$

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

Twierdzenie

$\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ \sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ \cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ \cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}$

A oto kilka przykładów zastosowania powyższych wzorów trygonometrycznych:

Przykład

Wiadomo, że $\sin{\alpha}=0,3$ . Obliczyć $\cos{\alpha}, tg{\alpha}, ctg{\alpha}$ .

Wyznaczamy cosinus kąta, korzystając z jedynki trygonometrycznej:

$\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1\\ \cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}\\ \cos{\alpha}=\pm\sqrt{1-\sin^2{\alpha}}\\ \cos{\alpha}=\pm\sqrt{1-0,3^2}=\pm\sqrt{1-0,09}=\pm\sqrt{0,91}\approx\pm0,954$

Wyznaczamy tangens kąta:

$tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\approx\frac{0,3}{\pm0,954}\approx\pm 0,3145$

Wyznaczamy cotangens kąta:

$ctg{\alpha}=\frac{1}{tg{\alpha}}\approx\frac{1}{\pm0,3145}\approx \pm 3,1797$

Przykład

Obliczyć $\sin{75^o}$ .

Skorzystamy ze wzoru na sinus sumy kątów:

$\sin{75^o}=\sin{(45^o+30^o)}=\sin{45^0}\cos{30^o}+\cos{45^o}\sin{30^o}=\\ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$