Wzory trygonometryczne

W niniejszym artykule przedstawiamy podstawowe wzory trygonometryczne, o których często mówimy także tożsamości trygonometryczne.

Między funkcjami trygonometrycznymi kąta \(\alpha\) zachodzą następujące związki (tożsamości trygonometryczne):

Jedynka trygonometryczna

Dowód

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa mamy:

\(a^2+b^2=c^2/:c^2\)

\( \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2}=1\)

(\(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=1\)

\( \sin^2{\alpha}+ \cos^2{\alpha}=1\)

Jedynka trygonometryczna to jeden z najczęściej występujący wzorów w zadaniach z trygonometrii. Obok przedstawiamy dowód tej tożsamości trygonometrycznej.

\(\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1\)

Powyższy wzór nosi też inne nazwy:

wzór jednostkowy
jedność trygonometryczna
trygonometryczne twierdzenie Pitagorasa

Oto inne, bardzo często wykorzystywane w kursie matematyki wzory:

\(tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\)

\(ctg{\alpha}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\)

\(tg{\alpha}=\frac{1}{ctg{\alpha}}\)

Sinus, cosinus, tangens i cotangens sumy kątów

Oto wzory na sinus sumy kątów, cosinus sumy kątów, tangens i cotangens sumy kątów:

\(\sin({\alpha+\beta})= \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta}\)

\( \cos({\alpha+\beta}) = \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\)

\( tg({\alpha+\beta}) = \frac{tg{\alpha}+tg{\beta}}{1-tg{\alpha}tg{\beta}}\)

\( ctg({\alpha+\beta}) = \frac{ctg{\alpha}ctg{\beta}-1}{ctg{\alpha}+ctg{\beta}}\)

Sinus, cosinus, tangens i cotangens kątów

Oto wzory na sinus różnicy kątów, cosinus różnicy kątów, tangens i cotangens różnicy kątów:

\(\sin({\alpha-\beta})= \sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\)

\(\cos({\alpha-\beta}) =\cos{\alpha}\cos{\beta} + \sin{\alpha}\sin{\beta}\)

\( tg({\alpha-\beta})=\frac{tg{\alpha}-tg{\beta}}{1+tg{\alpha}tg{\beta}}\)

\(ctg({\alpha-\beta}) = \frac{ctg{\alpha}ctg{\beta} +1}{ctg{\alpha}-ctg{\beta}}\)

Funkcje trygonometryczne podwojonego kąta

Wzory na sinus podwojonego kąta, cosinus podwojonego kąta i tangens podwojonego kąta:

\(\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cdot \cos{\alpha}\)

\(\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}\)

\(tg{2\alpha}=\frac{2tg{\alpha}}{1-tg^2{\alpha}}\)

Funkcje potrojonego kąta

Wzory na sinus potrojonego kąta, cosinus potrojonego kąta:

\(\sin{3\alpha}=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}\)

\(\cos{3\alpha}=4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha}\)

Funkcje trygonometryczne połowy kąta — wzory połówkowe

Oto wzory połówkowe:

\(\sin{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{2}}\)

\( \cos{\frac{\alpha}{2}} =\pm\sqrt{\frac{1+\cos{\alpha}}{2}}\)

\( tg{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}}\)

\(tg{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} =\frac{\sin{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}\)

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

Wzory na sumę sinusów, sumę cosinusów oraz różnicy sinusów i cosinusów są następujące:

\(\sin{\alpha}+\sin{\beta}= 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\)

\(\sin{\alpha}-\sin{\beta}= 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\)

\( \cos{\alpha}+\cos{\beta}= 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\)

\(\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\)

A oto kilka przykładów zastosowania powyższych wzorów trygonometrycznych:

Przykład 1

Wiadomo, że \(\sin{\alpha}=0,3\). Obliczyć \(\cos{\alpha}, tg{\alpha}, ctg{\alpha}\).

Wyznaczamy cosinus kąta, korzystając z jedynki trygonometrycznej:

\(\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1\)

\(\cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}\)

\(\cos{\alpha}=\pm\sqrt{1-\sin^2{\alpha}}\)

\(\cos{\alpha}=\pm\sqrt{1-0,3^2}=\pm\sqrt{1-0,09}=\)

\(=\pm\sqrt{0,91}\approx\pm0,954\)

Wyznaczamy tangens kąta:

\(tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\approx\frac{0,3}{\pm0,954}\approx\pm 0,3145\)

Wyznaczamy cotangens kąta:

\(ctg{\alpha}=\frac{1}{tg{\alpha}}\approx\frac{1}{\pm0,3145}\approx \pm 3,1797\)

Przykład 2

Obliczyć \(\sin{75°}\).

Skorzystamy ze wzoru na sinus sumy kątów:

\(\sin{75°}=\sin{(45°+30°)}=\sin{45^0}\cos{30°}+\cos{45°}\sin{30°}=\\ =\)

\(=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\)

\(=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)

Przykład 3

Obliczyć \(\cos{120°}\)

Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:

\(\cos{120°}=\cos{(2\cdot 60°)}=\cos^2{60°}-\sin^2{60°}=\)

\(=(\frac{1}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\)

\(=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\)

Przykład 4

Obliczyć \(\sin{120°}+\sin{60°}\)

Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów kąta:

\(\sin{120°}+\sin{60°}=\)

\(=2\sin{\frac{120°+60°}{2}}\cos{\frac{120°-60°}{2}}=\)

\(=2\sin{90°}\cos{30°}=2\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=1\)

Pozostałe wzory

To nie jedyne wzory trygonometryczne. W osobnych artykułach omawiamy:

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Oblicz \(tg{75°}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz \(\cos{75°}\cos{10°}+\sin{70°}\cos{10°}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wiedząc, że \(\sin{x}=0,2\) oblicz \(\cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Obliczyć

a) \(\sin{75°}+\sin{15°}\)

b) \(\cos{75°}+\cos{15°}\)

c) \(\sin{75°}-\sin{15°}\)

d) \(\cos{75°}-\cos{15°}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Udowodnić tożsamość:

a) \(tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}\)

b) \(tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}\)

c) \(\sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Udowodnić tożsamość:

a) \(tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}\)

b) \(\frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}\)

c) \(\frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Udowodnić tożsamość: \(tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{1}{\cos{x}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Udowodnić tożsamość:

a) \(\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}\)

b) \(tg(45^o+x)tg(45^o-x)=1\)

c) \(\cos{x}+\sin{x}=\sqrt{2}\sin(45^o+x)\)

d) \(tg{x}+ctg{x}=\frac{2}{\sin{2x}}\)

e) \(\frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=tg(45^o+x)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Dla każdego kąta ostrego α iloczyn \(\frac{cos\alpha}{1-\sin^2\alpha}\cdot \frac{1-cos^2\alpha}{sin\alpha}\) jest równy

A. \(\sin{\alpha}\)

B. \(tg\alpha\)

C. \(\cos{\alpha}\)

D. \(\sin^2{\alpha}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Jeżeli \(0°<\alpha <90°\) oraz \(tg\alpha=2\sin{\alpha}\), to:

A. \(\cos{\alpha}=\frac{1}{2}\)

B. \(\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

C. \(\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

D. \(\cos{\alpha}=1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 — maturalne.

Jeżeli \(\alpha\) jest kątem ostrym oraz \(tg\alpha=\frac{2}{5}\), to wartość wyrażenia \(\frac{3\cos{\alpha}-2\sin{\alpha}}{\sin{\alpha}-5\cos{\alpha}}\) jest równa:

A. \(-\frac{11}{23}\)

B. \(\frac{24}{5}\)

C. \(-\frac{23}{11}\)

D. \(\frac{5}{24}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 — maturalne.

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\frac{2\sin{\alpha}+3\cos{\alpha}}{\cos{\alpha}}=4\). Oblicz tangens kąta \(\alpha\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13 — maturalne.

Różnica \(\cos^2{165°} − \sin^2{165°}\) jest równa

A. \(-1\)

B. \(-\frac{3}{2}\)

C. \(-\frac{1}{2}\)

D. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 14 — maturalne.

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(tg{\alpha}=2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin{2\alpha}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 15 — maturalne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) wyrażenie \(\sin^4{\alpha}+\sin^2{\alpha}\cdot \cos^2{\alpha}\) jest równe:

A. \(\sin^2{\alpha}\)

B. \(\sin^6{\alpha}\cdot \cos^2{\alpha}\)

C. \(\sin^4{\alpha}+1\)

D. \(\sin^2{\alpha}\cdot (\sin{\alpha}+\cos{\alpha})\cdot (\sin{\alpha}-\cos{\alpha})\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 16.

Znaleźć okres podstawowy funkcji: \(y=\cos^4{x}-\sin^4{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.