Wzory trygonometryczne

W niniejszym artykule przedstawiamy podstawowe wzory trygonometryczne, o których często mówimy także tożsamości trygonometryczne.

Między funkcjami trygonometrycznymi kąta $\alpha$ zachodzą następujące związki (tożsamości trygonometryczne):

Dowód

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa mamy:

$a^2+b^2=c^2/:c^2\\ \frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=1\\ (\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=1\\ \sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

Jedynka trygonometryczna

Jedynka trygonometryczna to jeden z najczęściej występujący wzorów w zadaniach z trygonometrii. Obok przedstawiamy dowód tej tożsamości trygonometrycznej.

Twierdzenie

$\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

Powyższy wzór nosi też inne nazwy: "wzór jednostkowy", "jedność trygonometryczna", "trygonometryczne twierdzenie Pitagorasa".

Oto inne, bardzo często wykorzystywane w kursie matematyki wzory:

Dowód

$\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{c}\cdot \frac{c}{b}=\frac{a}{b}=tg{\alpha}$

Twierdzenie

$tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$

Twierdzenie

$ctg{\alpha}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$

$tg{\alpha}=\frac{1}{ctg{\alpha}}$

Funkcje sumy kątów

Oto wzory na sinus sumy kątów, cosinus sumy kątów, tangens i cotangens sumy kątów:

Twierdzenie

$\sin({\alpha+\beta})=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}\\ \cos({\alpha+\beta})=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\\ tg({\alpha+\beta})=\frac{tg{\alpha}+tg{\beta}}{1-tg{\alpha}tg{\beta}}\\ ctg({\alpha+\beta})=\frac{ctg{\alpha}ctg{\beta}-1}{ctg{\alpha}+ctg{\beta}}$

Funkcje różnicy kątów

Oto wzory na sinus różnicy kątów, cosinus różnicy kątów, tangens i cotangens różnicy kątów:

Twierdzenie

$\sin({\alpha-\beta})=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\\ \cos({\alpha-\beta})=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\\ tg({\alpha-\beta})=\frac{tg{\alpha}-tg{\beta}}{1+tg{\alpha}tg{\beta}}\\ ctg({\alpha-\beta})=\frac{ctg{\alpha}ctg{\beta}+1}{ctg{\alpha}-ctg{\beta}}$

Funkcje podwójnego kąta

Wzory na sinus podwojonego kąta, cosinus podwojonego kąta i tangens podwojonego kąta:

Twierdzenie

$\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cdot \cos{\alpha}\\ \cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}\\ tg{2\alpha}=\frac{2tg{\alpha}}{1-tg^2{\alpha}}$

Funkcje potrojonego kąta

Wzory na sinus potrojonego kąta, cosinus potrojonego kąta:

Twierdzenie

$\sin{3\alpha}=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}\\ \cos{3\alpha}=4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha}$

Funkcje połowy kąta

Wzory połówkowe:

Twierdzenie

$\sin{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{2}}\\ \cos{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{\alpha}}{2}}\\ tg{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}}\\ tg{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}=\frac{\sin{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}$

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

Wzory na sumę sinusów, sumę cosinusów oraz różnicy sinusów i cosinusów są następujące:

Twierdzenie

$\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ \sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ \cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ \cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}$

Przykłady

A oto kilka przykładów zastosowania powyższych wzorów trygonometrycznych:

Przykład

Wiadomo, że $\sin{\alpha}=0,3$ . Obliczyć $\cos{\alpha}, tg{\alpha}, ctg{\alpha}$ .

Wyznaczamy cosinus kąta, korzystając z jedynki trygonometrycznej:

$\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1\\ \cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}\\ \cos{\alpha}=\pm\sqrt{1-\sin^2{\alpha}}\\ \cos{\alpha}=\pm\sqrt{1-0,3^2}=\pm\sqrt{1-0,09}=\pm\sqrt{0,91}\approx\pm0,954$

Wyznaczamy tangens kąta:

$tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\approx\frac{0,3}{\pm0,954}\approx\pm 0,3145$

Wyznaczamy cotangens kąta:

$ctg{\alpha}=\frac{1}{tg{\alpha}}\approx\frac{1}{\pm0,3145}\approx \pm 3,1797$

Przykład

Obliczyć $\sin{75^o}$ .

Skorzystamy ze wzoru na sinus sumy kątów:

$\sin{75^o}=\sin{(45^o+30^o)}=\sin{45^0}\cos{30^o}+\cos{45^o}\sin{30^o}=\\ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Przykład

Obliczyć $\cos{120^o}$

Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:

$\cos{120^o}=\cos{(2\cdot 60^o)}=\cos^2{60^o}-\sin^2{60^o}=(\frac{1}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$

Przykład

Obliczyć $\sin{120^o}+\sin{60^o}$

Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów kąta:

$\sin{120^o}+\sin{60^o}=2\sin{\frac{120^o+60^o}{2}}\cos{\frac{120^o-60^o}{2}}=2\sin{90^o}\cos{30^o}=2\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=1$

Pozostałe wzory

To nie jedyne wzory trygonometryczne. W osobnych artykułach omawiamy:

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Oblicz $tg{75^o}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz $\cos{75^o}\cos{10^o}+\sin{70^o}\cos{10^o}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wiedząc, że $\sin{x}=0,2$ oblicz $\cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Obliczyć
$Obliczyć a) sin{75^o}+sin{15^o} b) cos{75^o}+cos{15^o} c) sin{75^o}-sin{15^o} d) cos{75^o}-cos{15^o}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Udowodnić tożsamość:
a) $tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}$
b) $tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}$
c) $\sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Udowodnić tożsamość:
a) $tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}$
b) $\frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}$
c) $\frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Udowodnić tożsamość: $tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{1}{\cos{x}}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Udowodnić tożsamość:
a) $\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}$
b)

c) $\cos{x}+\sin{x}=\sqrt{2}\sin(45^o+x)$
d) $tg{x}+ctg{x}=\frac{2}{\sin{2x}}$
e) $\frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=tg(45^o+x)$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Dla każdego kąta ostrego α iloczyn $\frac{cos\alpha}{1-\sin^2\alpha}\cdot \frac{1-cos^2\alpha}{sin\alpha}$ jest równy

A. sinα

B. tgα

C. cosα

D. sin²α

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Jeżeli 0°<α<90° oraz tgα=2sinα, to :

A. cosα=1/2
B. cosα=√2/2
C. cosα=√3/2
D. cosα=1

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 — maturalne.

Jeżeli α jest kątem ostrym oraz $tg\alpha=\frac{2}{5}$ , to wartość wyrażenia $\frac{3cos\alpha-2sin\alpha}{sin\alpha-5cos\alpha}$ jest równa:

A. -11/23
B. 24/5
C. -23/11
D. 5/24

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 — maturalne.

Kąt α jest ostry i spełnia warunek (2sinα + 3cosα)/cosα = 4. Oblicz tangens kąta α.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13.

Znaleźć okres podstawowy funkcji: $y=\cos^4x-\sin^4x$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Funkcje trygonometryczne sinus cosinus tangens

Definicja funkcji trygonometrycznych kąta ostrego: sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans.

Sinus cosinus tangens cotangens 0 30 45 60 90 stopni

Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów.

Nauka wartości funkcji trygonometrycznych

Nauka wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych on-line za pomocą darmowej aplikacji

Wykres funkcji sinus

Wykresem funkcji sinus jest krzywa, którą nazywamy sinusoidą.

Wykres funkcji cosinus

Wykresem funkcji cosinus jest cosinusoida.

Wykres funkcji tangens

Wykresem funkcji tangens jest tangensoida.

Wykres funkcji cotangens

Wykresem funkcji cotangens jest cotangensoida.

Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne z omówieniem sposobu ich wyznaczania za pomocą koła trygonometrycznego.

Równania trygonometryczne

Równanie trygonometryczne jest to równanie, w którym niewiadome występują wyłącznie pod znakami funkcji trygonometrycznych.

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą podstawiania, z wykorzystaniem tożsamości trygonometrycznych, metody równań równoważnych i analizy starożytnych

Nierówności trygonometryczne

Nierówność trygonometryczna jest to nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznej.