Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne)

Teoria Między funkcjami trygonometrycznymi kąta \alpha zachodzą związki:

Teoria Dowód

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa mamy:

a^2+b^2=c^2/:c^2\\ \frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=1\\ (\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=1\\ \sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1

Jedynka trygonometryczna

Twierdzenie Twierdzenie

\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1

Powyższy wzór nosi też inne nazwy: "wzór jednostkowy", "jedność trygonometryczna", "trygonometryczne twierdzenie Pitagorasa". To najczęściej wykorzystywany wzór w trygonometrii.


Oto inne wzory:

Teoria Dowód

\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{c}\cdot \frac{c}{b}=\frac{a}{b}=tg{\alpha}

Twierdzenie Twierdzenie


tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}

Twierdzenie Twierdzenie

ctg{\alpha}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}
tg{\alpha}=\frac{1}{ctg{\alpha}}

Funkcje sumy kątów

Twierdzenie Twierdzenie

\sin({\alpha+\beta})=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}\\ \cos({\alpha+\beta})=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\\ tg({\alpha+\beta})=\frac{tg{\alpha}+tg{\beta}}{1-tg{\alpha}tg{\beta}}\\ ctg({\alpha+\beta})=\frac{ctg{\alpha}ctg{\beta}-1}{ctg{\alpha}+ctg{\beta}}

Funkcje różnicy kątów

Twierdzenie Twierdzenie

\sin({\alpha-\beta})=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\\ \cos({\alpha-\beta})=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\\ tg({\alpha-\beta})=\frac{tg{\alpha}-tg{\beta}}{1+tg{\alpha}tg{\beta}}\\ ctg({\alpha-\beta})=\frac{ctg{\alpha}ctg{\beta}+1}{ctg{\alpha}-ctg{\beta}}

Funkcje podwójnego kąta

Twierdzenie Twierdzenie

\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cdot \cos{\alpha}\\ \cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}\\ tg{2\alpha}=\frac{2tg{\alpha}}{1-tg^2{\alpha}}

Funkcje potrojonego kąta

Twierdzenie Twierdzenie

\sin{3\alpha}=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}\\ \cos{3\alpha}=4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha}

Funkcje połowy kąta

Twierdzenie Twierdzenie

\sin{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{2}}\\ \cos{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{\alpha}}{2}}\\ tg{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}}\\ tg{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}=\frac{\sin{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

Twierdzenie Twierdzenie

\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ \sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ \cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ \cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}

A oto kilka przykładów zastosowania powyższych wzorów trygonometrycznych:

Przykład Przykład

Wiadomo, że \sin{\alpha}=0,3. Obliczyć \cos{\alpha}, tg{\alpha}, ctg{\alpha}.

Wyznaczamy cosinus kąta, korzystając z jedynki trygonometrycznej:

\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1\\ \cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}\\ \cos{\alpha}=\pm\sqrt{1-\sin^2{\alpha}}\\ \cos{\alpha}=\pm\sqrt{1-0,3^2}=\pm\sqrt{1-0,09}=\pm\sqrt{0,91}\approx\pm0,954

Wyznaczamy tangens kąta:

tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\approx\frac{0,3}{\pm0,954}\approx\pm 0,3145

Wyznaczamy cotangens kąta:

ctg{\alpha}=\frac{1}{tg{\alpha}}\approx\frac{1}{\pm0,3145}\approx \pm 3,1797

Przykład Przykład

Obliczyć \sin{75^o}.

Skorzystamy ze wzoru na sinus sumy kątów:

\sin{75^o}=\sin{(45^o+30^o)}=\sin{45^0}\cos{30^o}+\cos{45^o}\sin{30^o}=\\ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

Przykład Przykład

Obliczyć \cos{120^o}

Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:

\cos{120^o}=\cos{(2\cdot 60^o)}=\cos^2{60^o}-\sin^2{60^o}=(\frac{1}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}

Przykład Przykład

Obliczyć \sin{120^o}+\sin{60^o}

Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów kąta:

\sin{120^o}+\sin{60^o}=2\sin{\frac{120^o+60^o}{2}}\cos{\frac{120^o-60^o}{2}}=2\sin{90^o}\cos{30^o}=2\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=1


© medianauka.pl, 2011-03-27, ART-1267






Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz tg{75^o}.

zadanie-ikonka Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz \cos{75^o}\cos{10^o}+\sin{70^o}\cos{10^o}.

zadanie-ikonka Zadanie - wzory trygonometryczne
Wiedząc, że \sin{x}=0,2 oblicz \cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}.

zadanie-ikonka Zadanie - wzory trygonometryczne
Obliczyć
Obliczyć a) sin{75^o}+sin{15^o} b) cos{75^o}+cos{15^o} c) sin{75^o}-sin{15^o} d) cos{75^o}-cos{15^o}

zadanie-ikonka Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}
b) tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}
c) \sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1

zadanie-ikonka Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}
b) \frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}
c) \frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}

zadanie-ikonka Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość: tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{1}{\cos{x}}.

zadanie-ikonka Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) \frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}
b) tg(45^o+x)tg(45^o-x)=1
c) \cos{x}+\sin{x}=\sqrt{2}\sin(45^o+x)
d) tg{x}+ctg{x}=\frac{2}{\sin{2x}}
e) \frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=tg(45^o+x)

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom podstawowy)
Jeżeli 0°<α<90° oraz tgα=2sinα, to :

A. cosα=1/2
B. cosα=√2/2
C. cosα=√3/2
D. cosα=1

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 14, matura 2014
Jeżeli α jest kątem ostrym oraz tg\alpha=\frac{2}{5}, to wartość wyrażenia \frac{3cos\alpha-2sin\alpha}{sin\alpha-5cos\alpha}jest równa:

A. -11/23
B. 24/5
C. -23/11
D. 5/24

zadanie-ikonka Zadanie - okres funkcji, znajdowanie okresu funkcji
Znaleźć okres podstawowy funkcji: y=\cos^4x-\sin^4x.




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.