Wzory trygonometryczne
W niniejszym artykule przedstawiamy podstawowe wzory trygonometryczne, o których często mówimy także tożsamości trygonometryczne.
Między funkcjami trygonometrycznymi kąta
zachodzą następujące związki (tożsamości trygonometryczne):
Dowód
Na podstawie twierdzenia Pitagorasa mamy:

Jedynka trygonometryczna
Jedynka trygonometryczna to jeden z najczęściej występujący wzorów w zadaniach z trygonometrii. Obok przedstawiamy dowód tej tożsamości trygonometrycznej.
Twierdzenie

Powyższy wzór nosi też inne nazwy: "wzór jednostkowy", "jedność trygonometryczna", "trygonometryczne twierdzenie Pitagorasa".
Oto inne, bardzo często wykorzystywane w kursie matematyki wzory:
Dowód
Twierdzenie

Twierdzenie


Funkcje sumy kątów
Oto wzory na sinus sumy kątów, cosinus sumy kątów, tangens i cotangens sumy kątów:
Twierdzenie

Funkcje różnicy kątów
Oto wzory na sinus różnicy kątów, cosinus różnicy kątów, tangens i cotangens różnicy kątów:
Twierdzenie

Funkcje podwójnego kąta
Wzory na sinus podwojonego kąta, cosinus podwojonego kąta i tangens podwojonego kąta:
Twierdzenie

Funkcje potrojonego kąta
Wzory na sinus potrojonego kąta, cosinus potrojonego kąta:
Twierdzenie

Funkcje połowy kąta
Wzory połówkowe:
Twierdzenie

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych
Wzory na sumę sinusów, sumę cosinusów oraz różnicy sinusów i cosinusów są następujące:
Twierdzenie

Przykłady
A oto kilka przykładów zastosowania powyższych wzorów trygonometrycznych:
Przykład
Wiadomo, że . Obliczyć
.
Wyznaczamy cosinus kąta, korzystając z jedynki trygonometrycznej:
Wyznaczamy tangens kąta:
Wyznaczamy cotangens kąta:
Przykład
Obliczyć .
Skorzystamy ze wzoru na sinus sumy kątów:
Przykład
Obliczyć
Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:
Przykład
Obliczyć
Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów kąta:
Pozostałe wzory
To nie jedyne wzory trygonometryczne. W osobnych artykułach omawiamy:
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Wzory trygonometryczne, tożsamości trygonometryczne
Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz .
Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz .
Zadanie - wzory trygonometryczne
Wiedząc, że oblicz
.
Zadanie - wzory trygonometryczne
Obliczyć
Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a)
b)
c)
Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a)
b)
c)
Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość: .
Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a)
b)
c)
d)
e)
Zadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom podstawowy)
Jeżeli 0°<α<90° oraz tgα=2sinα, to :
A. cosα=1/2
B. cosα=√2/2
C. cosα=√3/2
D. cosα=1
Zadanie maturalne nr 14, matura 2014
Jeżeli α jest kątem ostrym oraz , to wartość wyrażenia
jest równa:
A. -11/23
B. 24/5
C. -23/11
D. 5/24
Zadanie - okres funkcji, znajdowanie okresu funkcji
Znaleźć okres podstawowy funkcji: .
Inne zagadnienia z tej lekcji
Funkcje trygonometryczne sinus cosinus tangens

Definicja funkcji trygonometrycznych kąta ostrego: sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans.
Sinus cosinus tangens cotangens 0 30 45 60 90 stopni

Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów.
Nauka wartości funkcji trygonometrycznych

Nauka wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych on-line za pomocą darmowej aplikacji
Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne z omówieniem sposobu ich wyznaczania za pomocą koła trygonometrycznego.
Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów

Omówienie twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów wraz z przykładami ich zastosowania w rozwiązywaniu trójkątów
Równania trygonometryczne

Równanie trygonometryczne jest to równanie, w którym niewiadome występują wyłącznie pod znakami funkcji trygonometrycznych.
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą podstawiania, z wykorzystaniem tożsamości trygonometrycznych, metody równań równoważnych i analizy starożytnych
Nierówności trygonometryczne

Nierówność trygonometryczna jest to nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznej.
© medianauka.pl, 2011-03-27, ART-1267