Strona główna » Matematyka » Wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne)

Zadanie - wzory trygonometryczne

Obliczyć
$Obliczyć a) sin{75^o}+sin{15^o} b) cos{75^o}+cos{15^o} c) sin{75^o}-sin{15^o} d) cos{75^o}-cos{15^o}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Korzystamy ze wzorów na sumę i różnicę sinusa i cosinusa

$\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ \sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ \cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ \cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}$

Mamy więc:

$a) \ \sin{75^o}+\sin{15^o}=2\sin{\frac{75^o+15^o}{2}}\cos{{\frac{75^o-15^o}{2}}}=2\sin{45^o}\cos{30^o}=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}\\ b) \ \cos{75^o}+\cos{15^o}=2\cos{\frac{75^o+15^o}{2}}\cos{{\frac{75^o-15^o}{2}}}=2\cos{45^o}\cos{30^o}=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}\\ c) \ \sin{75^o}-\sin{15^o}=2\cos{\frac{75^o+15^o}{2}}\sin{{\frac{75^o-15^o}{2}}}=2\cos{45^o}\sin{30^o}=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ d) \ \cos{75^o}-\cos{15^o}=-2\sin{\frac{75^o+15^o}{2}}\sin{{\frac{75^o-15^o}{2}}}=-2\sin{45^o}\sin{30^o}=-2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Odpowiedź

$a) \ \sin{75^o}+\sin{15^o}=\frac{\sqrt{6}}{2}\\b) \ \cos{75^o}+\cos{15^o}=\frac{\sqrt{6}}{2}\\c) \ \sin{75^o}-\sin{15^o}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\d) \ \cos{75^o}-\cos{15^o}=-\frac{\sqrt{6}}{2}$

Zadania podobne

Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz $tg{75^o}$ .

Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz $\cos{75^o}\cos{10^o}+\sin{70^o}\cos{10^o}$ .

Zadanie - wzory trygonometryczne
Wiedząc, że $\sin{x}=0,2$ oblicz $\cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}$ .

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}$
b) $tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}$
c) $\sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1$

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}$
b) $\frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}$
c) $\frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}$