Nauka » Matematyka » Wzory trygonometryczne, tożsamości trygonometryczne

Zadanie - wzory trygonometryczne

Obliczyć
$Obliczyć a) sin{75^o}+sin{15^o} b) cos{75^o}+cos{15^o} c) sin{75^o}-sin{15^o} d) cos{75^o}-cos{15^o}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Korzystamy ze wzorów na sumę i różnicę sinusa i cosinusa

$\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ \sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ \cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ \cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}$

Mamy więc:

$a) \ \sin{75^o}+\sin{15^o}=2\sin{\frac{75^o+15^o}{2}}\cos{{\frac{75^o-15^o}{2}}}=2\sin{45^o}\cos{30^o}=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}\\ b) \ \cos{75^o}+\cos{15^o}=2\cos{\frac{75^o+15^o}{2}}\cos{{\frac{75^o-15^o}{2}}}=2\cos{45^o}\cos{30^o}=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}\\ c) \ \sin{75^o}-\sin{15^o}=2\cos{\frac{75^o+15^o}{2}}\sin{{\frac{75^o-15^o}{2}}}=2\cos{45^o}\sin{30^o}=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ d) \ \cos{75^o}-\cos{15^o}=-2\sin{\frac{75^o+15^o}{2}}\sin{{\frac{75^o-15^o}{2}}}=-2\sin{45^o}\sin{30^o}=-2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Odpowiedź

$a) \ \sin{75^o}+\sin{15^o}=\frac{\sqrt{6}}{2}\\b) \ \cos{75^o}+\cos{15^o}=\frac{\sqrt{6}}{2}\\c) \ \sin{75^o}-\sin{15^o}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\d) \ \cos{75^o}-\cos{15^o}=-\frac{\sqrt{6}}{2}$

Zadania podobne

Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz $tg{75^o}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz $\cos{75^o}\cos{10^o}+\sin{70^o}\cos{10^o}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory trygonometryczne
Wiedząc, że $\sin{x}=0,2$ oblicz $\cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}$
b) $tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}$
c) $\sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}$
b) $\frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}$
c) $\frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość: $tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{1}{\cos{x}}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}$
b)

c) $\cos{x}+\sin{x}=\sqrt{2}\sin(45^o+x)$
d) $tg{x}+ctg{x}=\frac{2}{\sin{2x}}$
e) $\frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=tg(45^o+x)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - okres funkcji, znajdowanie okresu funkcji
Znaleźć okres podstawowy funkcji: $y=\cos^4x-\sin^4x$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom podstawowy)
Jeżeli 0°<α<90° oraz tgα=2sinα, to :

A. cosα=1/2
B. cosα=√2/2
C. cosα=√3/2
D. cosα=1

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 14, matura 2014
Jeżeli α jest kątem ostrym oraz $tg\alpha=\frac{2}{5}$ , to wartość wyrażenia $\frac{3cos\alpha-2sin\alpha}{sin\alpha-5cos\alpha}$ jest równa:

A. -11/23
B. 24/5
C. -23/11
D. 5/24

Pokaż rozwiązanie zadania