Strona główna » Matematyka » Wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne)

Zadanie - wzory trygonometryczne

Wiedząc, że $\sin{x}=0,2$ oblicz $\cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=1-2\sin^2{\alpha}=1-2\cdot (0,2)^2=0,92$
$\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}=\pm 2\sin{\alpha}\cdot sqrt{1-\sin^2{\alpha}}=\pm 2\cdot 0,2\cdot\sqrt{1-(0,2)^2}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{25}$
$tg{2\alpha}=\frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}=\pm\frac{2\sin{\alpha}\cdot \sqrt{1-\sin^2{\alpha}}}{1-2\sin^2{\alpha}}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{23}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wyznaczamy $\cos{2\alpha}$ . Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:

$\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$

oraz wzoru jedynkowego:

$\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}=1$

Mamy więc:

$\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=1-2\sin^2{\alpha}=\\ =1-2\cdot (0,2)^2=1-0,08=0,92$

Obliczamy sinus podwojonego kąta, korzystając ze wzoru:

$\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

Ze wzoru jedynkowego mamy:

$\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}=1\\ \cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}\\ \cos{\alpha}=\pm\sqrt{1-\sin^2{\alpha}$

Podstawiamy dane do wzoru:

$\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}=\pm 2\sin{\alpha}\cdot sqrt{1-\sin^2{\alpha}}\\ \sin{2\alpha}=\pm 2\cdot 0,2\cdot\sqrt{1-(0,2)^2}=\pm 0,4\sqrt{0,96}=\pm\frac{4}{10}\cdot \sqrt{\frac{96}{100}}=\\ =\pm\frac{2}{5}\frac{\sqrt{16\cdot 6}}{10}=\pm\frac{2\cdot 4\sqrt{6}}{5\cdot 10}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{25}$

Aby obliczyć tangens podwojonego kąta możemy skorzystać ze wzoru na tangens podwojonego kąta, jednak tutaj wykorzystamy inny wzór:

i skorzystamy z wcześniej wyznaczonych wielkości. Mamy więc:

$tg{2\alpha}=\frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}=\pm\frac{2\sin{\alpha}\cdot \sqrt{1-\sin^2{\alpha}}}{1-2\sin^2{\alpha}}$

Możemy od razu podstawić wyznaczone wcześniej wartości liczbowe:

$tg{2\alpha}=\pm\frac{\frac{4\sqrt{6}}{25}}{\frac{92}{100}}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{25}\cdot \frac{100}{92}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{23}$

Odpowiedź

$\cos{2\alpha}=0,92\\ \sin{2\alpha}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{25}\\ tg{2\alpha}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{23}$

Zadania podobne

Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz $tg{75^o}$ .

Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz $\cos{75^o}\cos{10^o}+\sin{70^o}\cos{10^o}$ .

Zadanie - wzory trygonometryczne
Obliczyć
$Obliczyć a) sin{75^o}+sin{15^o} b) cos{75^o}+cos{15^o} c) sin{75^o}-sin{15^o} d) cos{75^o}-cos{15^o}$

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}$
b) $tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}$
c) $\sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1$

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}$
b) $\frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}$
c) $\frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}$