Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - wzory trygonometryczne


Wiedząc, że \sin{x}=0,2 oblicz \cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=1-2\sin^2{\alpha}=1-2\cdot (0,2)^2=0,92
\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}=\pm 2\sin{\alpha}\cdot sqrt{1-\sin^2{\alpha}}=\pm 2\cdot 0,2\cdot\sqrt{1-(0,2)^2}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{25}
tg{2\alpha}=\frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}=\pm\frac{2\sin{\alpha}\cdot \sqrt{1-\sin^2{\alpha}}}{1-2\sin^2{\alpha}}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{23}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wyznaczamy \cos{2\alpha}. Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:

\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}

oraz wzoru jedynkowego:

\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}=1

Mamy więc:

\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=1-2\sin^2{\alpha}=\\ =1-2\cdot (0,2)^2=1-0,08=0,92

Obliczamy sinus podwojonego kąta, korzystając ze wzoru:

\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}

Ze wzoru jedynkowego mamy:

\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}=1\\ \cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}\\ \cos{\alpha}=\pm\sqrt{1-\sin^2{\alpha}

Podstawiamy dane do wzoru:

\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}=\pm 2\sin{\alpha}\cdot sqrt{1-\sin^2{\alpha}}\\ \sin{2\alpha}=\pm 2\cdot 0,2\cdot\sqrt{1-(0,2)^2}=\pm 0,4\sqrt{0,96}=\pm\frac{4}{10}\cdot \sqrt{\frac{96}{100}}=\\ =\pm\frac{2}{5}\frac{\sqrt{16\cdot 6}}{10}=\pm\frac{2\cdot 4\sqrt{6}}{5\cdot 10}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{25}

Aby obliczyć tangens podwojonego kąta możemy skorzystać ze wzoru na tangens podwojonego kąta, jednak tutaj wykorzystamy inny wzór:


i skorzystamy z wcześniej wyznaczonych wielkości. Mamy więc:

tg{2\alpha}=\frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}=\pm\frac{2\sin{\alpha}\cdot \sqrt{1-\sin^2{\alpha}}}{1-2\sin^2{\alpha}}

Możemy od razu podstawić wyznaczone wcześniej wartości liczbowe:

tg{2\alpha}=\pm\frac{\frac{4\sqrt{6}}{25}}{\frac{92}{100}}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{25}\cdot \frac{100}{92}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{23}

ksiązki Odpowiedź

\cos{2\alpha}=0,92\\ \sin{2\alpha}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{25}\\ tg{2\alpha}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{23}

© medianauka.pl, 2011-03-28, ZAD-1270


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.