Logo Media Nauka

Zadanie - wzory trygonometryczne

Wiedząc, że \sin{x}=0,2 oblicz \cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=1-2\sin^2{\alpha}=1-2\cdot (0,2)^2=0,92
\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}=\pm 2\sin{\alpha}\cdot sqrt{1-\sin^2{\alpha}}=\pm 2\cdot 0,2\cdot\sqrt{1-(0,2)^2}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{25}
tg{2\alpha}=\frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}=\pm\frac{2\sin{\alpha}\cdot \sqrt{1-\sin^2{\alpha}}}{1-2\sin^2{\alpha}}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{23}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wyznaczamy \cos{2\alpha}. Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:

\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}

oraz wzoru jedynkowego:

\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}=1

Mamy więc:

\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=1-2\sin^2{\alpha}=\\ =1-2\cdot (0,2)^2=1-0,08=0,92

Obliczamy sinus podwojonego kąta, korzystając ze wzoru:

\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}

Ze wzoru jedynkowego mamy:

\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}=1\\ \cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}\\ \cos{\alpha}=\pm\sqrt{1-\sin^2{\alpha}

Podstawiamy dane do wzoru:

\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}=\pm 2\sin{\alpha}\cdot sqrt{1-\sin^2{\alpha}}\\ \sin{2\alpha}=\pm 2\cdot 0,2\cdot\sqrt{1-(0,2)^2}=\pm 0,4\sqrt{0,96}=\pm\frac{4}{10}\cdot \sqrt{\frac{96}{100}}=\\ =\pm\frac{2}{5}\frac{\sqrt{16\cdot 6}}{10}=\pm\frac{2\cdot 4\sqrt{6}}{5\cdot 10}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{25}

Aby obliczyć tangens podwojonego kąta możemy skorzystać ze wzoru na tangens podwojonego kąta, jednak tutaj wykorzystamy inny wzór:


i skorzystamy z wcześniej wyznaczonych wielkości. Mamy więc:

tg{2\alpha}=\frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}=\pm\frac{2\sin{\alpha}\cdot \sqrt{1-\sin^2{\alpha}}}{1-2\sin^2{\alpha}}

Możemy od razu podstawić wyznaczone wcześniej wartości liczbowe:

tg{2\alpha}=\pm\frac{\frac{4\sqrt{6}}{25}}{\frac{92}{100}}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{25}\cdot \frac{100}{92}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{23}

ksiązki Odpowiedź

\cos{2\alpha}=0,92\\ \sin{2\alpha}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{25}\\ tg{2\alpha}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{23}

© medianauka.pl, 2011-03-28, ZAD-1270



Zadania podobne

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz tg{75^o}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz \cos{75^o}\cos{10^o}+\sin{70^o}\cos{10^o}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Obliczyć
Obliczyć a) sin{75^o}+sin{15^o} b) cos{75^o}+cos{15^o} c) sin{75^o}-sin{15^o} d) cos{75^o}-cos{15^o}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}
b) tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}
c) \sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}
b) \frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}
c) \frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość: tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{1}{\cos{x}}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) \frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}
b) tg(45^o+x)tg(45^o-x)=1
c) \cos{x}+\sin{x}=\sqrt{2}\sin(45^o+x)
d) tg{x}+ctg{x}=\frac{2}{\sin{2x}}
e) \frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=tg(45^o+x)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - okres funkcji, znajdowanie okresu funkcji
Znaleźć okres podstawowy funkcji: y=\cos^4x-\sin^4x.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom podstawowy)
Jeżeli 0°<α<90° oraz tgα=2sinα, to :

A. cosα=1/2
B. cosα=√2/2
C. cosα=√3/2
D. cosα=1


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 14, matura 2014
Jeżeli α jest kątem ostrym oraz tg\alpha=\frac{2}{5}, to wartość wyrażenia \frac{3cos\alpha-2sin\alpha}{sin\alpha-5cos\alpha}jest równa:

A. -11/23
B. 24/5
C. -23/11
D. 5/24

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.