Nauka » Matematyka » Wzory trygonometryczne, tożsamości trygonometryczne

Zadanie - wzory trygonometryczne

Wiedząc, że $\sin{x}=0,2$ oblicz $\cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=1-2\sin^2{\alpha}=1-2\cdot (0,2)^2=0,92$
$\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}=\pm 2\sin{\alpha}\cdot sqrt{1-\sin^2{\alpha}}=\pm 2\cdot 0,2\cdot\sqrt{1-(0,2)^2}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{25}$
$tg{2\alpha}=\frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}=\pm\frac{2\sin{\alpha}\cdot \sqrt{1-\sin^2{\alpha}}}{1-2\sin^2{\alpha}}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{23}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Wyznaczamy $\cos{2\alpha}$ . Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:

$\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$

oraz wzoru jedynkowego:

$\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}=1$

Mamy więc:

$\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=1-2\sin^2{\alpha}=\\ =1-2\cdot (0,2)^2=1-0,08=0,92$

Obliczamy sinus podwojonego kąta, korzystając ze wzoru:

$\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

Ze wzoru jedynkowego mamy:

$\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}=1\\ \cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}\\ \cos{\alpha}=\pm\sqrt{1-\sin^2{\alpha}$

Podstawiamy dane do wzoru:

$\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}=\pm 2\sin{\alpha}\cdot sqrt{1-\sin^2{\alpha}}\\ \sin{2\alpha}=\pm 2\cdot 0,2\cdot\sqrt{1-(0,2)^2}=\pm 0,4\sqrt{0,96}=\pm\frac{4}{10}\cdot \sqrt{\frac{96}{100}}=\\ =\pm\frac{2}{5}\frac{\sqrt{16\cdot 6}}{10}=\pm\frac{2\cdot 4\sqrt{6}}{5\cdot 10}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{25}$

Aby obliczyć tangens podwojonego kąta możemy skorzystać ze wzoru na tangens podwojonego kąta, jednak tutaj wykorzystamy inny wzór:

i skorzystamy z wcześniej wyznaczonych wielkości. Mamy więc:

$tg{2\alpha}=\frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}=\pm\frac{2\sin{\alpha}\cdot \sqrt{1-\sin^2{\alpha}}}{1-2\sin^2{\alpha}}$

Możemy od razu podstawić wyznaczone wcześniej wartości liczbowe:

$tg{2\alpha}=\pm\frac{\frac{4\sqrt{6}}{25}}{\frac{92}{100}}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{25}\cdot \frac{100}{92}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{23}$

Odpowiedź

$\cos{2\alpha}=0,92\\ \sin{2\alpha}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{25}\\ tg{2\alpha}=\pm\frac{4\sqrt{6}}{23}$

Zadania podobne

Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz $tg{75^o}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz $\cos{75^o}\cos{10^o}+\sin{70^o}\cos{10^o}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory trygonometryczne
Obliczyć
$Obliczyć a) sin{75^o}+sin{15^o} b) cos{75^o}+cos{15^o} c) sin{75^o}-sin{15^o} d) cos{75^o}-cos{15^o}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}$
b) $tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}$
c) $\sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}$
b) $\frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}$
c) $\frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość: $tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{1}{\cos{x}}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}$
b)

c) $\cos{x}+\sin{x}=\sqrt{2}\sin(45^o+x)$
d) $tg{x}+ctg{x}=\frac{2}{\sin{2x}}$
e) $\frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=tg(45^o+x)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - okres funkcji, znajdowanie okresu funkcji
Znaleźć okres podstawowy funkcji: $y=\cos^4x-\sin^4x$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom podstawowy)
Jeżeli 0°<α<90° oraz tgα=2sinα, to :

A. cosα=1/2
B. cosα=√2/2
C. cosα=√3/2
D. cosα=1

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 14, matura 2014
Jeżeli α jest kątem ostrym oraz $tg\alpha=\frac{2}{5}$ , to wartość wyrażenia $\frac{3cos\alpha-2sin\alpha}{sin\alpha-5cos\alpha}$ jest równa:

A. -11/23
B. 24/5
C. -23/11
D. 5/24

Pokaż rozwiązanie zadania