Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - tożsamości trygonometryczne


Udowodnić tożsamość:
a) tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}
b) \frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}
c) \frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}


ksiązki a) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzorów:

\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}\\tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P:

L=tg{\alpha}\sin{2\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cancel{\cos{\alpha}}}\cdot 2\sin{\alpha}\cancel{\cos{\alpha}}=2\sin^2{\alpha}=P

ksiązki b) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru jedynkowego (kolor różowy):

\sin^2{x}+\cos^2{x}=1\\ \cos^2{x}=1-\sin^2{x}

oraz wzoru skróconego mnożenia (kolor żółty w przekształceniach):

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P, sprowadzając ułamki lewej strony równania do wspólnego mianownika:

L=\frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{1+\sin{x}}{(1-\sin{x})(1+\sin{x})}+\frac{1-\sin{x}}{(1+\sin{x})(1-\sin{x})}=\\ =\frac{1+\sin{x}+1-\sin{x}}{(1+\sin{x})(1-\sin{x})}=\frac{2}{1^2-\sin^2{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}=P tło tło tło tło

ksiązki c) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzorów:

\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ \cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P:

L=\frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=\frac{\cancel{2}\sin\frac{5x+3x}{2}\cancel{\cos{\frac{5x-3x}{2}}}}{\cancel{2}\cos\frac{5x+3x}{2}\cancel{\cos{\frac{5x-3x}{2}}}}=\frac{\sin{4x}}{\cos{4x}}=tg{4x}=P

© medianauka.pl, 2011-03-29, ZAD-1275


Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.