Logo Media Nauka

Zadanie - tożsamości trygonometryczne

Udowodnić tożsamość:
a) tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}
b) \frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}
c) \frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}

ksiązki a) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzorów:

\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}\\tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P:

L=tg{\alpha}\sin{2\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cancel{\cos{\alpha}}}\cdot 2\sin{\alpha}\cancel{\cos{\alpha}}=2\sin^2{\alpha}=P

ksiązki b) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru jedynkowego (kolor różowy):

\sin^2{x}+\cos^2{x}=1\\ \cos^2{x}=1-\sin^2{x}

oraz wzoru skróconego mnożenia (kolor żółty w przekształceniach):

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P, sprowadzając ułamki lewej strony równania do wspólnego mianownika:

L=\frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{1+\sin{x}}{(1-\sin{x})(1+\sin{x})}+\frac{1-\sin{x}}{(1+\sin{x})(1-\sin{x})}=\\ =\frac{1+\sin{x}+1-\sin{x}}{(1+\sin{x})(1-\sin{x})}=\frac{2}{1^2-\sin^2{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}=P tło tło tło tło

ksiązki c) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzorów:

\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ \cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P:

L=\frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=\frac{\cancel{2}\sin\frac{5x+3x}{2}\cancel{\cos{\frac{5x-3x}{2}}}}{\cancel{2}\cos\frac{5x+3x}{2}\cancel{\cos{\frac{5x-3x}{2}}}}=\frac{\sin{4x}}{\cos{4x}}=tg{4x}=P

© medianauka.pl, 2011-03-29, ZAD-1275



Zadania podobne

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz tg{75^o}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz \cos{75^o}\cos{10^o}+\sin{70^o}\cos{10^o}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Wiedząc, że \sin{x}=0,2 oblicz \cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Obliczyć
Obliczyć a) sin{75^o}+sin{15^o} b) cos{75^o}+cos{15^o} c) sin{75^o}-sin{15^o} d) cos{75^o}-cos{15^o}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}
b) tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}
c) \sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość: tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{1}{\cos{x}}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) \frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}
b) tg(45^o+x)tg(45^o-x)=1
c) \cos{x}+\sin{x}=\sqrt{2}\sin(45^o+x)
d) tg{x}+ctg{x}=\frac{2}{\sin{2x}}
e) \frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=tg(45^o+x)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - okres funkcji, znajdowanie okresu funkcji
Znaleźć okres podstawowy funkcji: y=\cos^4x-\sin^4x.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom podstawowy)
Jeżeli 0°<α<90° oraz tgα=2sinα, to :

A. cosα=1/2
B. cosα=√2/2
C. cosα=√3/2
D. cosα=1


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 14, matura 2014
Jeżeli α jest kątem ostrym oraz tg\alpha=\frac{2}{5}, to wartość wyrażenia \frac{3cos\alpha-2sin\alpha}{sin\alpha-5cos\alpha}jest równa:

A. -11/23
B. 24/5
C. -23/11
D. 5/24

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.