logo

Zadanie - tożsamości trygonometryczne


Udowodnić tożsamość:
a) tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}
b) \frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}
c) \frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}

ksiązki a) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzorów:

\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}\\tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P:

L=tg{\alpha}\sin{2\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cancel{\cos{\alpha}}}\cdot 2\sin{\alpha}\cancel{\cos{\alpha}}=2\sin^2{\alpha}=P

ksiązki b) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru jedynkowego (kolor różowy):

\sin^2{x}+\cos^2{x}=1\\ \cos^2{x}=1-\sin^2{x}

oraz wzoru skróconego mnożenia (kolor żółty w przekształceniach):

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P, sprowadzając ułamki lewej strony równania do wspólnego mianownika:

L=\frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{1+\sin{x}}{(1-\sin{x})(1+\sin{x})}+\frac{1-\sin{x}}{(1+\sin{x})(1-\sin{x})}=\\ =\frac{1+\sin{x}+1-\sin{x}}{(1+\sin{x})(1-\sin{x})}=\frac{2}{1^2-\sin^2{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}=P tło tło tło tło

ksiązki c) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzorów:

\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ \cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}\\ tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P:

L=\frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=\frac{\cancel{2}\sin\frac{5x+3x}{2}\cancel{\cos{\frac{5x-3x}{2}}}}{\cancel{2}\cos\frac{5x+3x}{2}\cancel{\cos{\frac{5x-3x}{2}}}}=\frac{\sin{4x}}{\cos{4x}}=tg{4x}=P

© medianauka.pl, 2011-03-29, ZAD-1275

Zadania podobne

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz tg{75^o}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz \cos{75^o}\cos{10^o}+\sin{70^o}\cos{10^o}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Wiedząc, że \sin{x}=0,2 oblicz \cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Obliczyć
Obliczyć a) sin{75^o}+sin{15^o} b) cos{75^o}+cos{15^o} c) sin{75^o}-sin{15^o} d) cos{75^o}-cos{15^o}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}
b) tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}
c) \sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość: tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{1}{\cos{x}}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) \frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}
b) tg(45^o+x)tg(45^o-x)=1
c) \cos{x}+\sin{x}=\sqrt{2}\sin(45^o+x)
d) tg{x}+ctg{x}=\frac{2}{\sin{2x}}
e) \frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=tg(45^o+x)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - okres funkcji, znajdowanie okresu funkcji
Znaleźć okres podstawowy funkcji: y=\cos^4x-\sin^4x.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom podstawowy)
Jeżeli 0°<α<90° oraz tgα=2sinα, to :

A. cosα=1/2
B. cosα=√2/2
C. cosα=√3/2
D. cosα=1


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 14, matura 2014
Jeżeli α jest kątem ostrym oraz tg\alpha=\frac{2}{5}, to wartość wyrażenia \frac{3cos\alpha-2sin\alpha}{sin\alpha-5cos\alpha}jest równa:

A. -11/23
B. 24/5
C. -23/11
D. 5/24

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

Kolorowe skarpetki - smart owl - sowa
Nowoczesne kompendium matematyki
Matematyka olimpijska. Kombinatoryka
Kolorowe skarpetki Kostka
Matematyka olimpijska. Planimetria
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2021 r.