Nauka » Matematyka » Wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne)

Zadanie - tożsamości trygonometryczne

Udowodnić tożsamość:
a) $\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}$
b)

c) $\cos{x}+\sin{x}=\sqrt{2}\sin(45^o+x)$
d) $tg{x}+ctg{x}=\frac{2}{\sin{2x}}$
e) $\frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=tg(45^o+x)$

a) Rozwiązanie zadania

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P. Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

Mnożymy licznik i mianownik lewej strony równania przez $(1-\cos{x})$ . Mamy więc:

$?L=\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{\sin{x}\cdot (1-\cos{x})}{(1+\cos{x})(1-\cos{x})}=\frac{\sin{x}\cdot (1-\cos{x})}{1^2-\cos^2{x}}=\\ =\frac{\sin{x}\cdot (1-\cos{x})}{\sin^2{x}+\cos^2{x}-\cos^2{x}}=\frac{\cancel{\sin{x}}\cdot (1-\cos{x})}{\sin^{\cancel{2}}{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}=P$ tło

Kolorem żółtym zaznaczono fragment obliczeń, dla których zastosowano jedynkę trygonometryczną:

$\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

b) Rozwiązanie zadania

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P. Skorzystamy ze wzorów:

$tg({\alpha+\beta})=\frac{tg{\alpha}+tg{\beta}}{1-tg{\alpha}tg{\beta}}\\ tg({\alpha-\beta})=\frac{tg{\alpha}-tg{\beta}}{1+tg{\alpha}tg{\beta}}$

Pamiętając, że $tg{45^o}=1$ otrzymujemy:

$L=tg(45^o+x)tg(45^o-x)=\frac{tg{45^o}+tg{x}}{1-tg{45^o}tg{x}}\cdot \frac{tg{45^o}-tg{x}}{1+tg{45^o}tg{x}}=\frac{\cancel{1+tg{x}}}{\cancel{1-tg{x}}}\cdot \frac{\cancel{1-tg{x}}}{\cancel{1+tg{x}}}=1=P$

c) Rozwiązanie zadania

Przekształcimy prawą stronę równania P w lewą stronę równania L. Skorzystamy ze wzoru:

$\sin({\alpha+\beta})=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$

Pamiętając, że $\sin{45^o}=\cos{45^o}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ otrzymujemy:

$P=\sqrt{2}\sin(45^o+x)=\sqrt{2}(\sin{45^o}\cos{x}+\cos{45^o}\sin{x})=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos{x}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin{x})=\\=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}\cos{x}+\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}\sin{x})=\frac{2}{2}\cos{x}+\frac{2}{2}\sin{x}=\sin{x}+\cos{x}=L$

d) Rozwiązanie zadania

Przekształcimy prawą stronę równania L w lewą stronę równania P. Skorzystamy ze wzorów:

$tg{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\\ ctg{x}=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}\\ \sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}\\ \sin^2{x}+\cos^2{x}=1$

Otrzymujemy:

$L=tg{x}+ctg{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}+\frac{\cos{x}}{\sin{x}}=\frac{\sin^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}+\frac{\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}}=\\=\frac{1}{\sin{x}\cos{x}}=\frac{2}{2\sin{x}\cos{x}}=\frac{2}{\sin{2x}}=P$

e) Rozwiązanie zadania

Przekształcimy prawą stronę równania P w lewą stronę równania L. Skorzystamy ze wzoru:

$tg({\alpha+\beta})=\frac{tg{\alpha}+tg{\beta}}{1-tg{\alpha}tg{\beta}}$

Pamiętając, że $tg{45^o}=1$ otrzymujemy:

$P=tg(45^o+x)=\frac{tg{45^o}+tg{x}}{1-tg{45^o}tg{x}}=\frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=L$

Zadania podobne

Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz $tg{75^o}$ .

Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz $\cos{75^o}\cos{10^o}+\sin{70^o}\cos{10^o}$ .

Zadanie - wzory trygonometryczne
Wiedząc, że $\sin{x}=0,2$ oblicz $\cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}$ .

Zadanie - wzory trygonometryczne
Obliczyć
$Obliczyć a) sin{75^o}+sin{15^o} b) cos{75^o}+cos{15^o} c) sin{75^o}-sin{15^o} d) cos{75^o}-cos{15^o}$

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}$
b) $tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}$
c) $\sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1$

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}$
b) $\frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}$
c) $\frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}$