Nauka » Matematyka » Wzory trygonometryczne, tożsamości trygonometryczne

Zadanie - wzory trygonometryczne

Oblicz $tg{75^o}$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

$tg{75^o}=tg{(45^o+30^o)}=\frac{tg{45^o}+tg{30^o}}{1-tg{45^o}tg{30^o}}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{(1+\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})}{(1-\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})}=\frac{(1+\frac{\sqrt{3}}{3})^2}{(1-\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})}=$
$=\frac{1+2\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{9}}{1-\frac{3}{9}}=\frac{\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{4+2\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{3}{2}=2+\sqrt{3}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Korzystamy ze wzoru na tangens sumy kątów:

$tg{(\alpha+\beta)}=\frac{tg{\alpha}+tg{\beta}}{1-tg{\alpha}tg{\beta}}$

i zapisujemy kąt 75° jako: 45°+30°. Znamy wartości funkcji trygonometryczne tych dwóch kątów, bo:

$tg{45^o}=1\\ tg{30^o}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Mamy więc:

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia dla wyrażenia w liczniku:

oraz

dla wyrażenia w mianowniku.

$\frac{(1+\frac{\sqrt{3}}{3})^2}{(1-\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})}=\frac{1+2\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{9}}{1-\frac{3}{9}}=\frac{\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{4+2\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{3}{2}=2+\sqrt{3}$

Odpowiedź

$tg{75^o}=2+\sqrt{3}$

Zadania podobne

Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz $\cos{75^o}\cos{10^o}+\sin{70^o}\cos{10^o}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory trygonometryczne
Wiedząc, że $\sin{x}=0,2$ oblicz $\cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory trygonometryczne
Obliczyć
$Obliczyć a) sin{75^o}+sin{15^o} b) cos{75^o}+cos{15^o} c) sin{75^o}-sin{15^o} d) cos{75^o}-cos{15^o}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}$
b) $tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}$
c) $\sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}$
b) $\frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}$
c) $\frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość: $tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{1}{\cos{x}}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}$
b)

c) $\cos{x}+\sin{x}=\sqrt{2}\sin(45^o+x)$
d) $tg{x}+ctg{x}=\frac{2}{\sin{2x}}$
e) $\frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=tg(45^o+x)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - okres funkcji, znajdowanie okresu funkcji
Znaleźć okres podstawowy funkcji: $y=\cos^4x-\sin^4x$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 16, matura 2021

Dla każdego kąta ostrego α iloczyn $\frac{cos\alpha}{1-\sin^2\alpha}\cdot \frac{1-cos^2\alpha}{sin\alpha}$ jest równy

A. sinα

B. tgα

C. cosα

D. sin²α

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom podstawowy)
Jeżeli 0°<α<90° oraz tgα=2sinα, to :

A. cosα=1/2
B. cosα=√2/2
C. cosα=√3/2
D. cosα=1

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 14, matura 2014
Jeżeli α jest kątem ostrym oraz $tg\alpha=\frac{2}{5}$ , to wartość wyrażenia $\frac{3cos\alpha-2sin\alpha}{sin\alpha-5cos\alpha}$ jest równa:

A. -11/23
B. 24/5
C. -23/11
D. 5/24

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 31, matura 2020

Kąt α jest ostry i spełnia warunek (2sinα + 3cosα)/cosα = 4. Oblicz tangens kąta α.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.