Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - wzory trygonometryczne


Oblicz tg{75^o}.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

tg{75^o}=tg{(45^o+30^o)}=\frac{tg{45^o}+tg{30^o}}{1-tg{45^o}tg{30^o}}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{(1+\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})}{(1-\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})}=\frac{(1+\frac{\sqrt{3}}{3})^2}{(1-\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})}=
=\frac{1+2\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{9}}{1-\frac{3}{9}}=\frac{\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{4+2\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{3}{2}=2+\sqrt{3}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Korzystamy ze wzoru na tangens sumy kątów:

tg{(\alpha+\beta)}=\frac{tg{\alpha}+tg{\beta}}{1-tg{\alpha}tg{\beta}}

i zapisujemy kąt 75° jako: 45°+30°. Znamy wartości funkcji trygonometryczne tych dwóch kątów, bo:

tg{45^o}=1\\ tg{30^o}=\frac{\sqrt{3}}{3}

Mamy więc:

tg{75^o}=tg{(45^o+30^o)}=\frac{tg{45^o}+tg{30^o}}{1-tg{45^o}tg{30^o}}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{(1+\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})}{(1-\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})}=\frac{(1+\frac{\sqrt{3}}{3})^2}{(1-\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})}

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia dla wyrażenia w liczniku:

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

oraz

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

dla wyrażenia w mianowniku.

\frac{(1+\frac{\sqrt{3}}{3})^2}{(1-\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})}=\frac{1+2\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{9}}{1-\frac{3}{9}}=\frac{\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{4+2\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{3}{2}=2+\sqrt{3}

ksiązki Odpowiedź

tg{75^o}=2+\sqrt{3}

© medianauka.pl, 2011-03-27, ZAD-1268





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.