Logo Media Nauka

Zadanie - wzory trygonometryczne

Oblicz tg{75^o}.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

tg{75^o}=tg{(45^o+30^o)}=\frac{tg{45^o}+tg{30^o}}{1-tg{45^o}tg{30^o}}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{(1+\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})}{(1-\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})}=\frac{(1+\frac{\sqrt{3}}{3})^2}{(1-\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})}=
=\frac{1+2\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{9}}{1-\frac{3}{9}}=\frac{\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{4+2\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{3}{2}=2+\sqrt{3}

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Korzystamy ze wzoru na tangens sumy kątów:

tg{(\alpha+\beta)}=\frac{tg{\alpha}+tg{\beta}}{1-tg{\alpha}tg{\beta}}

i zapisujemy kąt 75° jako: 45°+30°. Znamy wartości funkcji trygonometryczne tych dwóch kątów, bo:

tg{45^o}=1\\ tg{30^o}=\frac{\sqrt{3}}{3}

Mamy więc:

tg{75^o}=tg{(45^o+30^o)}=\frac{tg{45^o}+tg{30^o}}{1-tg{45^o}tg{30^o}}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{(1+\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})}{(1-\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})}=\frac{(1+\frac{\sqrt{3}}{3})^2}{(1-\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})}

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia dla wyrażenia w liczniku:

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

oraz

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

dla wyrażenia w mianowniku.

\frac{(1+\frac{\sqrt{3}}{3})^2}{(1-\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})}=\frac{1+2\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{9}}{1-\frac{3}{9}}=\frac{\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{4+2\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{3}{2}=2+\sqrt{3}

ksiązki Odpowiedź

tg{75^o}=2+\sqrt{3}

© medianauka.pl, 2011-03-27, ZAD-1268



Zadania podobne

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz \cos{75^o}\cos{10^o}+\sin{70^o}\cos{10^o}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Wiedząc, że \sin{x}=0,2 oblicz \cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Obliczyć
Obliczyć a) sin{75^o}+sin{15^o} b) cos{75^o}+cos{15^o} c) sin{75^o}-sin{15^o} d) cos{75^o}-cos{15^o}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}
b) tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}
c) \sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}
b) \frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}
c) \frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość: tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{1}{\cos{x}}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) \frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}
b) tg(45^o+x)tg(45^o-x)=1
c) \cos{x}+\sin{x}=\sqrt{2}\sin(45^o+x)
d) tg{x}+ctg{x}=\frac{2}{\sin{2x}}
e) \frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=tg(45^o+x)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - okres funkcji, znajdowanie okresu funkcji
Znaleźć okres podstawowy funkcji: y=\cos^4x-\sin^4x.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom podstawowy)
Jeżeli 0°<α<90° oraz tgα=2sinα, to :

A. cosα=1/2
B. cosα=√2/2
C. cosα=√3/2
D. cosα=1


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 14, matura 2014
Jeżeli α jest kątem ostrym oraz tg\alpha=\frac{2}{5}, to wartość wyrażenia \frac{3cos\alpha-2sin\alpha}{sin\alpha-5cos\alpha}jest równa:

A. -11/23
B. 24/5
C. -23/11
D. 5/24

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.