Nauka » Matematyka » Wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne)

Zadanie - wzory trygonometryczne

Oblicz $tg{75^o}$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

$tg{75^o}=tg{(45^o+30^o)}=\frac{tg{45^o}+tg{30^o}}{1-tg{45^o}tg{30^o}}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{(1+\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})}{(1-\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})}=\frac{(1+\frac{\sqrt{3}}{3})^2}{(1-\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})}=$
$=\frac{1+2\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{9}}{1-\frac{3}{9}}=\frac{\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{4+2\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{3}{2}=2+\sqrt{3}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Korzystamy ze wzoru na tangens sumy kątów:

$tg{(\alpha+\beta)}=\frac{tg{\alpha}+tg{\beta}}{1-tg{\alpha}tg{\beta}}$

i zapisujemy kąt 75° jako: 45°+30°. Znamy wartości funkcji trygonometryczne tych dwóch kątów, bo:

$tg{45^o}=1\\ tg{30^o}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Mamy więc:

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia dla wyrażenia w liczniku:

oraz

dla wyrażenia w mianowniku.

$\frac{(1+\frac{\sqrt{3}}{3})^2}{(1-\frac{\sqrt{3}}{3})(1+\frac{\sqrt{3}}{3})}=\frac{1+2\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{9}}{1-\frac{3}{9}}=\frac{\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{4+2\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{3}{2}=2+\sqrt{3}$

Odpowiedź

$tg{75^o}=2+\sqrt{3}$

Zadania podobne

Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz $\cos{75^o}\cos{10^o}+\sin{70^o}\cos{10^o}$ .

Zadanie - wzory trygonometryczne
Wiedząc, że $\sin{x}=0,2$ oblicz $\cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}$ .

Zadanie - wzory trygonometryczne
Obliczyć
$Obliczyć a) sin{75^o}+sin{15^o} b) cos{75^o}+cos{15^o} c) sin{75^o}-sin{15^o} d) cos{75^o}-cos{15^o}$

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}$
b) $tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}$
c) $\sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1$

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}$
b) $\frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}$
c) $\frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}$