Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Zadanie - tożsamości trygonometryczne

Udowodnić tożsamość:
a) tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}
b) tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}
c) \sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1

ksiązki a) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzorów:

tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\\ ctg{\alpha}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P:

L=tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}+\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}=\frac{\sin{\alpha}\cdot \sin{\alpha}}{\cos{\alpha}\cdot \sin{\alpha}}+\frac{\cos{\alpha}\cdot \cos{\alpha}}{\sin{\alpha}\cdot \sin{\alpha}}=\frac{\sin^2{\alpha}}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}+\frac{\cos^2{\alpha}}{\sin{\alpha}\sin{\alpha}}=\\ =\frac{\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}}{\sin{\alpha}\sin{\alpha}}=\frac{1}{\sin{\alpha}\sin{\alpha}}=Ptło tło

Skorzystaliśmy tutaj dodatkowo (fragment zaznaczony na żółto ze wzoru jedynkowego)

ksiązki b) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzorów:

tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\\ \sin{(\alpha-\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P:

L=tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}-\frac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}}=\frac{\sin{\alpha}\cdot \cos{\beta}}{\cos{\alpha}\cdot \cos{\beta}}-\frac{\sin{\beta}\cdot \cos{\alpha}}{\cos{\beta}\cdot \cos{\alpha}}=\\ =\frac{\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}=P tło tło

ksiązki c) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru jedynkowego:

\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1

oraz wzoru skróconego mnożenia:

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P:

L=\sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=(\sin^2{\alpha})^2-(cos^2{\alpha})^2=(\sin^2{\alpha}-cos^2{\alpha})(\sin^2{\alpha}+cos^2{\alpha})=\\ (\sin^2{\alpha}-cos^2{\alpha})\cdot 1=\sin^2{\alpha}-(1-\sin^2{\alpha})=\sin^2{\alpha}-1+\sin^2{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1=P tło tło tło tło

Dwa razy zastosowano tutaj wzór jedynkowy (zaznaczono to kolorami)


© medianauka.pl, 2011-03-28, ZAD-1272





Zadania podobne

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz tg{75^o}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz \cos{75^o}\cos{10^o}+\sin{70^o}\cos{10^o}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Wiedząc, że \sin{x}=0,2 oblicz \cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Obliczyć
Obliczyć a) sin{75^o}+sin{15^o} b) cos{75^o}+cos{15^o} c) sin{75^o}-sin{15^o} d) cos{75^o}-cos{15^o}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}
b) \frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}
c) \frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość: tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{1}{\cos{x}}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) \frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}
b) tg(45^o+x)tg(45^o-x)=1
c) \cos{x}+\sin{x}=\sqrt{2}\sin(45^o+x)
d) tg{x}+ctg{x}=\frac{2}{\sin{2x}}
e) \frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=tg(45^o+x)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - okres funkcji, znajdowanie okresu funkcji
Znaleźć okres podstawowy funkcji: y=\cos^4x-\sin^4x.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom podstawowy)
Jeżeli 0°<α<90° oraz tgα=2sinα, to :

A. cosα=1/2
B. cosα=√2/2
C. cosα=√3/2
D. cosα=1


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 14, matura 2014
Jeżeli α jest kątem ostrym oraz tg\alpha=\frac{2}{5}, to wartość wyrażenia \frac{3cos\alpha-2sin\alpha}{sin\alpha-5cos\alpha}jest równa:

A. -11/23
B. 24/5
C. -23/11
D. 5/24

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.