Nauka » Matematyka » Wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne)

Zadanie - tożsamości trygonometryczne

Udowodnić tożsamość:
a) $tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}$
b) $tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}$
c) $\sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1$

a) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzorów:

$tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\\ ctg{\alpha}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P:

$L=tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}+\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}=\frac{\sin{\alpha}\cdot \sin{\alpha}}{\cos{\alpha}\cdot \sin{\alpha}}+\frac{\cos{\alpha}\cdot \cos{\alpha}}{\sin{\alpha}\cdot \sin{\alpha}}=\frac{\sin^2{\alpha}}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}+\frac{\cos^2{\alpha}}{\sin{\alpha}\sin{\alpha}}=\\ =\frac{\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}}{\sin{\alpha}\sin{\alpha}}=\frac{1}{\sin{\alpha}\sin{\alpha}}=P$ tło

Skorzystaliśmy tutaj dodatkowo (fragment zaznaczony na żółto ze wzoru jedynkowego)

b) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzorów:

$tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\\ \sin{(\alpha-\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}$

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P:

$L=tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}-\frac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}}=\frac{\sin{\alpha}\cdot \cos{\beta}}{\cos{\alpha}\cdot \cos{\beta}}-\frac{\sin{\beta}\cdot \cos{\alpha}}{\cos{\beta}\cdot \cos{\alpha}}=\\ =\frac{\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}=P$ tło

c) Rozwiązanie zadania

Skorzystamy ze wzoru jedynkowego:

$\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

oraz wzoru skróconego mnożenia:

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P:

$L=\sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=(\sin^2{\alpha})^2-(cos^2{\alpha})^2=(\sin^2{\alpha}-cos^2{\alpha})(\sin^2{\alpha}+cos^2{\alpha})=\\ (\sin^2{\alpha}-cos^2{\alpha})\cdot 1=\sin^2{\alpha}-(1-\sin^2{\alpha})=\sin^2{\alpha}-1+\sin^2{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1=P$ tło

Dwa razy zastosowano tutaj wzór jedynkowy (zaznaczono to kolorami)

Zadania podobne

Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz $tg{75^o}$ .

Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz $\cos{75^o}\cos{10^o}+\sin{70^o}\cos{10^o}$ .

Zadanie - wzory trygonometryczne
Wiedząc, że $\sin{x}=0,2$ oblicz $\cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}$ .

Zadanie - wzory trygonometryczne
Obliczyć
$Obliczyć a) sin{75^o}+sin{15^o} b) cos{75^o}+cos{15^o} c) sin{75^o}-sin{15^o} d) cos{75^o}-cos{15^o}$

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}$
b) $\frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}$
c) $\frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}$