Logo Media Nauka
Sklep naukowy

Zadanie - tożsamości trygonometryczne

Udowodnić tożsamość: tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{1}{\cos{x}}.

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy najpierw ze wzoru:

tg({\alpha-\beta})=\frac{tg{\alpha}-tg{\beta}}{1+tg{\alpha}tg{\beta}}

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P:

L=tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{tg{45^o}-tg{\frac{x}{2}}}{1+tg{45^o}tg{\frac{x}{2}}}+tg{x}=\frac{1-tg{\frac{x}{2}}}{1+tg{\frac{x}{2}}}+tg{x}=

W ułamku mamy do czynienia z tangensem połowy kata. Możemy tangens występujący poza ułamkiem wyrazić w podobny sposób:, a następnie skorzystać ze wzoru na tangens podwojonego kata:

tg{2\alpha}=\frac{2tg{\alpha}}{1-tg^2{\alpha}}

Mamy więc:

=\frac{1-tg{\frac{x}{2}}}{1+tg{\frac{x}{2}}}+tg{x}=\frac{1-tg{\frac{x}{2}}}{1+tg{\frac{x}{2}}}+tg{(2\cdot \frac{x}{2})=\frac{1-tg{\frac{x}{2}}}{1+tg{\frac{x}{2}}}+\frac{2tg\frac{x}{2}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=

Sprowadzimy oba ułamki do wspólnego mianownika, mnożąc licznik i mianownik pierwszego ułamka przez (1-tg{\frac{x}{2}), a następnie korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:

(a-b)(a+b)=a^2-b^2\\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Mamy więc:

=\frac{(1-tg{\frac{x}{2}})\cdot (1-tg{\frac{x}{2}})}{(1+tg{\frac{x}{2}})(1-tg{\frac{x}{2}})}+\frac{2tg\frac{x}{2}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=\frac{(1-tg{\frac{x}{2}})^2}{(1^2-tg^2{\frac{x}{2}})}+\frac{2tg\frac{x}{2}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=\\ =\frac{(1-tg{\frac{x}{2}})^2+2tg\frac{x}{2}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=\frac{1^2-2tg{\frac{x}{2}}+tg^2{\frac{x}{2}}+2tg\frac{x}{2}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=\frac{1+tg^2{\frac{x}{2}}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=

Teraz skorzystamy ze wzoru:

tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}

I wykonamy działania w liczniku i mianowniku, korzystając także z jedynki trygonometrycznej (\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1), - fragment zaznaczono kolorem żółtym:

=\frac{1+\frac{\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}}{1-\frac{\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}}=\frac{\frac{\cos^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}+\frac{\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}}{\frac{\cos^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}-\frac{\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}}=\frac{\frac{\cos^2{\frac{x}{2}}+\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cancel{\cos^2{\frac{x}{2}}}}}{\frac{\cos^2{\frac{x}{2}}-\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cancel{\cos^2{\frac{x}{2}}}}}=\frac{1}{\cos^2{\frac{x}{2}}-\sin^2{\frac{x}{2}}}=\frac{1}{\cos{(2\cdot{\frac{x}{2}})}}=\frac{1}{\cos{x}}=P tło tło tło tło

W ostatnim kroku (kolor niebieski) skorzystano ze wzoru:

\cos(2\alpha)=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}

© medianauka.pl, 2011-03-29, ZAD-1278





Zadania podobne

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz tg{75^o}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz \cos{75^o}\cos{10^o}+\sin{70^o}\cos{10^o}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Wiedząc, że \sin{x}=0,2 oblicz \cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Obliczyć
Obliczyć a) sin{75^o}+sin{15^o} b) cos{75^o}+cos{15^o} c) sin{75^o}-sin{15^o} d) cos{75^o}-cos{15^o}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}
b) tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}
c) \sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}
b) \frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}
c) \frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) \frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}
b) tg(45^o+x)tg(45^o-x)=1
c) \cos{x}+\sin{x}=\sqrt{2}\sin(45^o+x)
d) tg{x}+ctg{x}=\frac{2}{\sin{2x}}
e) \frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=tg(45^o+x)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - okres funkcji, znajdowanie okresu funkcji
Znaleźć okres podstawowy funkcji: y=\cos^4x-\sin^4x.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom podstawowy)
Jeżeli 0°<α<90° oraz tgα=2sinα, to :

A. cosα=1/2
B. cosα=√2/2
C. cosα=√3/2
D. cosα=1


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 14, matura 2014
Jeżeli α jest kątem ostrym oraz tg\alpha=\frac{2}{5}, to wartość wyrażenia \frac{3cos\alpha-2sin\alpha}{sin\alpha-5cos\alpha}jest równa:

A. -11/23
B. 24/5
C. -23/11
D. 5/24

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.