Strona główna » Matematyka » Wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne)

Zadanie - tożsamości trygonometryczne

Udowodnić tożsamość: $tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{1}{\cos{x}}$ .

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Skorzystamy najpierw ze wzoru:

$tg({\alpha-\beta})=\frac{tg{\alpha}-tg{\beta}}{1+tg{\alpha}tg{\beta}}$

Przekształcimy lewą stronę równania L w prawą stronę równania P:

$L=tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{tg{45^o}-tg{\frac{x}{2}}}{1+tg{45^o}tg{\frac{x}{2}}}+tg{x}=\frac{1-tg{\frac{x}{2}}}{1+tg{\frac{x}{2}}}+tg{x}=$

W ułamku mamy do czynienia z tangensem połowy kata. Możemy tangens występujący poza ułamkiem wyrazić w podobny sposób:, a następnie skorzystać ze wzoru na tangens podwojonego kata:

$tg{2\alpha}=\frac{2tg{\alpha}}{1-tg^2{\alpha}}$

Mamy więc:

$=\frac{1-tg{\frac{x}{2}}}{1+tg{\frac{x}{2}}}+tg{x}=\frac{1-tg{\frac{x}{2}}}{1+tg{\frac{x}{2}}}+tg{(2\cdot \frac{x}{2})=\frac{1-tg{\frac{x}{2}}}{1+tg{\frac{x}{2}}}+\frac{2tg\frac{x}{2}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=$

Sprowadzimy oba ułamki do wspólnego mianownika, mnożąc licznik i mianownik pierwszego ułamka przez $(1-tg{\frac{x}{2})$ , a następnie korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2\\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Mamy więc:

$=\frac{(1-tg{\frac{x}{2}})\cdot (1-tg{\frac{x}{2}})}{(1+tg{\frac{x}{2}})(1-tg{\frac{x}{2}})}+\frac{2tg\frac{x}{2}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=\frac{(1-tg{\frac{x}{2}})^2}{(1^2-tg^2{\frac{x}{2}})}+\frac{2tg\frac{x}{2}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=\\ =\frac{(1-tg{\frac{x}{2}})^2+2tg\frac{x}{2}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=\frac{1^2-2tg{\frac{x}{2}}+tg^2{\frac{x}{2}}+2tg\frac{x}{2}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=\frac{1+tg^2{\frac{x}{2}}}{1-tg^2{\frac{x}{2}}}=$

Teraz skorzystamy ze wzoru:

$tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$

I wykonamy działania w liczniku i mianowniku, korzystając także z jedynki trygonometrycznej ( $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$ ), - fragment zaznaczono kolorem żółtym:

$=\frac{1+\frac{\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}}{1-\frac{\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}}=\frac{\frac{\cos^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}+\frac{\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}}{\frac{\cos^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}-\frac{\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}}=\frac{\frac{\cos^2{\frac{x}{2}}+\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cancel{\cos^2{\frac{x}{2}}}}}{\frac{\cos^2{\frac{x}{2}}-\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cancel{\cos^2{\frac{x}{2}}}}}=\frac{1}{\cos^2{\frac{x}{2}}-\sin^2{\frac{x}{2}}}=\frac{1}{\cos{(2\cdot{\frac{x}{2}})}}=\frac{1}{\cos{x}}=P$ tło

W ostatnim kroku (kolor niebieski) skorzystano ze wzoru:

$\cos(2\alpha)=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$

Zadania podobne

Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz $tg{75^o}$ .

Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz $\cos{75^o}\cos{10^o}+\sin{70^o}\cos{10^o}$ .

Zadanie - wzory trygonometryczne
Wiedząc, że $\sin{x}=0,2$ oblicz $\cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}$ .

Zadanie - wzory trygonometryczne
Obliczyć
$Obliczyć a) sin{75^o}+sin{15^o} b) cos{75^o}+cos{15^o} c) sin{75^o}-sin{15^o} d) cos{75^o}-cos{15^o}$

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}$
b) $tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}$
c) $\sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1$

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}$
b) $\frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}$
c) $\frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}$