Zadanie - okres funkcji, znajdowanie okresu funkcji

Treść zadania:

Rozwiązanie zadania

Przekształcimy naszą funkcję korzystając z tożsamości trygonometrycznej:

oraz wzoru skróconego mnożenia

Mamy więc

\(f(x)=\cos^4{x}-\sin^4{x}=(cos^2{x})^2-(\sin^2{x})^2=\)

\(=(\cos^2{x}-\sin^2{x})(\cos^2{x}+\sin^2{x})=\cos{2x}\cdot 1=\cos{2x}\)

Funkcję nazywamy okresową gdy istnieje tak liczba \(T\) różna od zera, że dla każdej liczby \(x\) z dziedziny funkcji liczba \(x+T\) należy do tej dziedziny oraz

\(f(x)=f(x+T)\)

Obliczamy zatem \(f(x+T)\), czyli za argument \(x\) podstawiamy \(x+T\):

\(f(x)=\cos{2x}\)

\(f(x+T)=\cos{[2(x+T)]}=\cos{(2x+2T)}\)

Znamy jedynie na okres podstawowy funkcji \(y=cosx\), który wynosi \(2\pi\), więc musimy zastosować podstawienie:

\(u=2x\)

\(f(u)=\cos{(u+2T)}\)

Ponieważ okresem podstawowym funkcji \(y=cosx\) jest\(2\pi\), co oznacza, że \(\cos{x}=\cos{(x+2\pi)}\), to porównując z funkcją \(f(u)\) możemy napisać, że:

\(2T=2\pi/:2\)

\(T=\pi\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2011-04-16, ZAD-1302

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Znaleźć okres podstawowy funkcji \(y=\cos{4x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).

Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji \(f\).

A. \(f(x)=\frac{\cos{x}+1}{|\cos{|x|}+1}\)

B. \(f(x)=\frac{\sin{x}+1}{|\sin{|x|}+1}\)

C. \(f(x)=\frac{\cos{x}-2}{|\cos{|x|}-2}\)

D. \(f(x)=\frac{\sin{x}-2}{|\sin{|x|}-2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.