Zadanie - okres funkcji, znajdowanie okresu funkcji
Treść zadania:
Znaleźć okres podstawowy funkcji: \(y=\cos^4{x}-\sin^4{x}\).
Rozwiązanie zadania
Przekształcimy naszą funkcję korzystając z tożsamości trygonometrycznej:
\(\cos2x=\cos^2{x}-\sin^2{x}\)oraz wzoru skróconego mnożenia
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)Mamy więc
\(f(x)=\cos^4{x}-\sin^4{x}=(cos^2{x})^2-(\sin^2{x})^2=\)
\(=(\cos^2{x}-\sin^2{x})(\cos^2{x}+\sin^2{x})=\cos{2x}\cdot 1=\cos{2x}\)
Funkcję nazywamy okresową gdy istnieje tak liczba \(T\) różna od zera, że dla każdej liczby \(x\) z dziedziny funkcji liczba \(x+T\) należy do tej dziedziny oraz
\(f(x)=f(x+T)\)
Obliczamy zatem \(f(x+T)\), czyli za argument \(x\) podstawiamy \(x+T\):
\(f(x)=\cos{2x}\)
\(f(x+T)=\cos{[2(x+T)]}=\cos{(2x+2T)}\)
Znamy jedynie na okres podstawowy funkcji \(y=cosx\), który wynosi \(2\pi\), więc musimy zastosować podstawienie:
\(u=2x\)
\(f(u)=\cos{(u+2T)}\)
Ponieważ okresem podstawowym funkcji \(y=cosx\) jest\(2\pi\), co oznacza, że \(\cos{x}=\cos{(x+2\pi)}\), to porównując z funkcją \(f(u)\) możemy napisać, że:
\(2T=2\pi/:2\)
\(T=\pi\)
Odpowiedź
\(T=\pi\)© medianauka.pl, 2011-04-16, ZAD-1302
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Znaleźć okres podstawowy funkcji
a) \(y=\sin{2x}\)
b) \(y= \sin{\pi x}\)
Zadanie nr 4.
Znaleźć okres podstawowy funkcji: \(y=\frac{1}{2}tg{(\frac{\pi}{2}x)}\).
Zadanie nr 5.
Znaleźć okres podstawowy funkcji:
a) \(y=3ctg{\frac{x}{\pi}}\)
b) \(y=2\cos{(x+\frac{\pi}{7})}\)
