Logo Media Nauka

Zadanie - okres funkcji, znajdowanie okresu funkcji

Znaleźć okres podstawowy funkcji: y=\cos^4x-\sin^4x.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

f(x)=\cos^4{x}-\sin^4{x}=(cos^2{x})^2-(\sin^2{x})^2=\\ =(\cos^2{x}-\sin^2{x})(\cos^2{x}+\sin^2{x})=\cos{2x}\cdot 1=\cos{2x}
f(x)=\cos{2x}\\ f(x+T)=\cos{[2(x+T)]}=\cos{(2x+2T)}
u=2x\\ f(u)=\cos{(u+2T)}
2T=2\pi/:2\\ T=\pi

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Przekształcimy naszą funkcję korzystając z tożsamości trygonometrycznej:

\cos2x=\cos^2{x}-\sin^2{x}

oraz wzoru skróconego mnożenia

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Mamy więc

f(x)=\cos^4{x}-\sin^4{x}=(cos^2{x})^2-(\sin^2{x})^2=\\ =(\cos^2{x}-\sin^2{x})(\cos^2{x}+\sin^2{x})=\cos{2x}\cdot 1=\cos{2x}

Funkcję nazywamy okresową gdy istnieje tak liczba T różna od zera, że dla każdej liczby x z dziedziny funkcji liczba x+T należy do tej dziedziny oraz

f(x)=f(x+T)

Obliczamy zatem f(x+T), czyli za argument x podstawiamy x+T:

f(x)=\cos{2x}\\ f(x+T)=\cos{[2(x+T)]}=\cos{(2x+2T)}

Znamy jedynie na okres podstawowy funkcji y=cosx, który wynosi 2\pi, więc musimy zastosować podstawienie:

u=2x\\ f(u)=\cos{(u+2T)}

Ponieważ okresem podstawowym funkcji y=cosx jest 2\pi, co oznacza, że \cos{x}=\cos{(x+2\pi)}, to porównując z funkcją f(u) możemy napisać, że:

2T=2\pi/:2\\ T=\pi

ksiązki Odpowiedź

T=\pi

© medianauka.pl, 2011-04-16, ZAD-1302



Zadania podobne

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz tg{75^o}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz \cos{75^o}\cos{10^o}+\sin{70^o}\cos{10^o}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Wiedząc, że \sin{x}=0,2 oblicz \cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - wzory trygonometryczne
Obliczyć
Obliczyć a) sin{75^o}+sin{15^o} b) cos{75^o}+cos{15^o} c) sin{75^o}-sin{15^o} d) cos{75^o}-cos{15^o}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}
b) tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}
c) \sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}
b) \frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}
c) \frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość: tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{1}{\cos{x}}.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) \frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}
b) tg(45^o+x)tg(45^o-x)=1
c) \cos{x}+\sin{x}=\sqrt{2}\sin(45^o+x)
d) tg{x}+ctg{x}=\frac{2}{\sin{2x}}
e) \frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=tg(45^o+x)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom podstawowy)
Jeżeli 0°<α<90° oraz tgα=2sinα, to :

A. cosα=1/2
B. cosα=√2/2
C. cosα=√3/2
D. cosα=1


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 14, matura 2014
Jeżeli α jest kątem ostrym oraz tg\alpha=\frac{2}{5}, to wartość wyrażenia \frac{3cos\alpha-2sin\alpha}{sin\alpha-5cos\alpha}jest równa:

A. -11/23
B. 24/5
C. -23/11
D. 5/24

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.