Logo Serwisu Media Nauka

zadanie

Zadanie - okres funkcji, znajdowanie okresu funkcji


Znaleźć okres podstawowy funkcji: y=\cos^4x-\sin^4x.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

f(x)=\cos^4{x}-\sin^4{x}=(cos^2{x})^2-(\sin^2{x})^2=\\ =(\cos^2{x}-\sin^2{x})(\cos^2{x}+\sin^2{x})=\cos{2x}\cdot 1=\cos{2x}
f(x)=\cos{2x}\\ f(x+T)=\cos{[2(x+T)]}=\cos{(2x+2T)}
u=2x\\ f(u)=\cos{(u+2T)}
2T=2\pi/:2\\ T=\pi

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Przekształcimy naszą funkcję korzystając z tożsamości trygonometrycznej:

\cos2x=\cos^2{x}-\sin^2{x}

oraz wzoru skróconego mnożenia

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Mamy więc

f(x)=\cos^4{x}-\sin^4{x}=(cos^2{x})^2-(\sin^2{x})^2=\\ =(\cos^2{x}-\sin^2{x})(\cos^2{x}+\sin^2{x})=\cos{2x}\cdot 1=\cos{2x}

Funkcję nazywamy okresową gdy istnieje tak liczba T różna od zera, że dla każdej liczby x z dziedziny funkcji liczba x+T należy do tej dziedziny oraz

f(x)=f(x+T)

Obliczamy zatem f(x+T), czyli za argument x podstawiamy x+T:

f(x)=\cos{2x}\\ f(x+T)=\cos{[2(x+T)]}=\cos{(2x+2T)}

Znamy jedynie na okres podstawowy funkcji y=cosx, który wynosi 2\pi, więc musimy zastosować podstawienie:

u=2x\\ f(u)=\cos{(u+2T)}

Ponieważ okresem podstawowym funkcji y=cosx jest 2\pi, co oznacza, że \cos{x}=\cos{(x+2\pi)}, to porównując z funkcją f(u) możemy napisać, że:

2T=2\pi/:2\\ T=\pi

ksiązki Odpowiedź

T=\pi

© medianauka.pl, 2011-04-16, ZAD-1302





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.