Nauka » Matematyka » Funkcja okresowa Wykres funkcji cosinus Wzory trygonometryczne, tożsamości trygonometryczne

Zadanie - okres funkcji, znajdowanie okresu funkcji

Znaleźć okres podstawowy funkcji: $y=\cos^4x-\sin^4x$ .

Rozwiązanie zadania uproszczone

$f(x)=\cos^4{x}-\sin^4{x}=(cos^2{x})^2-(\sin^2{x})^2=\\ =(\cos^2{x}-\sin^2{x})(\cos^2{x}+\sin^2{x})=\cos{2x}\cdot 1=\cos{2x}$
$f(x)=\cos{2x}\\ f(x+T)=\cos{[2(x+T)]}=\cos{(2x+2T)}$
$u=2x\\ f(u)=\cos{(u+2T)}$
$2T=2\pi/:2\\ T=\pi$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Przekształcimy naszą funkcję korzystając z tożsamości trygonometrycznej:

$\cos2x=\cos^2{x}-\sin^2{x}$

oraz wzoru skróconego mnożenia

Mamy więc

$f(x)=\cos^4{x}-\sin^4{x}=(cos^2{x})^2-(\sin^2{x})^2=\\ =(\cos^2{x}-\sin^2{x})(\cos^2{x}+\sin^2{x})=\cos{2x}\cdot 1=\cos{2x}$

Funkcję nazywamy okresową gdy istnieje tak liczba T różna od zera, że dla każdej liczby x z dziedziny funkcji liczba x+T należy do tej dziedziny oraz

Obliczamy zatem f(x+T), czyli za argument x podstawiamy x+T:

$f(x)=\cos{2x}\\ f(x+T)=\cos{[2(x+T)]}=\cos{(2x+2T)}$

Znamy jedynie na okres podstawowy funkcji y=cosx, który wynosi $2\pi$ , więc musimy zastosować podstawienie:

$u=2x\\ f(u)=\cos{(u+2T)}$

Ponieważ okresem podstawowym funkcji y=cosx jest $2\pi$ , co oznacza, że $\cos{x}=\cos{(x+2\pi)}$ , to porównując z funkcją f(u) możemy napisać, że:

$2T=2\pi/:2\\ T=\pi$

Odpowiedź

$T=\pi$

Zadania podobne

Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz $tg{75^o}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory trygonometryczne
Oblicz $\cos{75^o}\cos{10^o}+\sin{70^o}\cos{10^o}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory trygonometryczne
Wiedząc, że $\sin{x}=0,2$ oblicz $\cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - wzory trygonometryczne
Obliczyć
$Obliczyć a) sin{75^o}+sin{15^o} b) cos{75^o}+cos{15^o} c) sin{75^o}-sin{15^o} d) cos{75^o}-cos{15^o}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}$
b) $tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}$
c) $\sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}$
b) $\frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}$
c) $\frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość: $tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{1}{\cos{x}}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - tożsamości trygonometryczne
Udowodnić tożsamość:
a) $\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}$
b)

c) $\cos{x}+\sin{x}=\sqrt{2}\sin(45^o+x)$
d) $tg{x}+ctg{x}=\frac{2}{\sin{2x}}$
e) $\frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=tg(45^o+x)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2015 (poziom podstawowy)
Jeżeli 0°<α<90° oraz tgα=2sinα, to :

A. cosα=1/2
B. cosα=√2/2
C. cosα=√3/2
D. cosα=1

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 14, matura 2014
Jeżeli α jest kątem ostrym oraz $tg\alpha=\frac{2}{5}$ , to wartość wyrażenia $\frac{3cos\alpha-2sin\alpha}{sin\alpha-5cos\alpha}$ jest równa:

A. -11/23
B. 24/5
C. -23/11
D. 5/24

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 31, matura 2020

Kąt α jest ostry i spełnia warunek (2sinα + 3cosα)/cosα = 4. Oblicz tangens kąta α.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.