Zadanie - wzory trygonometryczne

Zadanie nr 1.

Oblicz \(tg{75°}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Wiedząc, że \(\sin{x}=0,2\) oblicz \(\cos{2x}, \sin{2x}, tg{2x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obliczyć

a) \(\sin{75°}+\sin{15°}\)

b) \(\cos{75°}+\cos{15°}\)

c) \(\sin{75°}-\sin{15°}\)

d) \(\cos{75°}-\cos{15°}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Udowodnić tożsamość:

a) \(tg{\alpha}+ctg{\alpha}=\frac{1}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}}\)

b) \(tg{\alpha}-tg{\beta}=\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}\)

c) \(\sin^4{\alpha}-cos^4{\alpha}=2\sin^2{\alpha}-1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Udowodnić tożsamość:

a) \(tg{\alpha}\sin{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}\)

b) \(\frac{1}{1-\sin{x}}+\frac{1}{1+\sin{x}}=\frac{2}{\cos^2{x}}\)

c) \(\frac{\sin{5x}+\sin{3x}}{\cos{5x}+\cos{3x}}=tg{4x}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Udowodnić tożsamość: \(tg(45^o-\frac{x}{2})+tg{x}=\frac{1}{\cos{x}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Udowodnić tożsamość:

a) \(\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}\)

b) \(tg(45^o+x)tg(45^o-x)=1\)

c) \(\cos{x}+\sin{x}=\sqrt{2}\sin(45^o+x)\)

d) \(tg{x}+ctg{x}=\frac{2}{\sin{2x}}\)

e) \(\frac{1+tg{x}}{1-tg{x}}=tg(45^o+x)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Znaleźć okres podstawowy funkcji: \(y=\cos^4{x}-\sin^4{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Dla każdego kąta ostrego α iloczyn \(\frac{cos\alpha}{1-\sin^2\alpha}\cdot \frac{1-cos^2\alpha}{sin\alpha}\) jest równy

A. \(\sin{\alpha}\)

B. \(tg\alpha\)

C. \(\cos{\alpha}\)

D. \(\sin^2{\alpha}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Jeżeli \(0°<\alpha <90°\) oraz \(tg\alpha=2\sin{\alpha}\), to:

A. \(\cos{\alpha}=\frac{1}{2}\)

B. \(\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

C. \(\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

D. \(\cos{\alpha}=1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 — maturalne.

Jeżeli \(\alpha\) jest kątem ostrym oraz \(tg\alpha=\frac{2}{5}\), to wartość wyrażenia \(\frac{3\cos{\alpha}-2\sin{\alpha}}{\sin{\alpha}-5\cos{\alpha}}\) jest równa:

A. \(-\frac{11}{23}\)

B. \(\frac{24}{5}\)

C. \(-\frac{23}{11}\)

D. \(\frac{5}{24}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 — maturalne.

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\frac{2\sin{\alpha}+3\cos{\alpha}}{\cos{\alpha}}=4\). Oblicz tangens kąta \(\alpha\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13 — maturalne.

Różnica \(\cos^2{165°} − \sin^2{165°}\) jest równa

A. \(-1\)

B. \(-\frac{3}{2}\)

C. \(-\frac{1}{2}\)

D. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 14 — maturalne.

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(tg{\alpha}=2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin{2\alpha}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 15 — maturalne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdego kąta ostrego \(\alpha\) wyrażenie \(\sin^4{\alpha}+\sin^2{\alpha}\cdot \cos^2{\alpha}\) jest równe:

A. \(\sin^2{\alpha}\)

B. \(\sin^6{\alpha}\cdot \cos^2{\alpha}\)

C. \(\sin^4{\alpha}+1\)

D. \(\sin^2{\alpha}\cdot (\sin{\alpha}+\cos{\alpha})\cdot (\sin{\alpha}-\cos{\alpha})\)

Pokaż rozwiązanie zadania.