Logo Serwisu Media Nauka

Twierdzenie sinusów, cosinusów, tangensów

twierdzenie sinusów, cosinusów, tangensów

Twierdzenie Twierdzenie sinusów

W dowolnym trójkącie stosunki boków do sinusów przeciwległych kątów są równe i równają się średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.

\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}=2R

Twierdzenie Twierdzenie cosinusów (Carnota)

W dowolnym trójkącie kwadrat jednego boku równa się sumie kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwójny iloczyn tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.

a^2=b^2+c^2-2bc\cos{\alpha}\\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos{\beta}\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\gamma}

Twierdzenie Twierdzenie tangensów

W dowolnym trójkącie różnica dwóch boków ma się do sumy tych boków tak, jak tangens połowy różnicy przeciwległych im kątów do tangensa połowy sumy tych kątów.

\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\frac{\alpha-\beta}{2}}{tg\frac{\alpha+\beta}{2}}, \ \ \ \frac{b-c}{b+c}=\frac{tg\frac{\beta-\gamma}{2}}{tg\frac{\beta+\gamma}{2}}, \ \ \ \frac{a-c}{a+c}=\frac{tg\frac{\alpha-\gamma}{2}}{tg\frac{\alpha+\gamma}{2}}

Zastosowanie twierdzenia sinusów

Teoria Twierdzenie sinusów wykorzystujemy przy rozwiązywaniu trójkątów w przypadkach, gdy:

  • dane są dwa kąty i jeden bok trójkąta (KBK),
  • dane są dwa boki i kąt leżący naprzeciw jednego z nich.

Przykład Przykład

Rozwiążemy przypadek gdy dane są dwa kąty: \alpha=60^o, \ \gamma=45^o i bok a=5.

kąty w trójkącie

Sporządzamy szkic:

Aby wyznaczyć długość boku c korzystamy z twierdzenia sinusów:

\frac{5}{\sin60^o}=\frac{c}{\sin{45^o}}/\cdot \sin{45^o}\\ c=\frac{5\cdot \sin{45^o}}{\sin{60^o}}\\ c=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\approx 4,08

Musimy jeszcze wyznaczyć miarę kąta \beta, korzystając z twierdzenia, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°.

45^o+60^o+\beta=180^o\\ \beta=180^o-105^o\\ \beta=75^o

Teraz wyznaczamy podobnie długość boku b:

\frac{5}{\sin60^o}=\frac{b}{\sin{75^o}}/\cdot \sin{75^o}\\ b=\frac{5\cdot \sin{75^o}}{\sin{60^o}}=\frac{5\cdot \sin{75^o}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\approx 5,6

Ponieważ wyznaczyliśmy wszystkie boki i kąty trójkąta, rozwiązaliśmy trójkąt.

Zastosowanie twierdzenia cosinusów

Teoria Twierdzenie cosinusów wykorzystujemy przy rozwiązywaniu trójkątów w przypadkach, gdy:

  • dane są dwa boki i jeden kąt między nimi (BKB),
  • dane są trzy boki (BBB).

Przykład Przykład

Rozwiążemy trójkąt, gdy dane są dwa boki a=5, b=7, a kąt między nimi ma miarę 60°.

Stosujemy twierdzenie cosinusów:

c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\gamma}\\ c^2=5^2+7^2-2\cdot 5\cdot 7 \cdot \cos{60^o}=25+49-70\cdot\frac{1}{2}=39\\ c=\sqrt{39}

Pozostałe kąty obliczamy również na postawie twierdzenia cosinusów.

\cos{\alpha}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{49+39-25}{2\cdot 7\cdot\sqrt{39}}\approx 0,72\\ \alpha \approx 43^o54'
\cos{\alpha}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+39-49}{2\cdot 5\cdot\sqrt{39}}\approx 0,24\\ \beta\approx 76^o06'

Na koniec sprawdzamy, czy suma kątów w trójkącie daje 180°:

60^o+43^o54'+76^o06'=180^o


© medianauka.pl, 2011-06-11, ART-1368





Inne zagadnienia z tej lekcji


Inne zagadnienia z tej lekcji


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - twierdzenie sinusów
W trójkącie dane są dwa boki a=40, b=35 i kąt leżący naprzeciwko większego boku \alpha=45^o. Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.

zadania maturalne zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 10, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB| = 2, |BC| = 3, |CD| = 4, |DA| = 5. Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.