Twierdzenie sinusów

Twierdzenie sinusów
W dowolnym trójkącie stosunki boków do sinusów przeciwległych kątów są równe i równają się średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.

Twierdzenie cosinusów
Twierdzenie cosinusów (twierdzenie Carnota)
W dowolnym trójkącie kwadrat jednego boku równa się sumie kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwójny iloczyn tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.

Twierdzenie tangensów
Twierdzenie tangensów
W dowolnym trójkącie różnica dwóch boków ma się do sumy tych boków tak, jak tangens połowy różnicy przeciwległych im kątów do tangensa połowy sumy tych kątów.

W dalszej części artykułu pokażemy jakie zastosowanie ma twierdzenie sinusów i cosinusów.
Zastosowanie twierdzenia sinusów
Twierdzenie sinusów wykorzystujemy przy rozwiązywaniu trójkątów w przypadkach, gdy:
- dane są dwa kąty i jeden bok trójkąta (KBK),
- dane są dwa boki i kąt leżący naprzeciw jednego z nich.
Przykład
Rozwiążemy przypadek gdy dane są dwa kąty: i bok a=5.

Sporządzamy szkic:
Aby wyznaczyć długość boku c korzystamy z twierdzenia sinusów:
Musimy jeszcze wyznaczyć miarę kąta , korzystając z twierdzenia, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°.
Teraz wyznaczamy podobnie długość boku b:
Ponieważ wyznaczyliśmy wszystkie boki i kąty trójkąta, rozwiązaliśmy trójkąt.
Zastosowanie twierdzenia cosinusów
Twierdzenie cosinusów wykorzystujemy przy rozwiązywaniu trójkątów w przypadkach, gdy:
- dane są dwa boki i jeden kąt między nimi (BKB),
- dane są trzy boki (BBB).
Przykład
Rozwiążemy trójkąt, gdy dane są dwa boki a=5, b=7, a kąt między nimi ma miarę 60°.
Stosujemy twierdzenie cosinusów:
Pozostałe kąty obliczamy również na postawie twierdzenia cosinusów.
Na koniec sprawdzamy, czy suma kątów w trójkącie daje 180°:
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów
Zadanie - twierdzenie sinusów
W trójkącie dane są dwa boki a=40, b=35 i kąt leżący naprzeciwko większego boku . Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.
Zadanie maturalne nr 10, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB| = 2, |BC| = 3, |CD| = 4, |DA| = 5. Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.