Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów
Twierdzenie sinusów
W dowolnym trójkącie stosunki boków do sinusów przeciwległych kątów są równe i równają się średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.
Twierdzenie cosinusów
Twierdzenie cosinusów, tak zwane twierdzenie Carnota brzmi następująco:
W dowolnym trójkącie kwadrat jednego boku równa się sumie kwadratów dwóch pozostałych boków, pomniejszonej o podwójny iloczyn tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos{\alpha}\)
\( b^2=a^2+c^2-2ac\cos{\beta}\)
\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\gamma}\)
Twierdzenie tangensów
W dowolnym trójkącie różnica dwóch boków ma się do sumy tych boków tak, jak tangens połowy różnicy przeciwległych im kątów do tangensa połowy sumy tych kątów.
W dalszej części artykułu pokażemy jakie zastosowanie ma twierdzenie sinusów i cosinusów.
Zastosowanie twierdzenia sinusów
Twierdzenie sinusów wykorzystujemy przy rozwiązywaniu trójkątów w przypadkach, gdy:
- dane są dwa kąty i jeden bok trójkąta (KBK),
- dane są dwa boki i kąt leżący naprzeciw jednego z nich.
Przykład
Rozwiążemy przypadek, gdy dane są dwa kąty: \(\alpha=60°, \gamma=45°\) i bok \(a=5\).
Sporządzamy szkic:
Aby wyznaczyć długość boku \(c\), korzystamy z twierdzenia sinusów:
\(\frac{5}{\sin60°}=\frac{c}{\sin{45°}}/\cdot \sin{45°}\)
\( c=\frac{5\cdot \sin{45°}}{\sin{60°}}\)
\( c=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\approx 4,08\)
Musimy jeszcze wyznaczyć miarę kąta \(\beta\), korzystając z twierdzenia, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°.
\(45°+60°+\beta=180°\)
\(\beta=180°-105°\)
\(\beta=75°\)
Teraz wyznaczamy podobnie długość boku \(b\):
\(\frac{5}{\sin60°}=\frac{b}{\sin{75°}}/\cdot \sin{75°}\)
\(b=\frac{5\cdot \sin{75°}}{\sin{60°}}=\frac{5\cdot \sin{75°}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\approx 5,6\)
Ponieważ wyznaczyliśmy wszystkie boki i kąty trójkąta, rozwiązaliśmy trójkąt.
Zastosowanie twierdzenia cosinusów
Twierdzenie cosinusów wykorzystujemy przy rozwiązywaniu trójkątów w przypadkach, gdy:
- dane są dwa boki i jeden kąt między nimi (BKB),
- dane są trzy boki (BBB).
Przykład
Rozwiążemy trójkąt, gdy dane są dwa boki \(a=5, b=7\), a kąt między nimi ma miarę 60°.
Stosujemy twierdzenie cosinusów:
\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\gamma}\)
\(c^2=5^2+7^2-2\cdot 5\cdot 7 \cdot \cos{60°}=25+49-70\cdot\frac{1}{2}=39\)
\(c=\sqrt{39}\)
Pozostałe kąty obliczamy również na postawie twierdzenia cosinusów.
\(\cos{\alpha}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{49+39-25}{2\cdot 7\cdot\sqrt{39}}\approx 0,72\)
\(\alpha \approx 43°54'\)
\(\cos{\alpha}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+39-49}{2\cdot 5\cdot\sqrt{39}}\approx 0,24\)
\(\beta\approx 76°06'\)
Na koniec sprawdzamy, czy suma kątów w trójkącie daje 180°:
\(60°+43°54'+76°06'=180°\)
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
W trójkącie dane są dwa boki \(a=40, b=35\) i kąt leżący naprzeciwko większego boku \(\alpha=45°\). Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.
Zadanie nr 2 — maturalne.
Długości boków czworokąta \(ABCD\) są równe: \(|AB|=2, |BC|=3, |CD|=4, |DA|=5\). Na czworokącie \(ABCD\) opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej \(AC\) tego czworokąta.
Zadanie nr 3 — maturalne.
Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach \(\frac{\pi}{3}\) i \(\alpha\). Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy \(\frac{\sqrt{6}}{4}\). Wyznacz miarę kąta \(\alpha\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Punkt \(D\) leży na boku \(AB\) trójkąta \(ABC\) oraz \(|AC|=16, |AD|=6, |CD|=14\) i \(|BC|=|BD|\). Oblicz obwód trójkąta \(ABC\).
Zadanie nr 5 — maturalne.
W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) jest 3 razy dłuższy od boku \(AC\), a długość boku BC stanowi \(\frac{4}{5}\) długości boku \(AB\). Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta \(ABC\).
W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Punkt \(P\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(ABCD\). Długość podstawy \(CD\) jest o 2 mniejsza od długości podstawy \(AB\). Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(CPD\) jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie \(APB\). Wykaż, że spełniony jest warunek \(|DP|^2+|CP|^2−|CD|^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot |DP|\cdot |CP|\).
Zadanie nr 7 — maturalne.
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\angle ABC|=90°\) oraz \(|\angle CAB|=60°\). Punkty \(K\) i \(L\) leżą na bokach – odpowiednio – \(AB\) i \(BC\) tak, że \(|BK|=|BL|=1\) (zobacz rysunek). Odcinek \(KL\) przecina wysokość \(BD\) tego trójkąta w punkcie \(N\), a ponadto \(|AD|=2\).
Wykaż, że \(|ND|=\sqrt{3}+1\).
Powiązane materiały
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenia o trójkącie, pole trójkąta
Twierdzenia o trójkącie
Trójkąt
Funkcje trygonometryczne sinus cosinus tangens© medianauka.pl, 2011-06-11, A-1368
Data aktualizacji artykułu: 2023-06-18