Twierdzenie sinusów, cosinusów, tangensów

Twierdzenie sinusów

W dowolnym trójkącie stosunki boków do sinusów przeciwległych kątów są równe i równają się średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.

$\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}=2R$

Twierdzenie cosinusów (Carnota)

W dowolnym trójkącie kwadrat jednego boku równa się sumie kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwójny iloczyn tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos{\alpha}\\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos{\beta}\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\gamma}$

Twierdzenie tangensów

W dowolnym trójkącie różnica dwóch boków ma się do sumy tych boków tak, jak tangens połowy różnicy przeciwległych im kątów do tangensa połowy sumy tych kątów.

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\frac{\alpha-\beta}{2}}{tg\frac{\alpha+\beta}{2}}, \ \ \ \frac{b-c}{b+c}=\frac{tg\frac{\beta-\gamma}{2}}{tg\frac{\beta+\gamma}{2}}, \ \ \ \frac{a-c}{a+c}=\frac{tg\frac{\alpha-\gamma}{2}}{tg\frac{\alpha+\gamma}{2}}$

Zastosowanie twierdzenia sinusów

Twierdzenie sinusów wykorzystujemy przy rozwiązywaniu trójkątów w przypadkach, gdy:

dane są dwa kąty i jeden bok trójkąta (KBK),
dane są dwa boki i kąt leżący naprzeciw jednego z nich.

Przykład

Rozwiążemy przypadek gdy dane są dwa kąty: $\alpha=60^o, \ \gamma=45^o$ i bok a=5.

Sporządzamy szkic:

Aby wyznaczyć długość boku c korzystamy z twierdzenia sinusów:

$\frac{5}{\sin60^o}=\frac{c}{\sin{45^o}}/\cdot \sin{45^o}\\ c=\frac{5\cdot \sin{45^o}}{\sin{60^o}}\\ c=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\approx 4,08$

Musimy jeszcze wyznaczyć miarę kąta $\beta$ , korzystając z twierdzenia, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°.

$45^o+60^o+\beta=180^o\\ \beta=180^o-105^o\\ \beta=75^o$

Teraz wyznaczamy podobnie długość boku b:

$\frac{5}{\sin60^o}=\frac{b}{\sin{75^o}}/\cdot \sin{75^o}\\ b=\frac{5\cdot \sin{75^o}}{\sin{60^o}}=\frac{5\cdot \sin{75^o}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\approx 5,6$

Ponieważ wyznaczyliśmy wszystkie boki i kąty trójkąta, rozwiązaliśmy trójkąt.

Zastosowanie twierdzenia cosinusów

Twierdzenie cosinusów wykorzystujemy przy rozwiązywaniu trójkątów w przypadkach, gdy:

dane są dwa boki i jeden kąt między nimi (BKB),
dane są trzy boki (BBB).

Przykład

Rozwiążemy trójkąt, gdy dane są dwa boki a=5, b=7, a kąt między nimi ma miarę 60°.

Stosujemy twierdzenie cosinusów:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\gamma}\\ c^2=5^2+7^2-2\cdot 5\cdot 7 \cdot \cos{60^o}=25+49-70\cdot\frac{1}{2}=39\\ c=\sqrt{39}$

Pozostałe kąty obliczamy również na postawie twierdzenia cosinusów.

$\cos{\alpha}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{49+39-25}{2\cdot 7\cdot\sqrt{39}}\approx 0,72\\ \alpha \approx 43^o54'$
$\cos{\alpha}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+39-49}{2\cdot 5\cdot\sqrt{39}}\approx 0,24\\ \beta\approx 76^o06'$