Twierdzenie sinusów

Twierdzenie sinusów

W dowolnym trójkącie stosunki boków do sinusów przeciwległych kątów są równe i równają się średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.

$\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}=2R$

Twierdzenie cosinusów

Twierdzenie cosinusów (twierdzenie Carnota)

W dowolnym trójkącie kwadrat jednego boku równa się sumie kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwójny iloczyn tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos{\alpha}\\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos{\beta}\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\gamma}$

Twierdzenie tangensów

Twierdzenie tangensów

W dowolnym trójkącie różnica dwóch boków ma się do sumy tych boków tak, jak tangens połowy różnicy przeciwległych im kątów do tangensa połowy sumy tych kątów.

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\frac{\alpha-\beta}{2}}{tg\frac{\alpha+\beta}{2}}, \ \ \ \frac{b-c}{b+c}=\frac{tg\frac{\beta-\gamma}{2}}{tg\frac{\beta+\gamma}{2}}, \ \ \ \frac{a-c}{a+c}=\frac{tg\frac{\alpha-\gamma}{2}}{tg\frac{\alpha+\gamma}{2}}$

W dalszej części artykułu pokażemy jakie zastosowanie ma twierdzenie sinusów i cosinusów.

Zastosowanie twierdzenia sinusów

Twierdzenie sinusów wykorzystujemy przy rozwiązywaniu trójkątów w przypadkach, gdy:

dane są dwa kąty i jeden bok trójkąta (KBK),
dane są dwa boki i kąt leżący naprzeciw jednego z nich.

Przykład

Rozwiążemy przypadek gdy dane są dwa kąty: $\alpha=60^o, \ \gamma=45^o$ i bok a=5.

Sporządzamy szkic:

Aby wyznaczyć długość boku c korzystamy z twierdzenia sinusów:

$\frac{5}{\sin60^o}=\frac{c}{\sin{45^o}}/\cdot \sin{45^o}\\ c=\frac{5\cdot \sin{45^o}}{\sin{60^o}}\\ c=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\approx 4,08$

Musimy jeszcze wyznaczyć miarę kąta $\beta$ , korzystając z twierdzenia, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°.

$45^o+60^o+\beta=180^o\\ \beta=180^o-105^o\\ \beta=75^o$

Teraz wyznaczamy podobnie długość boku b:

$\frac{5}{\sin60^o}=\frac{b}{\sin{75^o}}/\cdot \sin{75^o}\\ b=\frac{5\cdot \sin{75^o}}{\sin{60^o}}=\frac{5\cdot \sin{75^o}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\approx 5,6$

Ponieważ wyznaczyliśmy wszystkie boki i kąty trójkąta, rozwiązaliśmy trójkąt.

Zastosowanie twierdzenia cosinusów

Twierdzenie cosinusów wykorzystujemy przy rozwiązywaniu trójkątów w przypadkach, gdy:

dane są dwa boki i jeden kąt między nimi (BKB),
dane są trzy boki (BBB).

Przykład

Rozwiążemy trójkąt, gdy dane są dwa boki a=5, b=7, a kąt między nimi ma miarę 60°.

Stosujemy twierdzenie cosinusów:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\gamma}\\ c^2=5^2+7^2-2\cdot 5\cdot 7 \cdot \cos{60^o}=25+49-70\cdot\frac{1}{2}=39\\ c=\sqrt{39}$

Pozostałe kąty obliczamy również na postawie twierdzenia cosinusów.

$\cos{\alpha}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{49+39-25}{2\cdot 7\cdot\sqrt{39}}\approx 0,72\\ \alpha \approx 43^o54'$
$\cos{\alpha}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+39-49}{2\cdot 5\cdot\sqrt{39}}\approx 0,24\\ \beta\approx 76^o06'$

Na koniec sprawdzamy, czy suma kątów w trójkącie daje 180°:

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów

Zadanie - twierdzenie sinusów
W trójkącie dane są dwa boki a=40, b=35 i kąt leżący naprzeciwko większego boku $\alpha=45^o$ . Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 10, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB| = 2, |BC| = 3, |CD| = 4, |DA| = 5. Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Trójkąt
Trójkąt jest to wielokąt o trzech bokach. Rodzaje trójkątów, konstrukcja trójkąta.

Trójkąt prostokątny
Trójkąt prostokątny jest to trójkąt, w którym jeden z kątów jest kątem prostym.

Trójkąt równoboczny
Definicja trójkąta równobocznego, wysokość trójkąta równobocznego oraz promienie okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym.

Twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych a^2+b^2=c^2.

Twierdzenia o trójkącie
Podstawowe twierdzenia o trójkącie poza twierdzeniem Pitagorasa, które zostało omówione w oddzielnym artykule.

Pole i obwód trójkąta
Istnieje co najmniej kilka wzorów na pole trójkąta. Ich stosowanie zależy od danych jakie posiadamy i czasem od rodzaju trójkąta z jakim mamy do czynienia.

Funkcje trygonometryczne sinus cosinus tangens
Definicja funkcji trygonometrycznych kąta ostrego: sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, cosecans.

Sinus cosinus tangens cotangens 0 30 45 60 90 stopni
Poniższa tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych dla często używanych miar kątów.

Nauka wartości funkcji trygonometrycznych
Nauka wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych on-line za pomocą darmowej aplikacji

Wykres funkcji sinus
Wykresem funkcji sinus jest krzywa, którą nazywamy sinusoidą.

Wykres funkcji cosinus
Wykresem funkcji cosinus jest cosinusoida.

Wykres funkcji tangens
Wykresem funkcji tangens jest tangensoida.

Wykres funkcji cotangens
Wykresem funkcji cotangens jest cotangensoida.

Wzory trygonometryczne, tożsamości trygonometryczne
Podstawowe wzory trygonometryczne (tożsamości trygonometryczne) oraz przykłady ich stosowania.

Wzory redukcyjne
Wzory redukcyjne z omówieniem sposobu ich wyznaczania za pomocą koła trygonometrycznego.

Równania trygonometryczne
Równanie trygonometryczne jest to równanie, w którym niewiadome występują wyłącznie pod znakami funkcji trygonometrycznych.

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych
Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą podstawiania, z wykorzystaniem tożsamości trygonometrycznych, metody równań równoważnych i analizy starożytnych

Nierówności trygonometryczne
Nierówność trygonometryczna jest to nierówność, w której niewiadoma występuje pod znakiem funkcji trygonometrycznej.