Zadanie maturalne nr 5, matura 2020 - poziom rozszerzony
W trójkącie ABC bok AB jest 3 razy dłuższy od boku AC, a długość boku BC stanowi 4 5 długości boku AB. Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta ABC.
W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy schematyczny rysunek z oznaczeniami.
Skorzystamy z twierdzenia cosinusów:
\(a^2=c^2+b^2-2bc\cos{\alpha}\)
\(a^2=(\frac{12}{5}a)^2+(3a)^2-2\cdot \frac{12}{5}a \cdot 3a\cdot \cos{\alpha}\)
\(a^2=\frac{144}{25}a^2+9a^2-\frac{72}{5}a^2\cos{\alpha}\)
\(\frac{144}{25}a^2+8a^2-\frac{72}{5}a^2\cos{\alpha}=0/\cdot 25\)
\(144a^2+200a^2-360a^2\cos{\alpha}=0\)
\(344a^2-360a^2\cos{\alpha}=0\)
\(344a^2(1-\frac{360}{344}\cos{\alpha})=0\)
Ponieważ \(a \neq 0\), to
\(1-\frac{360}{344}\cos{\alpha}=0\)
\(\frac{360}{344}\cos{\alpha}=1\)
\(\cos{\alpha}=\frac{344}{360}\)
\(\cos{\alpha}=0,9(5)\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-03-08, ZAD-4773
Zadania podobne
Zadanie - twierdzenie sinusówW trójkącie dane są dwa boki a=40, b=35 i kąt leżący naprzeciwko większego boku
. Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 10, matura 2015 (poziom rozszerzony)Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB| = 2, |BC| = 3, |CD| = 4, |DA| = 5. Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 10, matura 2017 (poziom rozszerzony)Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach π/3 i α. Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy √6/4. Wyznacz miarę kąta α.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 8, matura 2019 - poziom rozszerzonyPunkt D leży na boku AB trójkąta ABC oraz |AC| = 16 , |AD| = 6 , |CD| = 14 i |BC| = |BD|. Oblicz obwód trójkąta ABC.
Pokaż rozwiązanie zadania