Zadanie maturalne nr 8, matura 2019 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Punkt \(D\) leży na boku \(AB\) trójkąta \(ABC\) oraz \(|AC|=16, |AD|=6, |CD|=14\) i \(|BC|=|BD|\). Oblicz obwód trójkąta \(ABC\).
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy rysunek poglądowy:
skorzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ADC:
\(|CD|^2=|AC|^2+|AD|^2-2\cdot |AC|\cdot |AD|\cdot \cos{\alpha}\).
Podstawiamy dane:
\(14^2=16^2+6^2-2\cdot 16\cdot 6\cdot \cos{\alpha}\)
\(192 \cos{\alpha}=256+36-196/:192 \)
\(\cos{\alpha}=\frac{1}{2}\)
\(\alpha=60°\)
Skorzystamy ponownie z twierdzenia cosinusów, jednak tym razem dla trójkąta ABC:
\(|CB|^2=|AC|^2+|AB|^2-2\cdot |AC|\cdot |AB|\cdot \cos{\alpha}\)
\(x^2=16^2+(x+6)^2-2\cdot 16\cdot (x+6)\cdot \frac{1}{2}\)
\(x^2=256+x^2+12x+36-16x-96\)
\(0=-4x+196\)
\(4x=196\)
\(x=49\)
Obwód trójkąta wynosi: 16+6+49+49=120
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-02-20, ZAD-4723
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
W trójkącie dane są dwa boki \(a=40, b=35\) i kąt leżący naprzeciwko większego boku \(\alpha=45°\). Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.
Zadanie nr 2 — maturalne.
Długości boków czworokąta \(ABCD\) są równe: \(|AB|=2, |BC|=3, |CD|=4, |DA|=5\). Na czworokącie \(ABCD\) opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej \(AC\) tego czworokąta.
Zadanie nr 3 — maturalne.
Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach \(\frac{\pi}{3}\) i \(\alpha\). Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy \(\frac{\sqrt{6}}{4}\). Wyznacz miarę kąta \(\alpha\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) jest 3 razy dłuższy od boku \(AC\), a długość boku BC stanowi \(\frac{4}{5}\) długości boku \(AB\). Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta \(ABC\).
W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie nr 5 — maturalne.
Punkt \(P\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(ABCD\). Długość podstawy \(CD\) jest o 2 mniejsza od długości podstawy \(AB\). Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(CPD\) jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie \(APB\). Wykaż, że spełniony jest warunek \(|DP|^2+|CP|^2−|CD|^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot |DP|\cdot |CP|\).
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\angle ABC|=90°\) oraz \(|\angle CAB|=60°\). Punkty \(K\) i \(L\) leżą na bokach – odpowiednio – \(AB\) i \(BC\) tak, że \(|BK|=|BL|=1\) (zobacz rysunek). Odcinek \(KL\) przecina wysokość \(BD\) tego trójkąta w punkcie \(N\), a ponadto \(|AD|=2\).
Wykaż, że \(|ND|=\sqrt{3}+1\).