Nauka » Matematyka » Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów

Zadanie - twierdzenie sinusów

W trójkącie dane są dwa boki a=40, b=35 i kąt leżący naprzeciwko większego boku $\alpha=45^o$ . Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}\\ \frac{40}{\sin{45^o}}=\frac{35}{\sin{\beta}}\\ 35\sin{45^o}=40\sin{\beta}\\ 35\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=40\sin{\beta}/:40\\ \sin{\beta}\approx 0,62\\ \beta\approx 38^o$
Rozwiązaniem powyższego jest także kąt 180°-38°, jednak byłby to kąt rozwarty, takie rozwiązanie należy wyeliminować, gdyż w trójkącie naprzeciw mniejszego boku leży mniejszy kąt, więc ponieważ b<a, to $\beta< \alpha, \ \beta$ jest więc kątem ostrym.
$45^o+38^o+\gamma=180^o\\ \gamma=97^o$
$\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}\\ \frac{40}{\sin{45^o}}=\frac{c}{\sin{97^o}}\\ c=\frac{40\sin{97^o}}{\sin{45^o}}\approx 56,15$
$\beta \approx 38^0, \ \gamma\approx 97^o,\ c\approx 56,15$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dane są dwa boki i jeden kąt (bkb), więc stosujemy twierdzenie sinusów. Wcześniej sporządzamy szkic:

Na podstawie twierdzenia sinusów mamy:

$\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}\\ \frac{40}{\sin{45^o}}=\frac{35}{\sin{\beta}}\\ 35\sin{45^o}=40\sin{\beta}\\ 35\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=40\sin{\beta}/:40\\ \sin{\beta}=\frac{35}{40}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin{\beta}\approx 0,62\\ \beta\approx 38^o\ bo \ \sin{38^o}\approx 0,62$

Ostatnią wartość odczytujemy z tablic lub obliczamy za pomocą kalkulatora. Rozwiązaniem powyższego jest także kąt 180°-38°, jednak byłby to kąt rozwarty, takie rozwiązanie należy wyeliminować, gdyż w trójkącie naprzeciw mniejszego boku leży mniejszy kąt, więc ponieważ b<a, to $\beta< \alpha, \ \beta$ jest więc kątem ostrym.

Obliczamy trzeci kąt w oparciu o twierdzenie, że suma kątów w trójkącie jest równa 180^o:

$45^o+38^o+\gamma=180^o\\ \gamma=97^o$

Wyznaczamy również na podstawie twierdzenia sinusów długość trzeciego boku:

$\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}\\ \frac{40}{\sin{45^o}}=\frac{c}{\sin{97^o}}\\ c=\frac{40\sin{97^o}}{\sin{45^o}}\approx 56,15$

Odpowiedź

$\beta \approx 38^0, \ \gamma\approx 97^o,\ c\approx 56,15$

Zadania podobne

Zadanie maturalne nr 10, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB| = 2, |BC| = 3, |CD| = 4, |DA| = 5. Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania