Logo Media Nauka
Sklep naukowy

zadanie

Zadanie - twierdzenie sinusów


W trójkącie dane są dwa boki a=40, b=35 i kąt leżący naprzeciwko większego boku \alpha=45^o. Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.


ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}\\ \frac{40}{\sin{45^o}}=\frac{35}{\sin{\beta}}\\ 35\sin{45^o}=40\sin{\beta}\\ 35\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=40\sin{\beta}/:40\\ \sin{\beta}\approx 0,62\\ \beta\approx 38^o
Rozwiązaniem powyższego jest także kąt 180°-38°, jednak byłby to kąt rozwarty, takie rozwiązanie należy wyeliminować, gdyż w trójkącie naprzeciw mniejszego boku leży mniejszy kąt, więc ponieważ b<a, to \beta< \alpha, \ \beta jest więc kątem ostrym.
45^o+38^o+\gamma=180^o\\ \gamma=97^o
\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}\\ \frac{40}{\sin{45^o}}=\frac{c}{\sin{97^o}}\\ c=\frac{40\sin{97^o}}{\sin{45^o}}\approx 56,15
\beta \approx 38^0, \ \gamma\approx 97^o,\ c\approx 56,15

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dane są dwa boki i jeden kąt (bkb), więc stosujemy twierdzenie sinusów. Wcześniej sporządzamy szkic:

twierdzenie sinusów - szkic do zadania

Na podstawie twierdzenia sinusów mamy:

\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}\\ \frac{40}{\sin{45^o}}=\frac{35}{\sin{\beta}}\\ 35\sin{45^o}=40\sin{\beta}\\ 35\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=40\sin{\beta}/:40\\ \sin{\beta}=\frac{35}{40}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin{\beta}\approx 0,62\\ \beta\approx 38^o\ bo \ \sin{38^o}\approx 0,62

Ostatnią wartość odczytujemy z tablic lub obliczamy za pomocą kalkulatora. Rozwiązaniem powyższego jest także kąt 180°-38°, jednak byłby to kąt rozwarty, takie rozwiązanie należy wyeliminować, gdyż w trójkącie naprzeciw mniejszego boku leży mniejszy kąt, więc ponieważ b<a, to \beta< \alpha, \ \beta jest więc kątem ostrym.

Obliczamy trzeci kąt w oparciu o twierdzenie, że suma kątów w trójkącie jest równa 180o:

45^o+38^o+\gamma=180^o\\ \gamma=97^o

Wyznaczamy również na podstawie twierdzenia sinusów długość trzeciego boku:

\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}\\ \frac{40}{\sin{45^o}}=\frac{c}{\sin{97^o}}\\ c=\frac{40\sin{97^o}}{\sin{45^o}}\approx 56,15

ksiązki Odpowiedź

\beta \approx 38^0, \ \gamma\approx 97^o,\ c\approx 56,15

© medianauka.pl, 2011-06-15, ZAD-1369





Logika i zbiory

Zbiory

Liczby

Liczby

Funkcje

Funkcje

Równania i nierówności

Równania

Analiza

Analiza

Geometria

Geometria

Prawdopodobieństwo

Probabilistyka



Polecamy koszyk


© Media Nauka 2008-2017 r.