Zadanie - twierdzenie sinusów

Treść zadania:

W trójkącie dane są dwa boki \(a=40, b=35\) i kąt leżący naprzeciwko większego boku \(\alpha=45°\). Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Dane są dwa boki i jeden kąt (bkb), więc stosujemy twierdzenie sinusów. Wcześniej sporządzamy szkic:

twierdzenie sinusów - szkic do zadania

Na podstawie twierdzenia sinusów mamy:

\(\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}\)

\(\frac{40}{\sin{45^o}}=\frac{35}{\sin{\beta}}\)

\(35\sin{45^o}=40\sin{\beta}\)

\(35\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=40\sin{\beta}/:40\)

\(\sin{\beta}=\frac{35}{40}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\sin{\beta}\approx 0,62\)

\(\beta\approx 38^o\ bo \ \sin{38^o}\approx 0,62\)

Ostatnią wartość odczytujemy z tablic lub obliczamy za pomocą kalkulatora. Rozwiązaniem powyższego jest także kąt 180°-38°, jednak byłby to kąt rozwarty, takie rozwiązanie należy wyeliminować, gdyż w trójkącie naprzeciw mniejszego boku leży mniejszy kąt, więc ponieważ b<a, to \beta< \alpha, \ \beta jest więc kątem ostrym.

Obliczamy trzeci kąt w oparciu o twierdzenie, że suma kątów w trójkącie jest równa 180o:

\(45^o+38^o+\gamma=180^o\)

\(\gamma=97^o\)

Wyznaczamy również na podstawie twierdzenia sinusów długość trzeciego boku:

\(\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}\)

\(\frac{40}{\sin{45^o}}=\frac{c}{\sin{97^o}}\)

\(c=\frac{40\sin{97^o}}{\sin{45^o}}\approx 56,15\)

ksiązki Odpowiedź

\(\beta \approx 38^0, \ \gamma\approx 97^o,\ c\approx 56,15\)

© medianauka.pl, 2011-06-15, ZAD-1369

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


zadanie maturalne

Zadanie nr 1 — maturalne.

Długości boków czworokąta \(ABCD\) są równe: \(|AB|=2, |BC|=3, |CD|=4, |DA|=5\). Na czworokącie \(ABCD\) opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej \(AC\) tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2 — maturalne.

Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach \(\frac{\pi}{3}\) i \(\alpha\). Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy \(\frac{\sqrt{6}}{4}\). Wyznacz miarę kąta \(\alpha\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

Punkt \(D\) leży na boku \(AB\) trójkąta \(ABC\) oraz \(|AC|=16, |AD|=6, |CD|=14\) i \(|BC|=|BD|\). Oblicz obwód trójkąta \(ABC\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) jest 3 razy dłuższy od boku \(AC\), a długość boku BC stanowi \(\frac{4}{5}\) długości boku \(AB\). Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta \(ABC\).

W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

kratki

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Punkt \(P\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(ABCD\). Długość podstawy \(CD\) jest o 2 mniejsza od długości podstawy \(AB\). Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(CPD\) jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie \(APB\). Wykaż, że spełniony jest warunek \(|DP|^2+|CP|^2−|CD|^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot |DP|\cdot |CP|\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\angle ABC|=90°\) oraz \(|\angle CAB|=60°\). Punkty \(K\) i \(L\) leżą na bokach – odpowiednio – \(AB\) i \(BC\) tak, że \(|BK|=|BL|=1\) (zobacz rysunek). Odcinek \(KL\) przecina wysokość \(BD\) tego trójkąta w punkcie \(N\), a ponadto \(|AD|=2\).

Zadanie 5, matura, matematyka rozszerzona 2023

Wykaż, że \(|ND|=\sqrt{3}+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




©® Media Nauka 2008-2023 r.