Zadanie - twierdzenie sinusów


W trójkącie dane są dwa boki a=40, b=35 i kąt leżący naprzeciwko większego boku \alpha=45^o. Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.

ksiązki Rozwiązanie zadania uproszczone

\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}\\ \frac{40}{\sin{45^o}}=\frac{35}{\sin{\beta}}\\ 35\sin{45^o}=40\sin{\beta}\\ 35\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=40\sin{\beta}/:40\\ \sin{\beta}\approx 0,62\\ \beta\approx 38^o
Rozwiązaniem powyższego jest także kąt 180°-38°, jednak byłby to kąt rozwarty, takie rozwiązanie należy wyeliminować, gdyż w trójkącie naprzeciw mniejszego boku leży mniejszy kąt, więc ponieważ b<a, to \beta< \alpha, \ \beta jest więc kątem ostrym.
45^o+38^o+\gamma=180^o\\ \gamma=97^o
\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}\\ \frac{40}{\sin{45^o}}=\frac{c}{\sin{97^o}}\\ c=\frac{40\sin{97^o}}{\sin{45^o}}\approx 56,15
\beta \approx 38^0, \ \gamma\approx 97^o,\ c\approx 56,15

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dane są dwa boki i jeden kąt (bkb), więc stosujemy twierdzenie sinusów. Wcześniej sporządzamy szkic:

twierdzenie sinusów - szkic do zadania

Na podstawie twierdzenia sinusów mamy:

\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}\\ \frac{40}{\sin{45^o}}=\frac{35}{\sin{\beta}}\\ 35\sin{45^o}=40\sin{\beta}\\ 35\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=40\sin{\beta}/:40\\ \sin{\beta}=\frac{35}{40}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin{\beta}\approx 0,62\\ \beta\approx 38^o\ bo \ \sin{38^o}\approx 0,62

Ostatnią wartość odczytujemy z tablic lub obliczamy za pomocą kalkulatora. Rozwiązaniem powyższego jest także kąt 180°-38°, jednak byłby to kąt rozwarty, takie rozwiązanie należy wyeliminować, gdyż w trójkącie naprzeciw mniejszego boku leży mniejszy kąt, więc ponieważ b<a, to \beta< \alpha, \ \beta jest więc kątem ostrym.

Obliczamy trzeci kąt w oparciu o twierdzenie, że suma kątów w trójkącie jest równa 180o:

45^o+38^o+\gamma=180^o\\ \gamma=97^o

Wyznaczamy również na podstawie twierdzenia sinusów długość trzeciego boku:

\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}\\ \frac{40}{\sin{45^o}}=\frac{c}{\sin{97^o}}\\ c=\frac{40\sin{97^o}}{\sin{45^o}}\approx 56,15

ksiązki Odpowiedź

\beta \approx 38^0, \ \gamma\approx 97^o,\ c\approx 56,15

© medianauka.pl, 2011-06-15, ZAD-1369


Zadania podobne

kulkaZadanie maturalne nr 10, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB| = 2, |BC| = 3, |CD| = 4, |DA| = 5. Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.