Nauka » Matematyka » Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów

Zadanie - twierdzenie sinusów

W trójkącie dane są dwa boki a=40, b=35 i kąt leżący naprzeciwko większego boku $\alpha=45^o$ . Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}\\ \frac{40}{\sin{45^o}}=\frac{35}{\sin{\beta}}\\ 35\sin{45^o}=40\sin{\beta}\\ 35\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=40\sin{\beta}/:40\\ \sin{\beta}\approx 0,62\\ \beta\approx 38^o$
Rozwiązaniem powyższego jest także kąt 180°-38°, jednak byłby to kąt rozwarty, takie rozwiązanie należy wyeliminować, gdyż w trójkącie naprzeciw mniejszego boku leży mniejszy kąt, więc ponieważ b<a, to $\beta< \alpha, \ \beta$ jest więc kątem ostrym.
$45^o+38^o+\gamma=180^o\\ \gamma=97^o$
$\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}\\ \frac{40}{\sin{45^o}}=\frac{c}{\sin{97^o}}\\ c=\frac{40\sin{97^o}}{\sin{45^o}}\approx 56,15$
$\beta \approx 38^0, \ \gamma\approx 97^o,\ c\approx 56,15$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Dane są dwa boki i jeden kąt (bkb), więc stosujemy twierdzenie sinusów. Wcześniej sporządzamy szkic:

Na podstawie twierdzenia sinusów mamy:

$\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}\\ \frac{40}{\sin{45^o}}=\frac{35}{\sin{\beta}}\\ 35\sin{45^o}=40\sin{\beta}\\ 35\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=40\sin{\beta}/:40\\ \sin{\beta}=\frac{35}{40}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin{\beta}\approx 0,62\\ \beta\approx 38^o\ bo \ \sin{38^o}\approx 0,62$

Ostatnią wartość odczytujemy z tablic lub obliczamy za pomocą kalkulatora. Rozwiązaniem powyższego jest także kąt 180°-38°, jednak byłby to kąt rozwarty, takie rozwiązanie należy wyeliminować, gdyż w trójkącie naprzeciw mniejszego boku leży mniejszy kąt, więc ponieważ b<a, to $\beta< \alpha, \ \beta$ jest więc kątem ostrym.

Obliczamy trzeci kąt w oparciu o twierdzenie, że suma kątów w trójkącie jest równa 180^o:

$45^o+38^o+\gamma=180^o\\ \gamma=97^o$

Wyznaczamy również na podstawie twierdzenia sinusów długość trzeciego boku:

$\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}\\ \frac{40}{\sin{45^o}}=\frac{c}{\sin{97^o}}\\ c=\frac{40\sin{97^o}}{\sin{45^o}}\approx 56,15$

Odpowiedź

$\beta \approx 38^0, \ \gamma\approx 97^o,\ c\approx 56,15$

Zadania podobne

Zadanie maturalne nr 10, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB| = 2, |BC| = 3, |CD| = 4, |DA| = 5. Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.