Nauka » Matematyka » Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów

Zadanie - twierdzenie sinusów

Treść zadania:

W trójkącie dane są dwa boki $a=40, b=35$ i kąt leżący naprzeciwko większego boku $\alpha=45°$. Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.

Rozwiązanie zadania

Dane są dwa boki i jeden kąt (bkb), więc stosujemy twierdzenie sinusów. Wcześniej sporządzamy szkic:

Na podstawie twierdzenia sinusów mamy:

$\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{b}{\sin{\beta}}$

$\frac{40}{\sin{45^o}}=\frac{35}{\sin{\beta}}$

$35\sin{45^o}=40\sin{\beta}$

$35\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=40\sin{\beta}/:40$

$\sin{\beta}=\frac{35}{40}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin{\beta}\approx 0,62$

$\beta\approx 38^o\ bo \ \sin{38^o}\approx 0,62$

Ostatnią wartość odczytujemy z tablic lub obliczamy za pomocą kalkulatora. Rozwiązaniem powyższego jest także kąt 180°-38°, jednak byłby to kąt rozwarty, takie rozwiązanie należy wyeliminować, gdyż w trójkącie naprzeciw mniejszego boku leży mniejszy kąt, więc ponieważ b<a, to $\beta< \alpha, \ \beta$ jest więc kątem ostrym.

Obliczamy trzeci kąt w oparciu o twierdzenie, że suma kątów w trójkącie jest równa 180^o:

$45^o+38^o+\gamma=180^o$

$\gamma=97^o$

Wyznaczamy również na podstawie twierdzenia sinusów długość trzeciego boku:

$\frac{a}{\sin{\alpha}}=\frac{c}{\sin{\gamma}}$

$\frac{40}{\sin{45^o}}=\frac{c}{\sin{97^o}}$

$c=\frac{40\sin{97^o}}{\sin{45^o}}\approx 56,15$

Odpowiedź

$\beta \approx 38^0, \ \gamma\approx 97^o,\ c\approx 56,15$

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1 — maturalne.

Długości boków czworokąta $ABCD$ są równe: $|AB|=2, |BC|=3, |CD|=4, |DA|=5$. Na czworokącie $ABCD$ opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej $AC$ tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach $\frac{\pi}{3}$ i $\alpha$. Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy $\frac{\sqrt{6}}{4}$. Wyznacz miarę kąta $\alpha$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Punkt $D$ leży na boku $AB$ trójkąta $ABC$ oraz $|AC|=16, |AD|=6, |CD|=14$ i $|BC|=|BD|$. Oblicz obwód trójkąta $ABC$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

W trójkącie $ABC$ bok $AB$ jest 3 razy dłuższy od boku $AC$, a długość boku BC stanowi $\frac{4}{5}$ długości boku $AB$. Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta $ABC$.

W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Punkt $P$ jest punktem przecięcia przekątnych trapezu $ABCD$. Długość podstawy $CD$ jest o 2 mniejsza od długości podstawy $AB$. Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym $CPD$ jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie $APB$. Wykaż, że spełniony jest warunek $|DP|^2+|CP|^2−|CD|^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot |DP|\cdot |CP|$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\angle ABC|=90°$ oraz $|\angle CAB|=60°$. Punkty $K$ i $L$ leżą na bokach – odpowiednio – $AB$ i $BC$ tak, że $|BK|=|BL|=1$ (zobacz rysunek). Odcinek $KL$ przecina wysokość $BD$ tego trójkąta w punkcie $N$, a ponadto $|AD|=2$.

Zadanie 5, matura, matematyka rozszerzona 2023

Wykaż, że $|ND|=\sqrt{3}+1$.

Pokaż rozwiązanie zadania.