Zadanie maturalne nr 5, matura 2023 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\angle ABC|=90°\) oraz \(|\angle CAB|=60°\). Punkty \(K\) i \(L\) leżą na bokach – odpowiednio – \(AB\) i \(BC\) tak, że \(|BK|=|BL|=1\) (zobacz rysunek). Odcinek \(KL\) przecina wysokość \(BD\) tego trójkąta w punkcie \(N\), a ponadto \(|AD|=2\).
Wykaż, że \(|ND|=\sqrt{3}+1\).
Rozwiązanie zadania
W trójkącie \(DAB\) o kątach 90°, 60°, 180°-90°-60°=30° mamy dane: \(|AD|=2.
\(\cos{60°}=\frac{|AB|}{2}\)
\(\frac{1}{2}=\frac{|AB|}{2}\)
\(|AB|=4\)
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta \(DAB\) mamy:
\(2^2+|BD|^2=4^2\)
\(|BD|^2=12\)
\(|BD|=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)
Ponieważ trójkąt \(KBL\) jest równoramienny, to miara kata \(\angle BKN\) wynosi 45°. Kąt \(ABD\) jest dany (wyliczyliśmy jego miara początku), to 30°. Ponieważ suma kątów w trójkącie jest równa 180°, to kąt \(\angle BNK\) ma miarę 105°.
Stosujemy twierdzenie sinusów i zapisujemy równość:
\(\frac{|BK|}{\sin{105°}} = \frac{|BN|}{\sin{45°}}\)
\(\frac{1}{\sin{(60°+45°)}} = \frac{|BN|}{\sin{45°}}\)
\(|BN|=\frac{\sin{45°}}{\sin{(60°+45°)}}\)
\(|BN|=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}= \frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1\)
Ponieważ \(|BN|+|ND|=|BD|\), to:
\(\sqrt{3}-1+|ND|=2\sqrt{3}\)
\(|ND|=2\sqrt{3}-\sqrt{3}+1\)
\(|ND|=\sqrt{3}+1\)
Tego należało dowieść.
© medianauka.pl, 2023-07-18, ZAD-4941
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
W trójkącie dane są dwa boki \(a=40, b=35\) i kąt leżący naprzeciwko większego boku \(\alpha=45°\). Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.
Zadanie nr 2 — maturalne.
Długości boków czworokąta \(ABCD\) są równe: \(|AB|=2, |BC|=3, |CD|=4, |DA|=5\). Na czworokącie \(ABCD\) opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej \(AC\) tego czworokąta.
Zadanie nr 3 — maturalne.
Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach \(\frac{\pi}{3}\) i \(\alpha\). Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy \(\frac{\sqrt{6}}{4}\). Wyznacz miarę kąta \(\alpha\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Punkt \(D\) leży na boku \(AB\) trójkąta \(ABC\) oraz \(|AC|=16, |AD|=6, |CD|=14\) i \(|BC|=|BD|\). Oblicz obwód trójkąta \(ABC\).
Zadanie nr 5 — maturalne.
W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) jest 3 razy dłuższy od boku \(AC\), a długość boku BC stanowi \(\frac{4}{5}\) długości boku \(AB\). Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta \(ABC\).
W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Punkt \(P\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(ABCD\). Długość podstawy \(CD\) jest o 2 mniejsza od długości podstawy \(AB\). Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(CPD\) jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie \(APB\). Wykaż, że spełniony jest warunek \(|DP|^2+|CP|^2−|CD|^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot |DP|\cdot |CP|\).