Zadanie maturalne nr 10, matura 2017 (poziom rozszerzony)

Treść zadania:

Rozwiązanie zadania

Sporządzamy rysunek poglądowy:

Jeżeli oznaczymy przez a=|AB|, to z definicji cosinusa i sinusa kąta 60° można łatwo obliczyć, że przekątna |BC|=2a, zaś |AC|=a√3.

\( \cos{\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}=\frac{a}{|BC|} \)

\( |BC|=2a \)

\( \sin{\frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{|AC|} \)

\( |AC|=a\sqrt{3} \)

Skorzystamy teraz z twierdzenia cosinusów dla trójkąta BDC:

\( y^2=x^2+(2a)^2-2\cdot 2a\cdot x\cdot cos\beta \)

\( y^2=x^2+(2a)^2-4ax\cdot \frac{\sqrt{6}}{4} \)

\( y^2=x^2+4a^2-ax\sqrt{6} \)

Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta CED oraz BDE:

\( y^2=a^2+z^2 \)

\( x^2=(a\sqrt{3})^2+z^2 \)

Wyliczamy z pierwszej zależności z² i wstawiamy do drugiego równania:

\( x^2=3a^2+y^2-a^2 \)

\( x^2-2a^2=y^2 \)

Wstawiamy teraz za y² w naszym równaniu wartość wyliczoną z twierdzenia cosinusów:

\( x^2-2a^2=x^2+4a^2-ax\sqrt{6} \)

\( 6a^2=ax\sqrt{6}/:a (a>0) \)

\( a^2=x\sqrt{6}/\cdot \frac{\sqrt{6}}{6} \)

\( x=\sqrt{6}a \)

Korzystając z definicji sinusa kąta α w trójkącie BFD mamy:

\( sin\alpha = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{6}}= \frac{\sqrt{18}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Zatem:

\( \alpha = \frac{\pi}{4} \)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2022-12-30, ZAD-4576

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1 — maturalne.

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to \(1:2:3\). Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 45° (zobacz rysunek).

Wysokość graniastosłupa jest równa

1. \(5\)
2. \(3\sqrt{2}\)
3. \(5\sqrt{2}\)
4. \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.