Zadanie maturalne nr 10, matura 2017 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach \(\frac{\pi}{3}\) i \(\alpha\). Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy \(\frac{\sqrt{6}}{4}\). Wyznacz miarę kąta \(\alpha\).
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy rysunek poglądowy:
Jeżeli oznaczymy przez a=|AB|, to z definicji cosinusa i sinusa kąta 60° można łatwo obliczyć, że przekątna |BC|=2a, zaś |AC|=a√3.
\( \cos{\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}=\frac{a}{|BC|} \)
\( |BC|=2a \)
\( \sin{\frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{|AC|} \)
\( |AC|=a\sqrt{3} \)
Skorzystamy teraz z twierdzenia cosinusów dla trójkąta BDC:
\( y^2=x^2+(2a)^2-2\cdot 2a\cdot x\cdot cos\beta \)
\( y^2=x^2+(2a)^2-4ax\cdot \frac{\sqrt{6}}{4} \)
\( y^2=x^2+4a^2-ax\sqrt{6} \)
Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta CED oraz BDE:
\( y^2=a^2+z^2 \)
\( x^2=(a\sqrt{3})^2+z^2 \)
Wyliczamy z pierwszej zależności z2 i wstawiamy do drugiego równania:
\( x^2=3a^2+y^2-a^2 \)
\( x^2-2a^2=y^2 \)
Wstawiamy teraz za y2 w naszym równaniu wartość wyliczoną z twierdzenia cosinusów:
\( x^2-2a^2=x^2+4a^2-ax\sqrt{6} \)
\( 6a^2=ax\sqrt{6}/:a (a>0) \)
\( a^2=x\sqrt{6}/\cdot \frac{\sqrt{6}}{6} \)
\( x=\sqrt{6}a \)
Korzystając z definicji sinusa kąta α w trójkącie BFD mamy:
\( sin\alpha = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{6}}= \frac{\sqrt{18}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2} \)
Zatem:
\( \alpha = \frac{\pi}{4} \)
Odpowiedź
\( \alpha = \frac{\pi}{4} \)
© medianauka.pl, 2022-12-30, ZAD-4576
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
W trójkącie dane są dwa boki \(a=40, b=35\) i kąt leżący naprzeciwko większego boku \(\alpha=45°\). Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.
Zadanie nr 2 — maturalne.
Długości boków czworokąta \(ABCD\) są równe: \(|AB|=2, |BC|=3, |CD|=4, |DA|=5\). Na czworokącie \(ABCD\) opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej \(AC\) tego czworokąta.
Zadanie nr 3 — maturalne.
Punkt \(D\) leży na boku \(AB\) trójkąta \(ABC\) oraz \(|AC|=16, |AD|=6, |CD|=14\) i \(|BC|=|BD|\). Oblicz obwód trójkąta \(ABC\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) jest 3 razy dłuższy od boku \(AC\), a długość boku BC stanowi \(\frac{4}{5}\) długości boku \(AB\). Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta \(ABC\).
W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie nr 5 — maturalne.
Punkt \(P\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(ABCD\). Długość podstawy \(CD\) jest o 2 mniejsza od długości podstawy \(AB\). Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(CPD\) jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie \(APB\). Wykaż, że spełniony jest warunek \(|DP|^2+|CP|^2−|CD|^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot |DP|\cdot |CP|\).
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\angle ABC|=90°\) oraz \(|\angle CAB|=60°\). Punkty \(K\) i \(L\) leżą na bokach – odpowiednio – \(AB\) i \(BC\) tak, że \(|BK|=|BL|=1\) (zobacz rysunek). Odcinek \(KL\) przecina wysokość \(BD\) tego trójkąta w punkcie \(N\), a ponadto \(|AD|=2\).
Wykaż, że \(|ND|=\sqrt{3}+1\).