Zadanie maturalne nr 10, matura 2017 (poziom rozszerzony)


Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach π/3 i α. Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy √6/4. Wyznacz miarę kąta α.

ksiązki Rozwiązanie zadania

Sporządzamy rysunek poglądowy:

rysunek do zadania

Jeżeli oznaczymy przez a=|AB|, to z definicji cosinusa i sinusa kąta 60° można łatwo obliczyć, że przekątna |BC|=2a, zaś |AC|=a√3.

\( \cos{\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}=\frac{a}{|BC|} \)

\( |BC|=2a \)

\( \sin{\frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{|AC|} \)

\( |AC|=a\sqrt{3} \)

Skorzystamy teraz z twierdzenia cosinusów dla trójkąta BDC:

\( y^2=x^2+(2a)^2-2\cdot 2a\cdot x\cdot cos\beta \)

\( y^2=x^2+(2a)^2-4ax\cdot \frac{\sqrt{6}}{4} \)

\( y^2=x^2+4a^2-ax\sqrt{6} \)

Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta CED oraz BDE:

\( y^2=a^2+z^2 \)

\( x^2=(a\sqrt{3})^2+z^2 \)

Wyliczamy z pierwszej zależności z2 i wstawiamy do drugiego równania:

\( x^2=3a^2+y^2-a^2 \)

\( x^2-2a^2=y^2 \)

Wstawiamy teraz za y2 w naszym równaniu wartość wyliczoną z twierdzenia cosinusów:

\( x^2-2a^2=x^2+4a^2-ax\sqrt{6} \)

\( 6a^2=ax\sqrt{6}/:a (a>0) \)

\( a^2=x\sqrt{6}/\cdot \frac{\sqrt{6}}{6} \)

\( x=\sqrt{6}a \)

Korzystając z definicji sinusa kąta α w trójkącie BFD mamy:

\( sin\alpha = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{6}}= \frac{\sqrt{18}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Zatem:

\( \alpha = \frac{\pi}{4} \)

ksiązki Odpowiedź

\( \alpha = \frac{\pi}{4} \)


© medianauka.pl, 2022-12-30, ZAD-4576

Zadania podobne

kulkaZadanie maturalne nr 32, matura 2014
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1:2:3. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 21, matura 2018

Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna
tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 45° (zobacz rysunek).

rysunek

Wysokość graniastosłupa jest równa

  1. 5
  2. 3√2
  3. 5√2
  4. 5√3/3


Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.