Zadanie maturalne nr 10, matura 2015 (poziom rozszerzony)


Długości boków czworokąta \(ABCD\) są równe: \(|AB|=2, |BC|=3, |CD|=4, |DA|=5\). Na czworokącie \(ABCD\) opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej \(AC\) tego czworokąta.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Wprowadzamy następujące oznaczenia:

Oznaczenia na rysunku

W czworokącie wpisanym w okrąg suma przeciwległych kątów wynosi 180°. Zatem

\(\alpha+|\angle CDA|=180°\)

\(|\angle CDA|=180deg;-\alpha\)

Skorzystamy teraz z twierdzenia cosinusów dla trójkąta \(ABC\):

\(|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2-2|AB|\cdot |BC|\cdot \cos{\alpha}\)

\(|AC|^2=2^2+3^2-2\cdot 2\cdot 3\cos{\alpha}=13-12\cos{\alpha}\)

Teraz ponownie zastosujemy twierdzenie cosinusów, tym razem do trójkąta \(ACD\):

\(|AC|^2=|CD|^2+|DA|^2-2|CD|\cdot |DA|\cdot \cos{(180^\circ-\alpha)}\)

\(|AC|^2=4^2+5^2-2\cdot 4\cdot 5\cdot (-\cos{\alpha})=41-40\cos{\alpha}\)

Porównujemy prawe strony powyższych zależności:

\(13-12\cos{\alpha}=41+40\cos{\alpha}\)

\(52\cos{\alpha}=-28/:52\)

\(\cos\alpha=-\frac{28}{52}=-\frac{7}{13}\)

Znamy cosinus kąta alfa, możemy więc go podstawić do jednego z równań otrzymanego na podstawie twierdzenia cosinusów:

\(|AC|^2=13-12\cdot(-\frac{7}{13})=13+\frac{84}{13}=\frac{253}{13}\)

\(|AC|=\sqrt{\frac{253}{13}}\)


© medianauka.pl, 2017-01-09, ZAD-3368

Zadania podobne

kulkaZadanie - twierdzenie sinusów

W trójkącie dane są dwa boki \(a=40, b=35\) i kąt leżący naprzeciwko większego boku \(\alpha=45°\). Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 10, matura 2017 (poziom rozszerzony)

Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach \(\frac{\pi}{3}\) i \(\alpha\). Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy \(\frac{\sqrt{6}}{4}\). Wyznacz miarę kąta \(\alpha\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 8, matura 2019 - poziom rozszerzony

Punkt \(D\) leży na boku \(AB\) trójkąta \(ABC\) oraz \(|AC|=16, |AD|=6, |CD|=14\) i \(|BC|=|BD|\). Oblicz obwód trójkąta \(ABC\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2020 - poziom rozszerzony

W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) jest 3 razy dłuższy od boku \(AC\), a długość boku BC stanowi \(\frac{4}{5}\) długości boku \(AB\). Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta \(ABC\).

W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

kratki

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 8, matura 2022 - poziom rozszerzony

Punkt \(P\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(ABCD\). Długość podstawy \(CD\) jest o 2 mniejsza od długości podstawy \(AB\). Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(CPD\) jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie \(APB\). Wykaż, że spełniony jest warunek \(|DP|^2+|CP|^2−|CD|^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot |DP|\cdot |CP|\).



Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 5, matura 2023 - poziom rozszerzony

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\angle ABC|=90°\) oraz \(|\angle CAB|=60°\). Punkty \(K\) i \(L\) leżą na bokach – odpowiednio – \(AB\) i \(BC\) tak, że \(|BK|=|BL|=1\) (zobacz rysunek). Odcinek \(KL\) przecina wysokość \(BD\) tego trójkąta w punkcie \(N\), a ponadto \(|AD|=2\).

Zadanie 5, matura, matematyka rozszerzona 2023

Wykaż, że \(|ND|=\sqrt{3}+1\).



Pokaż rozwiązanie zadania




©® Media Nauka 2008-2023 r.