Nauka » Matematyka » Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów

Zadanie maturalne nr 10, matura 2015 (poziom rozszerzony)

Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB| = 2, |BC| = 3, |CD| = 4, |DA| = 5. Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.

Rozwiązanie zadania

Wprowadzamy następujące oznaczenia:

Oznaczenia na rysunku

W czworokącie wpisanym w okrąg suma przeciwległych kątów wynosi 180°. Zatem

$\alpha+|\angle CDA|=180^\circ\\|\angle CDA|=180^\circ-\alpha$

Skorzystamy teraz z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC:

$|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2-2|AB|\cdot |BC|\cdot \cos{\alpha}\\|AC|^2=2^2+3^2-2\cdot 2\cdot 3\cos{\alpha}=13-12\cos{\alpha}$

Teraz ponownie zastosujemy twierdzenie cosinusów, tym razem do trójkąta ACD:

$|AC|^2=|CD|^2+|DA|^2-2|CD|\cdot |DA|\cdot \cos{(180^\circ-\alpha)}\\|AC|^2=4^2+5^2-2\cdot 4\cdot 5\cdot (-\cos{\alpha})=41-40\cos{\alpha}$

Porównujemy prawe strony powyższych zależności:

$13-12\cos{\alpha}=41+40\cos{\alpha}\\52\cos{\alpha}=-28/:52\\cos\alpha=-\frac{28}{52}=-\frac{7}{13}$

Znamy cosinus kąta alfa, możemy więc go podstawić do jednego z równań otrzymanego na podstawie twierdzenia cosinusów:

$|AC|^2=13-12\cdot(-\frac{7}{13})=13+\frac{84}{13}=\frac{253}{13}\\ |AC|=\sqrt{\frac{253}{13}}$

Zadania podobne

Zadanie - twierdzenie sinusów
W trójkącie dane są dwa boki a=40, b=35 i kąt leżący naprzeciwko większego boku $\alpha=45^o$ . Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.

Pokaż rozwiązanie zadania