Nauka » Matematyka » Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów

Zadanie maturalne nr 8, matura 2022 - poziom rozszerzony

Punkt P jest punktem przecięcia przekątnych trapezu ABCD. Długość podstawy CD jest o 2 mniejsza od długości podstawy AB. Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym CPD jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie APB. Wykaż, że spełniony jest warunek $|DP|^2+|CP|^2−|CD|^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot |DP|\cdot |CP|$.

Rozwiązanie zadania

Sporządzamy rysunek poglądowy i wprowadzamy dodatkowe oznaczenia.

Rysunek

Przez $R$ oznaczymy promień okręgu opisanego na trójkącie $CPD$/. Kąty $|\angle SPD|=|\angle APB|=\alpha$ z uwagi na to, że katami wierzchołkowymi. W trapezie $AB||CD$, zatem $|\angle PCD|=|\angle PAB|$ i $|\angle ABP|=|\angle PDC|$, a trójkąty ABP i CDP są z uwagi na spełnianie cechy kat-kąt-kąt podobne.

Możemy więc napisać, że:

$\frac{R+3}{a}=\frac{R}{a-2}$

$(R+3)(a-2)=aR$

$aR-2R+3a-6-aR=0$

$-2R+3a-6=0$

$3a=2R+6$

$|AB|=a=\frac{2}{3}R+2$

$|CD|=a-2=\frac{2}{3}R$

Dla trójkąta CPD możemy zastosować twierdzenie sinusów:

$\frac{|CD|}{\sin{\alpha}}=2R$

$\frac{\frac{2}{3}R}{\sin{\alpha}}=2R$

$\sin{\alpha}=\frac{1}{3}$

Obliczmy cosinus kąta $alpha$, korzystając z jedynki trygonometrycznej:

$\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$

$(\frac{1}{3})^2+\cos^2{\alpha}=1$

$\cos^2{\alpha}=1-\frac{1}{9}$

$\cos{\alpha}=\sqrt{\frac{8}{9}}$

$\cos{\alpha}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Zapiszmy twierdzenie cosinusów dla trójkąta CPD:

$|CD|^2=|DP|^2+|CP|^2-2\cdot |DP|\cdot |CP|\cdot \cos{\alpha}$

$|CD|^2=|DP|^2+|CP|^2-2\cdot |DP|\cdot |CP|\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$|DP|^2+|CP|^2 -|CD|^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot |DP|\cdot |CP|$.

Co należało wykazać.

Zadania podobne

Zadanie - twierdzenie sinusów
W trójkącie dane są dwa boki a=40, b=35 i kąt leżący naprzeciwko większego boku $\alpha=45^o$ . Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 10, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB| = 2, |BC| = 3, |CD| = 4, |DA| = 5. Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 10, matura 2017 (poziom rozszerzony)
Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach π/3 i α. Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy √6/4. Wyznacz miarę kąta α.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 8, matura 2019 - poziom rozszerzony

Punkt D leży na boku AB trójkąta ABC oraz |AC| = 16 , |AD| = 6 , |CD| = 14 i |BC| = |BD|. Oblicz obwód trójkąta ABC.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 5, matura 2020 - poziom rozszerzony

W trójkącie ABC bok AB jest 3 razy dłuższy od boku AC, a długość boku BC stanowi 4 5 długości boku AB. Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta ABC.

W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.