Zadanie maturalne nr 8, matura 2022 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Punkt \(P\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(ABCD\). Długość podstawy \(CD\) jest o 2 mniejsza od długości podstawy \(AB\). Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(CPD\) jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie \(APB\). Wykaż, że spełniony jest warunek \(|DP|^2+|CP|^2−|CD|^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot |DP|\cdot |CP|\).
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy rysunek poglądowy i wprowadzamy dodatkowe oznaczenia.
Przez \(R\) oznaczymy promień okręgu opisanego na trójkącie \(CPD\)/. Kąty \(|\angle SPD|=|\angle APB|=\alpha\) z uwagi na to, że katami wierzchołkowymi. W trapezie \(AB||CD\), zatem \(|\angle PCD|=|\angle PAB|\) i \(|\angle ABP|=|\angle PDC|\), a trójkąty ABP i CDP są z uwagi na spełnianie cechy kat-kąt-kąt podobne.
Możemy więc napisać, że:
\(\frac{R+3}{a}=\frac{R}{a-2}\)
\((R+3)(a-2)=aR\)
\(aR-2R+3a-6-aR=0\)
\(-2R+3a-6=0\)
\(3a=2R+6\)
\(|AB|=a=\frac{2}{3}R+2\)
\(|CD|=a-2=\frac{2}{3}R\)
Dla trójkąta CPD możemy zastosować twierdzenie sinusów:
\(\frac{|CD|}{\sin{\alpha}}=2R\)
\(\frac{\frac{2}{3}R}{\sin{\alpha}}=2R\)
\(\sin{\alpha}=\frac{1}{3}\)
Obliczmy cosinus kąta \(alpha\), korzystając z jedynki trygonometrycznej:
\(\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1\)
\((\frac{1}{3})^2+\cos^2{\alpha}=1\)
\(\cos^2{\alpha}=1-\frac{1}{9}\)
\(\cos{\alpha}=\sqrt{\frac{8}{9}}\)
\(\cos{\alpha}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
Zapiszmy twierdzenie cosinusów dla trójkąta CPD:
\(|CD|^2=|DP|^2+|CP|^2-2\cdot |DP|\cdot |CP|\cdot \cos{\alpha}\)
\(|CD|^2=|DP|^2+|CP|^2-2\cdot |DP|\cdot |CP|\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}\)
\(|DP|^2+|CP|^2 -|CD|^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot |DP|\cdot |CP|\).
Co należało wykazać.
© medianauka.pl, 2023-04-28, ZAD-4886
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
W trójkącie dane są dwa boki \(a=40, b=35\) i kąt leżący naprzeciwko większego boku \(\alpha=45°\). Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.
Zadanie nr 2 — maturalne.
Długości boków czworokąta \(ABCD\) są równe: \(|AB|=2, |BC|=3, |CD|=4, |DA|=5\). Na czworokącie \(ABCD\) opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej \(AC\) tego czworokąta.
Zadanie nr 3 — maturalne.
Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach \(\frac{\pi}{3}\) i \(\alpha\). Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy \(\frac{\sqrt{6}}{4}\). Wyznacz miarę kąta \(\alpha\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Punkt \(D\) leży na boku \(AB\) trójkąta \(ABC\) oraz \(|AC|=16, |AD|=6, |CD|=14\) i \(|BC|=|BD|\). Oblicz obwód trójkąta \(ABC\).
Zadanie nr 5 — maturalne.
W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) jest 3 razy dłuższy od boku \(AC\), a długość boku BC stanowi \(\frac{4}{5}\) długości boku \(AB\). Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta \(ABC\).
W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\angle ABC|=90°\) oraz \(|\angle CAB|=60°\). Punkty \(K\) i \(L\) leżą na bokach – odpowiednio – \(AB\) i \(BC\) tak, że \(|BK|=|BL|=1\) (zobacz rysunek). Odcinek \(KL\) przecina wysokość \(BD\) tego trójkąta w punkcie \(N\), a ponadto \(|AD|=2\).
Wykaż, że \(|ND|=\sqrt{3}+1\).