Logo Media Nauka

Facebook

Twierdzenia o trójkącie

Teoria Najlepiej znane twierdzenie o trójkącie to twierdzenie Pitagorasa, któremu poświęcamy osobny artykuł

Twierdzenie Twierdzenie

Odcinek, który łączy środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku, a jego długość jest równa połowie tego boku.

Dowód tego twierdzenia jest prosty i oparty jest na własności działań na wektorach.

Teoria Dowód


dowód twierdzenia

Korzystamy z sumy wektorów i dodajemy stronami równania:

\vec{MN}=\vec{MC}+\vec{CN}\\ \underline{+ \vec{MN}=\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}}2\vec{MN}=\vec{MC}+\vec{CN}+\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}

Uporządkujemy wyrazy po prawej stronie równania:

2\vec{MN}=(\vec{MC}+\vec{MA})+(\vec{CN}+\vec{BN})+\vec{AB}

Wektory ujęte parami w nawiasach są wektorami przeciwnymi, więc:

2\vec{MN}=\vec{0}+\vec{0}+\vec{AB}\\ 2\vec{MN}=\vec{AB} \\ \vec{MN}=\frac{1}{2}\vec{AB}

Zgodnie z definicją mnożenia wektora przez skalar (liczbę), wektory te są równoległe, mają ten sam zwrot, a długość jednego jest o połowę mniejsza niż drugiego, co należało dowieść.

Punkt Gergonne'a

Twierdzenie Twierdzenie

W dowolnym trójkącie proste łączące wierzchołki trójkąta z punktami styczności okręgu wpisanego w ten trójkąt z bokami przeciwległymi przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy punktem Gergonne'a

punkt Gergonne'a

Współliniowość punktów w trójkącie

Twierdzenie Twierdzenie

W dowolnym trójkącie środek ciężkości (S2), środek okręgu opisanego (S1), środek okręgu przechodzącego przez środki boków (S3) i ortocentrum (S4) są współliniowe.

ilustracja twierdzenia

Okrąg Eulera

Twierdzenie Twierdzenie

W dowolnym trójkącie środki boków (czerwone), spodki wysokości (niebieskie), środki odcinków, łączących ortocentrum z wierzchołkami(żółte) leżą na jednym okręgu, który nazywamy okręgiem dziewięciu punktów lub okręgiem Eulera.

okrąg Eulera

© medianauka.pl, 2010-11-27, ART-1031


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Twierdzenia o trójkącie

zadanie-ikonka Zadanie - własności trójkąta, obwód trapezu
Dany jest trójkąt ABC o bokach długości: |AB|=6, |BC|=4, |AC|=5. Punkt M jest środkiem boku AC, punkt N - środkiem boku BC. Obliczyć obwód trapezu ABNM.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

TrójkątTrójkąt
Trójkąt jest to wielokąt o trzech bokach. Rodzaje trójkątów, konstrukcja trójkąta.
Trójkąt prostokątnyTrójkąt prostokątny
Trójkąt prostokątny jest to trójkąt, w którym jeden z kątów jest kątem prostym.
Trójkąt równobocznyTrójkąt równoboczny
Definicja trójkąta równobocznego, wysokość trójkąta równobocznego oraz promienie okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym.
Twierdzenie PitagorasaTwierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych a^2+b^2=c^2.
Pole i obwód trójkątaPole i obwód trójkąta
Istnieje co najmniej kilka wzorów na pole trójkąta. Ich stosowanie zależy od danych jakie posiadamy i czasem od rodzaju trójkąta z jakim mamy do czynienia.
Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensówTwierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów
Omówienie twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów wraz z przykładami ich zastosowania w rozwiązywaniu trójkątów
TestTest wiedzy
Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.








Polecamy w naszym sklepie

laboratorium w szufladzie Matematyka
Kolorowe skarpetki 3D
Kubek matematyka pi
Kalkulatory maukowe
Rodzinna matematyka
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2020 r.