Twierdzenia o trójkącie

Najlepiej znane twierdzenie o trójkącie to twierdzenie Pitagorasa, któremu poświęcamy osobny artykuł. Wiele innych twierdzeń omawiamy w artykułach o trójkątach. Tutaj prezentujemy rzadziej spotykane w podręcznikach twierdzenia o trójkątach.

Twierdzenie 1

Odcinek, który łączy środki dwóch boków trójkąta, jest równoległy do trzeciego boku, a jego długość jest równa połowie tego boku.

Dowód tego twierdzenia jest prosty i oparty jest na własności działań na wektorach.

Dowód

dowód twierdzenia

Korzystamy z sumy wektorów i dodajemy stronami równania:

\vec{MN}=\vec{MC}+\vec{CN}\\ \underline{+ \vec{MN}=\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}}2\vec{MN}=\vec{MC}+\vec{CN}+\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}

Uporządkujemy wyrazy po prawej stronie równania:

\(2\vec{MN}=(\vec{MC}+\vec{MA})+(\vec{CN}+\vec{BN})+\vec{AB}\)

Wektory ujęte parami w nawiasach są wektorami przeciwnymi, więc:

\(2\vec{MN}=\vec{0}+\vec{0}+\vec{AB}\)

\( 2\vec{MN}=\vec{AB}\)

\( \vec{MN}=\frac{1}{2}\vec{AB}\)

Zgodnie z definicją mnożenia wektora przez skalar (liczbę), wektory te są równoległe, mają ten sam zwrot, a długość jednego jest o połowę mniejsza niż drugiego, co należało dowieść.

Punkt Gergonne'a

W dowolnym trójkącie proste łączące wierzchołki trójkąta z punktami styczności okręgu wpisanego w ten trójkąt z bokami przeciwległymi przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy punktem Gergonne'a.

punkt Gergonne'a

Współliniowość punktów w trójkącie

W dowolnym trójkącie środek ciężkości (\(S_1\)), środek okręgu opisanego (\(S_2\)), środek okręgu przechodzącego przez środki boków (\(S_3\)) i ortocentrum (\(S_4\)) są współliniowe.

ilustracja twierdzenia

Okrąg Eulera

W dowolnym trójkącie środki boków (czerwone), spodki wysokości (niebieskie), środki odcinków, łączących ortocentrum z wierzchołkami (żółte) leżą na jednym okręgu, który nazywamy okręgiem dziewięciu punktów lub okręgiem Eulera.

okrąg Eulera



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości: \(|AB|=6, |BC|=4, |AC|=5\). Punkt \(M\) jest środkiem boku \(AC\), punkt \(N\) — środkiem boku \(BC\). Obliczyć obwód trapezu \(ABNM\).

Pokaż rozwiązanie zadania.



Powiązane quizy

Pole trójkąta — quiz

Liczba pytań: 10
Quiz szkolny
Średni wynik:
29.97 / 299.7%
2024-01-22




Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2010-11-27, A-1031
Data aktualizacji artykułu: 2023-06-16



©® Media Nauka 2008-2023 r.