Twierdzenia o trójkącie

Teoria Najlepiej znane twierdzenie o trójkącie to twierdzenie Pitagorasa, któremu poświęcamy osobny artykuł

Twierdzenie Twierdzenie

Odcinek, który łączy środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku, a jego długość jest równa połowie tego boku.

Dowód tego twierdzenia jest prosty i oparty jest na własności działań na wektorach.

Teoria Dowód


dowód twierdzenia

Korzystamy z sumy wektorów i dodajemy stronami równania:

\vec{MN}=\vec{MC}+\vec{CN}\\ \underline{+ \vec{MN}=\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}}2\vec{MN}=\vec{MC}+\vec{CN}+\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}

Uporządkujemy wyrazy po prawej stronie równania:

2\vec{MN}=(\vec{MC}+\vec{MA})+(\vec{CN}+\vec{BN})+\vec{AB}

Wektory ujęte parami w nawiasach są wektorami przeciwnymi, więc:

2\vec{MN}=\vec{0}+\vec{0}+\vec{AB}\\ 2\vec{MN}=\vec{AB} \\ \vec{MN}=\frac{1}{2}\vec{AB}

Zgodnie z definicją mnożenia wektora przez skalar (liczbę), wektory te są równoległe, mają ten sam zwrot, a długość jednego jest o połowę mniejsza niż drugiego, co należało dowieść.

Punkt Gergonne'a

Twierdzenie Twierdzenie

W dowolnym trójkącie proste łączące wierzchołki trójkąta z punktami styczności okręgu wpisanego w ten trójkąt z bokami przeciwległymi przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy punktem Gergonne'a

punkt Gergonne'a

Współliniowość punktów w trójkącie

Twierdzenie Twierdzenie

W dowolnym trójkącie środek ciężkości (S2), środek okręgu opisanego (S1), środek okręgu przechodzącego przez środki boków (S3) i ortocentrum (S4) są współliniowe.

ilustracja twierdzenia

Okrąg Eulera

Twierdzenie Twierdzenie

W dowolnym trójkącie środki boków (czerwone), spodki wysokości (niebieskie), środki odcinków, łączących ortocentrum z wierzchołkami(żółte) leżą na jednym okręgu, który nazywamy okręgiem dziewięciu punktów lub okręgiem Eulera.

okrąg Eulera


© medianauka.pl, 2010-11-27, ART-1031


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Twierdzenia o trójkącie

zadanie-ikonka Zadanie - własności trójkąta, obwód trapezu
Dany jest trójkąt ABC o bokach długości: |AB|=6, |BC|=4, |AC|=5. Punkt M jest środkiem boku AC, punkt N - środkiem boku BC. Obliczyć obwód trapezu ABNM.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

TrójkątTrójkąt
Trójkąt jest to wielokąt o trzech bokach. Rodzaje trójkątów, konstrukcja trójkąta.
Trójkąt prostokątnyTrójkąt prostokątny
Trójkąt prostokątny jest to trójkąt, w którym jeden z kątów jest kątem prostym.
Trójkąt równobocznyTrójkąt równoboczny
Definicja trójkąta równobocznego, wysokość trójkąta równobocznego oraz promienie okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym.
Twierdzenie PitagorasaTwierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych a^2+b^2=c^2.
Pole i obwód trójkątaPole i obwód trójkąta
Istnieje co najmniej kilka wzorów na pole trójkąta. Ich stosowanie zależy od danych jakie posiadamy i czasem od rodzaju trójkąta z jakim mamy do czynienia.
Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensówTwierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów
Omówienie twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów wraz z przykładami ich zastosowania w rozwiązywaniu trójkątów



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2018 r.