Twierdzenia o trójkącie

Najlepiej znane twierdzenie o trójkącie to twierdzenie Pitagorasa, któremu poświęcamy osobny artykuł

Twierdzenie

Odcinek, który łączy środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku, a jego długość jest równa połowie tego boku.

Dowód tego twierdzenia jest prosty i oparty jest na własności działań na wektorach.

Dowód

Korzystamy z sumy wektorów i dodajemy stronami równania:

$\vec{MN}=\vec{MC}+\vec{CN}\\ \underline{+ \vec{MN}=\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}}2\vec{MN}=\vec{MC}+\vec{CN}+\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}$

Uporządkujemy wyrazy po prawej stronie równania:

$2\vec{MN}=(\vec{MC}+\vec{MA})+(\vec{CN}+\vec{BN})+\vec{AB}$

Wektory ujęte parami w nawiasach są wektorami przeciwnymi, więc:

$2\vec{MN}=\vec{0}+\vec{0}+\vec{AB}\\ 2\vec{MN}=\vec{AB} \\ \vec{MN}=\frac{1}{2}\vec{AB}$

Zgodnie z definicją mnożenia wektora przez skalar (liczbę), wektory te są równoległe, mają ten sam zwrot, a długość jednego jest o połowę mniejsza niż drugiego, co należało dowieść.

Punkt Gergonne'a

Twierdzenie

W dowolnym trójkącie proste łączące wierzchołki trójkąta z punktami styczności okręgu wpisanego w ten trójkąt z bokami przeciwległymi przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy punktem Gergonne'a

Współliniowość punktów w trójkącie

Twierdzenie

W dowolnym trójkącie środek ciężkości (S₂), środek okręgu opisanego (S₁), środek okręgu przechodzącego przez środki boków (S₃) i ortocentrum (S₄) są współliniowe.

Okrąg Eulera

Twierdzenie

W dowolnym trójkącie środki boków (czerwone), spodki wysokości (niebieskie), środki odcinków, łączących ortocentrum z wierzchołkami(żółte) leżą na jednym okręgu, który nazywamy okręgiem dziewięciu punktów lub okręgiem Eulera.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Dany jest trójkąt ABC o bokach długości: |AB|=6, |BC|=4, |AC|=5. Punkt M jest środkiem boku AC, punkt N - środkiem boku BC. Obliczyć obwód trapezu ABNM.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych a^2+b^2=c^2.

Pole i obwód trójkąta

Istnieje co najmniej kilka wzorów na pole trójkąta. Ich stosowanie zależy od danych jakie posiadamy i czasem od rodzaju trójkąta z jakim mamy do czynienia.

Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów

Omówienie twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów wraz z przykładami ich zastosowania w rozwiązywaniu trójkątów

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.