Figury przystające
Co to są figury przystające i cechy przystawania?
Definicja
Dwie figury f i g nazywamy figurami przystającymi, jeżeli istnieje izometria, która przekształca jedną figurę w drugą. Używamy wówczas następującego zapisu: f≡g.
Istnieją pewne reguły/własności, które pozwalają określić, czy dane figury są przystające, czy nie. Reguły te nazywamy cechami przystawania. Aby dowieść, że dwie figury są przystające, wystarczy znaleźć izometrię, która przekształca jedną figurę w drugą.
Przykłady
Obok zilustrowano dwie figury przystające. Wystarczy dokonać przesunięcia jednej z nich i obrotu aby przekształcić jedną figurę w drugą.
Poniżej znajduje się przykład figur, które nie są przystające. Nie można znaleźć takiego przekształcenia, które zachowuje odległości (czyli izometrii), aby przekształcić jedną figurę w drugą.
Cecha przystawania odcinków
Twierdzenie
Odcinki są przystające, jeśli są równe (mają równe długości).
Przykład
Dwa dowolne boki kwadratu są przystające, ponieważ długości wszystkich boków kwadratu są takie same. Natomiast w prostokącie tylko wybrane boki są przystające.
Cecha przystawania okręgów
Twierdzenie
Okręgi są przystające, jeśli mają równe promienie.
Cecha przystawania trójkątów
Twierdzenie
Cecha bbb (bok-bok-bok)
Dwa trójkąty są przystające jeżeli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta.
Twierdzenie
Cecha bkb (bok-kąt-bok)
Dwa trójkąty są przystające jeżeli dwa boki i kąt między nimi jednego trójkąta są odpowiednio przystające do dwóch boków i kąta zawartego między tymi bokami w drugim trójkącie.
Twierdzenie
Cecha kbk (kąt-bok-kąt)
Dwa trójkąty są przystające jeżeli bok i dwa kąty, leżące przy nim w jednym trójkącie są odpowiednio przystające do boku i kątów leżących przy tym boku w drugim trójkącie.
Przykład
Wykazać, że dwa trójkąty wyznaczone przez przekątną w prostokącie są przystające.
Sporządzamy rysunek:
Skorzystajmy z cechy bkb. Kąty ∠DAB i ∠DCB są przystające (spróbuj znaleźć izometrię, która przekształca jeden kąt w drugi), a odpowiednie boki zawierające się w ramionach tych kątów z definicji prostokąta są równe: |AD|=|BC| i |AB|=|CD|. Ponieważ spełniona jest cecha bkb, to trójkąty ABD i BCD są przystające.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Wykaż, że wszystkie mniejsze trójkąty są przystające i są trójkątami równobocznymi.Zadanie nr 2 — maturalne.
Dany jest prostokąt ABCD. Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD w punkcie N. Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku AD w punkcie M, a środek S tego okręgu leży na odcinku MN, jak na rysunku.
Wykaż, że |MN|=|AD|
Inne zagadnienia z tej lekcji
Translacja
Translacja o wektor translacji jest to jedno z przekształceń geometrycznych płaszczyzny.
Obrót
co to jest obrót dookoła punktu O o kąt skierowany?
Jednokładność
Co to jest jednokładność o środku O i skali k?
Podobieństwo i figury podobne
Podobieństwo w skali k jest to przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, które zmienia odległość każdych dwóch punktów w stosunku k.
© medianauka.pl, 2010-11-11, ART-1011