Podobieństwo figur, figury podobne

Definicja

Podobieństwo w skali k jest to przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, które zmienia odległość każdych dwóch punktów w stosunku k, tzn. : |A''B''|=k|A''B''|.

Własności podobieństwa:\n

Podobieństwo w skali k=1 jest izometrią.
Podobieństwo w skali k=1 jest przekształceniem tożsamościowym.
Przekształcenie odwrotne do podobieństwa w skali k jest podobieństwem w skali 1/k.
Złożenie dwóch podobieństw o skalach k₁, k₂ jest podobieństwem w skali k₁k₂.
Każde podobieństwo jest złożeniem pewnej jednokładności z pewną izometrią i złożenie dowolnej jednokładności z dowolną izometrią jest podobieństwem.
Podobieństwo zachowuje współliniowość i uporządkowanie punktów na prostej.
Podobieństwo zachowuje stosunek odcinków.
Podobieństwo przekształca kąt w kąt przystający.
Podobieństwo zachowuje rozwartość kąta skierowanego (może zmienić jego zwrot).

Definicja

Dwie figury nazywamy podobnymi, gdy istnieje podobieństwo, które przekształca jedną figurę w drugą. Figury podobne oznaczamy następująco: f~f ''.

Twierdzenie

Wieloboki podobne mają boki proporcjonalne, a kąty odpowiednio równe.

Podobieństwo figur, figury podobne - kąty

$\\frac{a''}{a}=\\frac{b''}{b}=\\frac{c''}{c}=\\frac{d''}{d}\\\\ \\alpha=\\alpha '', \\ \\beta=\\beta '', \\ \\gamma=\\gamma '', \\ \\delta=\\delta ''$

Cechy podobieństwa trójkątów

Twierdzenie

Dwa trójkąty są podobne, jeżeli spełniony jest którykolwiek z warunków:

Cecha BBB (bok-bok-bok)\n

Trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do trzech boków drugiego trójkąta.

$\\frac{a''}{a}=\\frac{b''}{b}=\\frac{c''}{c}$

Cecha BKB (bok-kąt-bok)\n

Dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta oraz kąty zawarte między tymi bokami są równe.

$\\frac{a''}{a}=\\frac{b''}{b}, \\ \\alpha=\\alpha ''$

Cecha KK (kąt-kąt)\n

Dwa kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwom kątom drugiego trójkąta.

$\\alpha=\\alpha '', \\ \\beta=\\beta ''$

Cecha podobieństwa wielokątów

Twierdzenie

Dwa n-kąty wypukłe są podobne, jeżeli wierzchołki jednego z nich można przyporządkować wierzchołkom drugiego tak, że n-1 kolejnych boków w jednym wielokącie i n-1 kolejnych boków w drugim wielokącie są proporcjonalne, zaś n-2 kolejnych kątów zawartych między tymi bokami w jednym wielokącie i odpowiadające im kąty w drugim wielokącie są parami równe.