Podobieństwo

Co to jest podobieństwo i kiedy figury są podobe?

Definicja

Podobieństwo w skali k jest to przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, które zmienia odległość każdych dwóch punktów w stosunku k, tzn. : |A''B''|=k|A''B''|.

Własności podobieństwa

Własności podobieństwa:

Podobieństwo w skali k=1 jest izometrią.
Podobieństwo w skali k=1 jest przekształceniem tożsamościowym.
Przekształcenie odwrotne do podobieństwa w skali k jest podobieństwem w skali 1/k.
Złożenie dwóch podobieństw o skalach k₁, k₂ jest podobieństwem w skali k₁k₂.
Każde podobieństwo jest złożeniem pewnej jednokładności z pewną izometrią i złożenie dowolnej jednokładności z dowolną izometrią jest podobieństwem.
Podobieństwo zachowuje współliniowość i uporządkowanie punktów na prostej.
Podobieństwo zachowuje stosunek odcinków.
Podobieństwo przekształca kąt w kąt przystający.
Podobieństwo zachowuje rozwartość kąta skierowanego (może zmienić jego zwrot).

Figury podobne

Definicja

Dwie figury nazywamy podobnymi, gdy istnieje podobieństwo, które przekształca jedną figurę w drugą. Figury podobne oznaczamy następująco: f~f ''.

Twierdzenie

Wieloboki podobne mają boki proporcjonalne, a kąty odpowiednio równe.

Podobieństwo figur, figury podobne - kąty

$\\frac{a''}{a}=\\frac{b''}{b}=\\frac{c''}{c}=\\frac{d''}{d}\\\\ \\alpha=\\alpha '', \\ \\beta=\\beta '', \\ \\gamma=\\gamma '', \\ \\delta=\\delta ''$

Cechy podobieństwa trójkątów

Twierdzenie

Dwa trójkąty są podobne, jeżeli spełniony jest którykolwiek z warunków:

Cecha BBB (bok-bok-bok)\n

Trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do trzech boków drugiego trójkąta.

$\\frac{a''}{a}=\\frac{b''}{b}=\\frac{c''}{c}$

Cecha BKB (bok-kąt-bok)\n

Dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta oraz kąty zawarte między tymi bokami są równe.

$\\frac{a''}{a}=\\frac{b''}{b}, \\ \\alpha=\\alpha ''$

Cecha KK (kąt-kąt)\n

Dwa kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwom kątom drugiego trójkąta.

$\\alpha=\\alpha '', \\ \\beta=\\beta ''$

Cecha podobieństwa wielokątów

Twierdzenie

Dwa n-kąty wypukłe są podobne, jeżeli wierzchołki jednego z nich można przyporządkować wierzchołkom drugiego tak, że n-1 kolejnych boków w jednym wielokącie i n-1 kolejnych boków w drugim wielokącie są proporcjonalne, zaś n-2 kolejnych kątów zawartych między tymi bokami w jednym wielokącie i odpowiadające im kąty w drugim wielokącie są parami równe.

$\\frac{a''}{a}=\\frac{b''}{b}=\\frac{c''}{c}\\\\ \\alpha=\\alpha '', \\ \\beta=\\beta ''$

Inne cechy podobieństwa figur:

Każde dwa okręgi są podobne.
Wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.
Każde dwa odcinki są podobne.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1 — maturalne.

Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość
zadanie maturalne 16/2016

A. 8
B. 8,5
C. 9,5
D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 — maturalne.

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że |∠DEC|=|∠BGF|=90° (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG.
Ilustracja do zadania 29, matura 2016, poziom podstawowy

Ilustracja do zadania 29, matura 2016, poziom podstawowy

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 — maturalne.

Jeżeli trójkąty ABC i A'B'C' są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm² i 50 cm², to skala podobieństwa A'B'/AB jest równa:

A. 2
B. 1/2
C. $\sqrt{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AB. Odcinek DE jest równoległy do boku AC, a ponadto |BD| =10 , |BC| =12 i |AC| = 24 (zobacz rysunek).
A. m = 22
B. m = 20
C. m = 12
D. m = 11
Długość odcinka DE jest równa

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Dany jest trójkąt o bokach długości: 2√5, 3√5, 4√5. Trójkątem podobnym do tego trójkąta
jest trójkąt, którego boki mają długości

10, 15, 20
20, 45, 80
√2, √3, √4
√5, 2√5, 3√5

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów w punktach A i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz rysunek).

Rysunek