Zadanie maturalne nr 15, matura 2019
Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów w punktach A i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz rysunek).
Wtedy
A. |OK|=6
B. |OK|=8
C. |OK|=10
D. |OK|=12
Rozwiązanie zadania
Ponieważ kąty ∠OKA i ∠BKP są kątami wierzchołkowymi, mają więc równe miary, zaś katy OAK i KBP są kątami prostymi. Trójkąty OKA i KBP są więc podobne (na podstawie cechy kąt-kąt). Wieloboki podobne mają boki proporcjonalne, zatem możemy napisać, że:
\(\frac{|OA|}{|BP|}=\frac{|OK|}{|KP|}\)
Oznaczmy prze a=|OK|. Ponadto z warunków zadania mamy:
\(|OP|=|OK|+|KP|=a+|KP|=16\)
\(|KP|=16-a\)
\(|OA|=5, |BP|=3\)
Zatem:
\(\frac{5}{3}=\frac{a}{16-a}\)
\(3a=5(16-a)\)
\(3a=80-5a\)
\(8a=80/:8\)
\(a=10\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-01-28, ZAD-4660
Zadania podobne
Zadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom podstawowy)Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość
A. 8
B. 8,5
C. 9,5
D. 10
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 29, matura 2016 (poziom podstawowy)Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że |∠DEC|=|∠BGF|=90° (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 12, matura 2014Jeżeli trójkąty ABC i A'B'C' są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm2 i 50 cm2, to skala podobieństwa A'B'/AB jest równa:
A. 2
B. 1/2
C.
D.
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 16, matura 2017 (poziom podstawowy)W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AB. Odcinek DE jest równoległy do boku AC, a ponadto |BD| =10 , |BC| =12 i |AC| = 24 (zobacz rysunek).
A. m = 22
B. m = 20
C. m = 12
D. m = 11
Długość odcinka DE jest równa
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 15, matura 2018Dany jest trójkąt o bokach długości: 2√5, 3√5, 4√5. Trójkątem podobnym do tego trójkąta
jest trójkąt, którego boki mają długości
- 10, 15, 20
- 20, 45, 80
- √2, √3, √4
- √5, 2√5, 3√5
Pokaż rozwiązanie zadania
Zadanie maturalne nr 29, matura 2020Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E leży na wysokości CD tego trójkąta oraz |CE|=3/4|CD|. Punkt F leży na boku BC i odcinek EF jest prostopadły do BC (zobacz rysunek).
Wykaż, że |CF|=9/16|CB|
Pokaż rozwiązanie zadania