Zadanie maturalne nr 29, matura 2020
Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E leży na wysokości CD tego trójkąta oraz |CE|=3/4|CD|. Punkt F leży na boku BC i odcinek EF jest prostopadły do BC (zobacz rysunek).
Wykaż, że |CF|=9/16|CB|
Rozwiązanie zadania
Na podstawie cechy kąt-kąt-kąt możemy stwierdzić, że trójkąty DBC i EFC są podobne (oba mają po kącie prostym i miara kata ∠DCB i ∠ECF jest taka sama). Stąd:
\(\frac{|BC|}{|CE|}=\frac{|CD|}{|CF|}\)
Oznaczmy przez \(a=|BC|\). Z twierdzenia Pitagorasa mamy:
\(|CD|^2+(\frac{1}{2}a)^2=a^2\)
\(|CD|^2=a^2-\frac{1}{4}a^2\)
\(|CD|^2=\frac{3}{4}a^2\)
\(|CD|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Obliczamy najpierw lewą stronę naszej proporcji:
\(\frac{|BC|}{|CE|}=\frac{a}{\frac{3}{4}|CD|}=\frac{a}{\frac{3}{4}|CD|}=\frac{a}{\frac{3}{4}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\frac{3\sqrt{3}}{8}}=\frac{8\sqrt{3}}{9}=k\)
Druga strona proporcji:
\(\frac{|CD|}{|CF|}=k\)
\(|CF|=\frac{|CD|}{k}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\frac{8\sqrt{3}}{9}}=\frac{9}{16}a=\frac{9}{16}|CB|\)
Co należało wykazać.
© medianauka.pl, 2023-03-05, ZAD-4762
Zadania podobne

Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość

A. 8
B. 8,5
C. 9,5
D. 10
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że |∠DEC|=|∠BGF|=90° (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG.

Pokaż rozwiązanie zadania

Jeżeli trójkąty ABC i A'B'C' są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm2 i 50 cm2, to skala podobieństwa A'B'/AB jest równa:
A. 2
B. 1/2
C.

D.

Pokaż rozwiązanie zadania

W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AB. Odcinek DE jest równoległy do boku AC, a ponadto |BD| =10 , |BC| =12 i |AC| = 24 (zobacz rysunek).
A. m = 22
B. m = 20
C. m = 12
D. m = 11
Długość odcinka DE jest równa

Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest trójkąt o bokach długości: 2√5, 3√5, 4√5. Trójkątem podobnym do tego trójkąta
jest trójkąt, którego boki mają długości
- 10, 15, 20
- 20, 45, 80
- √2, √3, √4
- √5, 2√5, 3√5
Pokaż rozwiązanie zadania

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów w punktach A i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz rysunek).
Wtedy
A. |OK|=6
B. |OK|=8
C. |OK|=10
D. |OK|=12
Pokaż rozwiązanie zadania

Trójkąt równoboczny ABC ma pole równe 9√3. Prosta równoległa do boku BC przecina boki AB i AC – odpowiednio – w punktach K i L. Trójkąty ABC i AKL są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy 3/2. Oblicz długość boku trójkąta AKL.
Pokaż rozwiązanie zadania