Zadanie maturalne nr 22, matura 2023

Rozwiązanie zadania

Wprowadźmy oznaczenia nba rysunku poglądowym.

Obliczmy najpier długośc przeciwprostokątnej pierwszego trójkąta, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

\(c^2=5^+12^2\)

\(c^2=169\)

\(c=13\)

podobieństwa trójkątów \(T_1\) i \(T_2\) wynika, że stosunki odpowiednich boków są równe.

\(\frac{13}{5}=\frac{26}{a_2}\)

\(13a_2=5\cdot 26/:13\)

\(a_2=10\)

\(\frac{26}{b2}=\frac{13}{12}\)

\(13b_2=12\cdot 26/:13\)

\(b_2=24\)

Pole trójkąta \(T_2\) jest równe:

\(P=\frac{1}{2}a_2b_2=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 24=120\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2023-07-15, ZAD-4927

Zadania podobne

Przedstawione na rysunku trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne. Bok \(AB\) trójkąta \(ABC\) ma długość

A. 8

B. 8,5

C. 9,5

D. 10

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Na przyprostokątnych \(AC\) i \(AB\) tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \(D\) i \(G\). Na przeciwprostokątnej \(BC\) wyznaczono punkty \(E\) i \(F\) takie, że \(|\angle DEC|=|\angle BGF|=90°\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt \(CDE\) jest podobny do trójkąta \(FBG\).

Jeżeli trójkąty \(ABC\) i \(A'B'C'\) są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm² i 50 cm², to skala podobieństwa \(\frac{A'B'}{AB}\) jest równa:

A. \(2\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(\sqrt{2}\)

D. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\), a punkt \(E\) leży na boku \(AB\). Odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(AC\), a ponadto \(|BD|=10, |BC|=12\) i \(|AC|=24\) (zobacz rysunek).

A. \(m=22\)

B. \(m=20\)

C. \(m=12\)

D. \(m=11\)

Długość odcinka DE jest równa

Dany jest trójkąt o bokach długości: \(2\sqrt{5}, 3\sqrt{5}. 4\sqrt{5}\). Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości:

A. \(10, 15, 20\)

B. \(20, 45, 80\)

C. \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\)

D. \(\sqrt{5}, 2\sqrt{5}, 3\sqrt{5}\)

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(5\) oraz okrąg o środku w punkcie \(P\) i promieniu \(3\). Odcinek \(OP\) ma długość \(16\). Prosta \(AB\) jest styczna do tych okręgów w punktach \(A\) i \(B\). Ponadto prosta \(AB\) przecina odcinek \(OP\) w punkcie \(K\) (zobacz rysunek).

Wtedy

A. \(|OK|=6\)

B. \(|OK|=8\)

C. \(|OK|=10\)

D. \(|OK|=12\)

Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny. Punkt \(E\) leży na wysokości \(CD\) tego trójkąta oraz \(|CE|=\frac{3}{4}|CD|\). Punkt \(F\) leży na boku \(BC\) i odcinek \(EF\) jest prostopadły do \(BC\) (zobacz rysunek).

Wykaż, że \(|CF|=\frac{9}{16}|CB|\).

Trójkąt równoboczny \(ABC\) ma pole równe \(9\sqrt{3}\). Prosta równoległa do boku \(BC\) przecina boki \(AB\) i \(AC\) — odpowiednio — w punktach \(K\) i \(L\). Trójkąty \(ABC\) i \(AKL\) są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy \(\frac{3}{2}\). Oblicz długość boku trójkąta \(AKL\).

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Dwusieczna kąta \(BAC\) przecina bok \(BC\) w takim punkcie \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta \(BAC\).