Strona główna » Matematyka » Podobieństwo i figury podobne

Zadanie maturalne nr 12, matura 2014

Jeżeli trójkąty ABC i A'B'C' są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm² i 50 cm², to skala podobieństwa A'B'/AB jest równa:

A. 2
B. 1/2
C. $\sqrt{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Rozwiązanie zadania

Z cechy BBB (bok-bok-bok) podobieństwa trójkątów wynika, że:

$\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}$

Cechy podobieństwa trójkątów

Zauważmy, że wysokość trójkąta (tu na przykład opuszczona na podstawę c), dzieli trójkąt na dwa trójkąty, które również są podobne do odpowiednich trójkątów uzyskanych w taki sam sposób w drugim trójkącie podobnym.

Jeżeli skalę podobieństwa oznaczymy przez k, h - wysokość trójkąta ABC, h' - wysokość trójkąta A'B'C', to:

A'B'/AB = k i h'/h=k

Dane są pola obu trójkątów. Mamy więc:

$P_{A'B'C'}=\frac{1}{2}|A'B'|\cdot h'=50cm^2\\P_{ABC}=\frac{1}{2}|AB|\cdot h=25cm^2$

Obliczmy stosunek obu pól:

$\frac{P_{A'B'C'}}{P_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}|A'B'|\cdot h'}{\frac{1}{2}|AB|\cdot h}=\frac{50cm^2}{25cm^2}\\ \frac{|A'B'|\cdot h'}{|AB|\cdot h}=2\\ \frac{A'B'}{AB}\cdot \frac{h'}{h}=2\\k\cdot k=2\\k^2=2\\k=\sqrt{2}$