Zadanie maturalne nr 12, matura 2014

Rozwiązanie zadania

Z cechy \(BBB\) (bok-bok-bok) podobieństwa trójkątów wynika, że:

Zauważmy, że wysokość trójkąta (tu na przykład opuszczona na podstawę c), dzieli trójkąt na dwa trójkąty, które również są podobne do odpowiednich trójkątów uzyskanych w taki sam sposób w drugim trójkącie podobnym.

Jeżeli skalę podobieństwa oznaczymy przez \(k\), \(h\) - wysokość trójkąta \(ABC\), \(h'\) - wysokość trójkąta \(A'B'C'\), to:

\(\frac{A'B'}{AB} = k\) i \(\frac{h'}{h}=k\)

Dane są pola obu trójkątów. Mamy więc:

\(P_{A'B'C'}=\frac{1}{2}|A'B'|\cdot h'=50\ cm^2\)

\(P_{ABC}=\frac{1}{2}|AB|\cdot h=25\ cm^2\)

Obliczmy stosunek obu pól:

\(\frac{P_{A'B'C'}}{P_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}|A'B'|\cdot h'}{\frac{1}{2}|AB|\cdot h}=\frac{50\ cm^2}{25\ cm^2}\)

\(\frac{|A'B'|\cdot h'}{|AB|\cdot h}=2\)

\(\frac{A'B'}{AB}\cdot \frac{h'}{h}=2\)

\(k\cdot k=2\)

\(k^2=2\)

\(k=\sqrt{2}\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2017-01-31, ZAD-3435

Zadania podobne

Przedstawione na rysunku trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne. Bok \(AB\) trójkąta \(ABC\) ma długość

A. 8

B. 8,5

C. 9,5

D. 10

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Na przyprostokątnych \(AC\) i \(AB\) tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \(D\) i \(G\). Na przeciwprostokątnej \(BC\) wyznaczono punkty \(E\) i \(F\) takie, że \(|\angle DEC|=|\angle BGF|=90°\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt \(CDE\) jest podobny do trójkąta \(FBG\).

W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\), a punkt \(E\) leży na boku \(AB\). Odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(AC\), a ponadto \(|BD|=10, |BC|=12\) i \(|AC|=24\) (zobacz rysunek).

A. \(m=22\)

B. \(m=20\)

C. \(m=12\)

D. \(m=11\)

Długość odcinka DE jest równa

Dany jest trójkąt o bokach długości: \(2\sqrt{5}, 3\sqrt{5}. 4\sqrt{5}\). Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości:

A. \(10, 15, 20\)

B. \(20, 45, 80\)

C. \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\)

D. \(\sqrt{5}, 2\sqrt{5}, 3\sqrt{5}\)

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(5\) oraz okrąg o środku w punkcie \(P\) i promieniu \(3\). Odcinek \(OP\) ma długość \(16\). Prosta \(AB\) jest styczna do tych okręgów w punktach \(A\) i \(B\). Ponadto prosta \(AB\) przecina odcinek \(OP\) w punkcie \(K\) (zobacz rysunek).

Wtedy

A. \(|OK|=6\)

B. \(|OK|=8\)

C. \(|OK|=10\)

D. \(|OK|=12\)

Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny. Punkt \(E\) leży na wysokości \(CD\) tego trójkąta oraz \(|CE|=\frac{3}{4}|CD|\). Punkt \(F\) leży na boku \(BC\) i odcinek \(EF\) jest prostopadły do \(BC\) (zobacz rysunek).

Wykaż, że \(|CF|=\frac{9}{16}|CB|\).

Trójkąt równoboczny \(ABC\) ma pole równe \(9\sqrt{3}\). Prosta równoległa do boku \(BC\) przecina boki \(AB\) i \(AC\) — odpowiednio — w punktach \(K\) i \(L\). Trójkąty \(ABC\) i \(AKL\) są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy \(\frac{3}{2}\). Oblicz długość boku trójkąta \(AKL\).

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Dwusieczna kąta \(BAC\) przecina bok \(BC\) w takim punkcie \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta \(BAC\).

Trójkąty prostokątne \(T_1\) i \(T_2\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \(T_1\) mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta \(T_2\) ma długość 26. Oblicz pole trójkąta \(T_2\). Zapisz obliczenia.