Logo Media Nauka

Zadanie maturalne nr 29, matura 2016 (poziom podstawowy)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że |∠DEC|=|∠BGF|=90° (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG.
Ilustracja do zadania 29, matura 2016, poziom podstawowy

ksiązki Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Pamiętając, że suma kątów w trójkącie wynosi 180°, wprowadzamy oznaczenia: jeżeli kąt |∠ACB|=α, to |∠CBA|=180°-90°-α=90°-α. Spójrzmy na rysunek.


Z cechy podobieństwa kkk trójkatów wiemy, że dwa trójkąty są podobne, jeżeli dwa kąty w tych trójkątach mają równe miary. Mamy więc:

1) Trójkąt CED jest podobny do trójkąta ABC, bo |∠ACB|=|∠DCE|=α oraz |∠CAB|=|∠DEC|=90°.

2) Trójkąt GBF jest podobny do trójkąta ABC, bo |∠ABC|=|∠FBG|=90°-α oraz |∠CAB|=|∠DEC|=90°.

3) Trójkąt CED jest podobny do GBF z przechodniości relacji podobieństwa (skoro trójkąt t1 jest podobny do t3 i trójkąt t2 jest podobny do t3, to trójkąt t1 jest podobny do t2), co należało dowieść.


© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3255

Zadania podobne

kulkaZadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom podstawowy)
Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość
zadanie maturalne 16/2016

A. 8
B. 8,5
C. 9,5
D. 10


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 12, matura 2014
Jeżeli trójkąty ABC i A'B'C' są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm2 i 50 cm2, to skala podobieństwa A'B'/AB jest równa:

A. 2
B. 1/2
C. \sqrt{2}
D. \frac{\sqrt{2}}{2}

Pokaż rozwiązanie zadania



© Media Nauka 2008-2018 r.