Nauka » Matematyka » Podobieństwo i figury podobne

Zadanie maturalne nr 29, matura 2016 (poziom podstawowy)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że |∠DEC|=|∠BGF|=90° (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG.
Ilustracja do zadania 29, matura 2016, poziom podstawowy

Ilustracja do zadania 29, matura 2016, poziom podstawowy

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Pamiętając, że suma kątów w trójkącie wynosi 180°, wprowadzamy oznaczenia: jeżeli kąt |∠ACB|=α, to |∠CBA|=180°-90°-α=90°-α. Spójrzmy na rysunek.

Z cechy podobieństwa kkk trójkatów wiemy, że dwa trójkąty są podobne, jeżeli dwa kąty w tych trójkątach mają równe miary. Mamy więc:

1) Trójkąt CED jest podobny do trójkąta ABC, bo |∠ACB|=|∠DCE|=α oraz |∠CAB|=|∠DEC|=90°.

2) Trójkąt GBF jest podobny do trójkąta ABC, bo |∠ABC|=|∠FBG|=90°-α oraz |∠CAB|=|∠DEC|=90°.

3) Trójkąt CED jest podobny do GBF z przechodniości relacji podobieństwa (skoro trójkąt t₁ jest podobny do t₃ i trójkąt t₂ jest podobny do t₃, to trójkąt t₁ jest podobny do t₂), co należało dowieść.

Zadania podobne

Zadanie maturalne nr 16, matura 2016 (poziom podstawowy)
Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość
zadanie maturalne 16/2016

A. 8
B. 8,5
C. 9,5
D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 12, matura 2014
Jeżeli trójkąty ABC i A'B'C' są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm² i 50 cm², to skala podobieństwa A'B'/AB jest równa:

A. 2
B. 1/2
C. $\sqrt{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 16, matura 2017 (poziom podstawowy)
W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AB. Odcinek DE jest równoległy do boku AC, a ponadto |BD| =10 , |BC| =12 i |AC| = 24 (zobacz rysunek).
A. m = 22
B. m = 20
C. m = 12
D. m = 11
Długość odcinka DE jest równa

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2018

Dany jest trójkąt o bokach długości: 2√5, 3√5, 4√5. Trójkątem podobnym do tego trójkąta
jest trójkąt, którego boki mają długości

10, 15, 20
20, 45, 80
√2, √3, √4
√5, 2√5, 3√5

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2019

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów w punktach A i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz rysunek).

Rysunek

Wtedy

A. |OK|=6

B. |OK|=8

C. |OK|=10

D. |OK|=12

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.