Zadanie maturalne nr 29, matura 2016 (poziom podstawowy)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że |∠DEC|=|∠BGF|=90° (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Pamiętając, że suma kątów w trójkącie wynosi 180°, wprowadzamy oznaczenia: jeżeli kąt |∠ACB|=α, to |∠CBA|=180°-90°-α=90°-α. Spójrzmy na rysunek.

Z cechy podobieństwa kkk trójkatów wiemy, że dwa trójkąty są podobne, jeżeli dwa kąty w tych trójkątach mają równe miary. Mamy więc:

1) Trójkąt CED jest podobny do trójkąta ABC, bo |∠ACB|=|∠DCE|=α oraz |∠CAB|=|∠DEC|=90°.

2) Trójkąt GBF jest podobny do trójkąta ABC, bo |∠ABC|=|∠FBG|=90°-α oraz |∠CAB|=|∠DEC|=90°.

3) Trójkąt CED jest podobny do GBF z przechodniości relacji podobieństwa (skoro trójkąt t₁ jest podobny do t₃ i trójkąt t₂ jest podobny do t₃, to trójkąt t₁ jest podobny do t₂), co należało dowieść.

© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3255

Zadania podobne