Zadanie maturalne nr 29, matura 2016 (poziom podstawowy)

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Pamiętając, że suma kątów w trójkącie wynosi 180°, wprowadzamy oznaczenia: jeżeli kąt |∠ACB|=α, to |∠CBA|=180°-90°-α=90°-α. Spójrzmy na rysunek.

Z cechy podobieństwa kkk trójkatów wiemy, że dwa trójkąty są podobne, jeżeli dwa kąty w tych trójkątach mają równe miary. Mamy więc:
1) Trójkąt CED jest podobny do trójkąta ABC, bo |∠ACB|=|∠DCE|=α oraz |∠CAB|=|∠DEC|=90°.
2) Trójkąt GBF jest podobny do trójkąta ABC, bo |∠ABC|=|∠FBG|=90°-α oraz |∠CAB|=|∠DEC|=90°.
3) Trójkąt CED jest podobny do GBF z przechodniości relacji podobieństwa (skoro trójkąt t1 jest podobny do t3 i trójkąt t2 jest podobny do t3, to trójkąt t1 jest podobny do t2), co należało dowieść.
© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3255
Zadania podobne

Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość

A. 8
B. 8,5
C. 9,5
D. 10
Pokaż rozwiązanie zadania

Jeżeli trójkąty ABC i A'B'C' są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm2 i 50 cm2, to skala podobieństwa A'B'/AB jest równa:
A. 2
B. 1/2
C.

D.

Pokaż rozwiązanie zadania

W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AB. Odcinek DE jest równoległy do boku AC, a ponadto |BD| =10 , |BC| =12 i |AC| = 24 (zobacz rysunek).
A. m = 22
B. m = 20
C. m = 12
D. m = 11
Długość odcinka DE jest równa

Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest trójkąt o bokach długości: 2√5, 3√5, 4√5. Trójkątem podobnym do tego trójkąta
jest trójkąt, którego boki mają długości
- 10, 15, 20
- 20, 45, 80
- √2, √3, √4
- √5, 2√5, 3√5
Pokaż rozwiązanie zadania

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów w punktach A i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz rysunek).
Wtedy
A. |OK|=6
B. |OK|=8
C. |OK|=10
D. |OK|=12
Pokaż rozwiązanie zadania