Zadanie maturalne nr 9, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Dany jest prostokąt ABCD. Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD w punkcie N. Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku AD w punkcie M, a środek S tego okręgu leży na odcinku MN, jak na rysunku.
Wykaż, że |MN|=|AD|
Rozwiązanie zadania
Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia na rysunku:

Zauważamy na podstawie twierdzenia Pitagorasa, że:
Zauważamy także:
|SM|=|SE|=|SF|=|MA|=|NG| i |DE|=|BN|
Odcinek MN jest równoległy do odcinak AB, zatem kąty GBN i ENS są równe (na rysunku oznaczono je przez α). Trójkąty BGN i NES są prostokątne, więc kąty BNG i NSE również są równe. W związku z równością |SE|=|NG| trójkąty BGN i NES są przystające. Zatem |BN|=|NS|. Mamy więc:
|MN|=|MS|+|SN|=|MA|+|BN|=|MA|+|DE|=|MA|+|DM|=|AD|
Powyższe kończy dowód.
© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3279
Zadania podobne
Zadanie - przystawanie trójkątów
Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Wykaż, że wszystkie mniejsze trójkąty są przystające i są trójkątami równobocznymi.
Pokaż rozwiązanie zadania
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz
wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.
Drogi Internauto! Aby móc dostarczać coraz lepsze materiały i usługi potrzebujemy Twojej zgody na zapisywanie w pamięci Twojego urządzenia plików cookies oraz na dopasowanie treści marketingowych do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy utrzymywać nasze usługi.
Używamy cookies w celach funkcjonalnych oraz w celu tworzenia anonimowych statystyk. Ddbamy o Twoją prywatność.
Aby udzielić nam zgody na profilowanie i remarketing musisz mieć ukończone 16 lat. Brak zgody nie ograniczy w żaden sposób treści naszego serwisu. Udzieloną nam zgodę w każdej chwili możesz wycofać w Polityce prywatności lub przez wyczyszczenie historii przeglądarki.
Brak zgody oznacza wyłączenie profilowania, remarketingu i dostosowywania treści. Reklamy nadal będą się wyświetlać ale w sposób przypadkowy. Nadal będziemy używać zanonimizowanych danych do tworzenia statystyk serwisu. Dalsze korzystanie ze strony oznacza, że zgadzasz się na takie użycie danych.
Zapoznaj się z naszą Polityką Prywatności.
BRAK ZGODY ZGODA