Nauka » Matematyka » Figury przystające

Zadanie maturalne nr 9, matura 2016 (poziom rozszerzony)

Dany jest prostokąt ABCD. Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD w punkcie N. Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku AD w punkcie M, a środek S tego okręgu leży na odcinku MN, jak na rysunku.
Ilustracja do zadania 9 z oznaczeniami

Wykaż, że |MN|=|AD|

Rozwiązanie zadania

Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia na rysunku:

Ilustracja do zadania 9 z oznaczeniami

Zauważamy na podstawie twierdzenia Pitagorasa, że:

$|DM|=\sqrt{|DS|^2-|SM|^2}=\sqrt{|DS|^2-r^2}=\sqrt{|DS|^2-|DE|^2}=|DE|$

Zauważamy także:

|SM|=|SE|=|SF|=|MA|=|NG| i |DE|=|BN|

Odcinek MN jest równoległy do odcinak AB, zatem kąty GBN i ENS są równe (na rysunku oznaczono je przez α). Trójkąty BGN i NES są prostokątne, więc kąty BNG i NSE również są równe. W związku z równością |SE|=|NG| trójkąty BGN i NES są przystające. Zatem |BN|=|NS|. Mamy więc:

|MN|=|MS|+|SN|=|MA|+|BN|=|MA|+|DE|=|MA|+|DM|=|AD|

Powyższe kończy dowód.

Zadania podobne

Zadanie - przystawanie trójkątów
Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Wykaż, że wszystkie mniejsze trójkąty są przystające i są trójkątami równobocznymi.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.