logo

Zadanie maturalne nr 9, matura 2016 (poziom rozszerzony)


Dany jest prostokąt ABCD. Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD w punkcie N. Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku AD w punkcie M, a środek S tego okręgu leży na odcinku MN, jak na rysunku.
Ilustracja do zadania 9 z oznaczeniami
Wykaż, że |MN|=|AD|

ksiązki Rozwiązanie zadania

Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia na rysunku:

Ilustracja do zadania 9 z oznaczeniami

Zauważamy na podstawie twierdzenia Pitagorasa, że:

|DM|=\sqrt{|DS|^2-|SM|^2}=\sqrt{|DS|^2-r^2}=\sqrt{|DS|^2-|DE|^2}=|DE|

Zauważamy także:

|SM|=|SE|=|SF|=|MA|=|NG| i |DE|=|BN|

Odcinek MN jest równoległy do odcinak AB, zatem kąty GBN i ENS są równe (na rysunku oznaczono je przez α). Trójkąty BGN i NES są prostokątne, więc kąty BNG i NSE również są równe. W związku z równością |SE|=|NG| trójkąty BGN i NES są przystające. Zatem |BN|=|NS|. Mamy więc:

|MN|=|MS|+|SN|=|MA|+|BN|=|MA|+|DE|=|MA|+|DM|=|AD|

Powyższe kończy dowód.


© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3279

Zadania podobne

kulkaZadanie - przystawanie trójkątów
Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Wykaż, że wszystkie mniejsze trójkąty są przystające i są trójkątami równobocznymi.

Pokaż rozwiązanie zadania






Polecamy w naszym sklepie

Mapa świata Puzzle
Kolorowe skarpetki 3D
Kolorowe skarpetki urodzinowe
Kubek matematyka pi
Krótka historia wielkich umysłów
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2021 r.