Nauka » Matematyka » Trójkąt równoboczny • Figury przystające, przystawanie figur

Zadanie - przystawanie trójkątów

Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Wykaż, że wszystkie mniejsze trójkąty są przystające i są trójkątami równobocznymi.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządzamy szkic.

Wykażemy najpierw, że trójkąty oznaczone numerami 1,2,3 są przystające, czyli, że istnieje izometria, która przekształca jeden trójkąt w drugi. Skorzystamy z cechy bkb (bok-kąt-bok). Dwa trójkąty są przystające jeżeli dwa boki i kąt między nimi jednego trójkąta są odpowiednio przystające do dwóch boków i kąta zawartego między tymi bokami w drugim trójkącie. W trójkącie równobocznym wszystkie kąty wewnętrzne mają tę samą miarę 60°. Od razu widać, że niektóre boki mniejszych trójkątów mają długość równą połowie długości boku dużego trójkąta, bo to wynika z treści zadania (łączymy środki boków dużego trójkąta). Zatem:

$\overline{AM}\equiv \overline{CM}\\ \overline{AP}\equiv \overline{CN}\\ \angle{MAP}\equiv \angle{MCN}$

Cecha bkb jest spełniona dla trójkątów 1 i 2, zatem trójkąty 1 i 2 są przystające. Analogicznie:

$\overline{AM}\equiv \overline{BN}\\ \overline{AP}\equiv \overline{BP}\\ \angle{MAP}\equiv \angle{NBP}$

Cecha bkb jest spełniona dla trójkątów 2 i 3, zatem trójkąty 2 i 3 są przystające. Analogicznie trójkąty 1 i 3 są przystające.

Wykażemy teraz, że trójkąty te są równoboczne. Trójkąt 1 jest z pewnością równoramienny, gdyż dwa boki mają taką samą długość, równą połowie długości boku dużego trójkąta. W trójkącie równoramiennym kąty wewnętrzne przy podstawie są równe (oznaczmy ten kąt przez $\alpha$ ). Ponadto suma miar kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie jest równa 180^o. Zatem:

$60^o+\alpha+\alpha=180^0\\ 2\alpha=120^o/:2\\ \alpha=60^o$

Ponieważ wszystkie katy w tym trójkącie mają miarę 60^o, to trójkąt ten jest równoboczny. Ponieważ trójkąty 1,2,3 są przystające, wszystkie są także równoboczne.

Wykażemy teraz, że trójkąt 4 jest przystający do trójkąta 1. Skorzystamy z cechy kbk (kąt-bok-kąt): dwa trójkąty są przystające jeżeli bok i dwa kąty, leżące przy nim w jednym trójkącie są odpowiednio przystające do boku i kątów leżących przy tym boku w drugim trójkącie. Zauważamy, że bok trójkąta możemy potraktować jak kąt półprosty o mierze 180^o. Kąty wewnętrzne w trójkątach 1 i 2 mają miary 60^o, więc:

$60^o+\angle{PMN}+60^o=180^0\\ \angle{PMN}=60^o$

Podobnie:

$60^o+\angle{MNP}+60^o=180^0\\ \angle{MNP}=60^o$

Ponieważ bok MN jest wspólny dla obu trójkątów, spełniona jest cecha kbk dla trójkątów 1 i 2, są więc przystające.

Skoro dwa kąty wewnętrzne mają miarę 60^o, to ponieważ suma miar kątów w trójkącie jest równa 180^o, to trzeci kąt również ma miarę 60^o, zatem trójkąt 4 również jest trójkątem równobocznym.

Podobnie można wykazać, że trójkąt 4 jest przystający do pozostałych trójkątów.