Zadanie - przystawanie trójkątów
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
Sporządzamy szkic.

Wykażemy najpierw, że trójkąty oznaczone numerami 1,2,3 są przystające, czyli, że istnieje izometria, która przekształca jeden trójkąt w drugi. Skorzystamy z cechy bkb (bok-kąt-bok). Dwa trójkąty są przystające jeżeli dwa boki i kąt między nimi jednego trójkąta są odpowiednio przystające do dwóch boków i kąta zawartego między tymi bokami w drugim trójkącie. W trójkącie równobocznym wszystkie kąty wewnętrzne mają tę samą miarę 60°. Od razu widać, że niektóre boki mniejszych trójkątów mają długość równą połowie długości boku dużego trójkąta, bo to wynika z treści zadania (łączymy środki boków dużego trójkąta). Zatem:

Cecha bkb jest spełniona dla trójkątów 1 i 2, zatem trójkąty 1 i 2 są przystające. Analogicznie:

Cecha bkb jest spełniona dla trójkątów 2 i 3, zatem trójkąty 2 i 3 są przystające. Analogicznie trójkąty 1 i 3 są przystające.
Wykażemy teraz, że trójkąty te są równoboczne. Trójkąt 1 jest z pewnością równoramienny, gdyż dwa boki mają taką samą długość, równą połowie długości boku dużego trójkąta. W trójkącie równoramiennym kąty wewnętrzne przy podstawie są równe (oznaczmy ten kąt przez ). Ponadto suma miar kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie jest równa 180o. Zatem:

Ponieważ wszystkie katy w tym trójkącie mają miarę 60o, to trójkąt ten jest równoboczny. Ponieważ trójkąty 1,2,3 są przystające, wszystkie są także równoboczne.
Wykażemy teraz, że trójkąt 4 jest przystający do trójkąta 1. Skorzystamy z cechy kbk (kąt-bok-kąt): dwa trójkąty są przystające jeżeli bok i dwa kąty, leżące przy nim w jednym trójkącie są odpowiednio przystające do boku i kątów leżących przy tym boku w drugim trójkącie. Zauważamy, że bok trójkąta możemy potraktować jak kąt półprosty o mierze 180o. Kąty wewnętrzne w trójkątach 1 i 2 mają miary 60o, więc:

Podobnie:

Ponieważ bok MN jest wspólny dla obu trójkątów, spełniona jest cecha kbk dla trójkątów 1 i 2, są więc przystające.
Skoro dwa kąty wewnętrzne mają miarę 60o, to ponieważ suma miar kątów w trójkącie jest równa 180o, to trzeci kąt również ma miarę 60o, zatem trójkąt 4 również jest trójkątem równobocznym.
Podobnie można wykazać, że trójkąt 4 jest przystający do pozostałych trójkątów.
© medianauka.pl, 2011-02-10, ZAD-1142
Zadania podobne

Dany jest prostokąt ABCD. Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD w punkcie N. Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku AD w punkcie M, a środek S tego okręgu leży na odcinku MN, jak na rysunku.

Wykaż, że |MN|=|AD|
Pokaż rozwiązanie zadania