Zadanie - przystawanie trójkątów
Treść zadania:
Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Wykaż, że wszystkie mniejsze trójkąty są przystające i są trójkątami równobocznymi.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy szkic.
Wykażemy najpierw, że trójkąty oznaczone numerami 1,2,3 są przystające, czyli, że istnieje izometria, która przekształca jeden trójkąt w drugi. Skorzystamy z cechy bkb (bok-kąt-bok). Dwa trójkąty są przystające jeżeli dwa boki i kąt między nimi jednego trójkąta są odpowiednio przystające do dwóch boków i kąta zawartego między tymi bokami w drugim trójkącie. W trójkącie równobocznym wszystkie kąty wewnętrzne mają tę samą miarę 60°. Od razu widać, że niektóre boki mniejszych trójkątów mają długość równą połowie długości boku dużego trójkąta, bo to wynika z treści zadania (łączymy środki boków dużego trójkąta). Zatem:
\(\overline{AM}\equiv \overline{CM}\)
\(\overline{AP}\equiv \overline{CN}\)
\(\angle{MAP}\equiv \angle{MCN}\)
Cecha bkb jest spełniona dla trójkątów 1 i 2, zatem trójkąty 1 i 2 są przystające. Analogicznie:
\(\overline{AM}\equiv \overline{BN}\)
\(\overline{AP}\equiv \overline{BP}\)
\(\angle{MAP}\equiv \angle{NBP}\)
Cecha bkb jest spełniona dla trójkątów 2 i 3, zatem trójkąty 2 i 3 są przystające. Analogicznie trójkąty 1 i 3 są przystające.
Wykażemy teraz, że trójkąty te są równoboczne. Trójkąt 1 jest z pewnością równoramienny, gdyż dwa boki mają taką samą długość, równą połowie długości boku dużego trójkąta. W trójkącie równoramiennym kąty wewnętrzne przy podstawie są równe (oznaczmy ten kąt przez \(\alpha\). Ponadto suma miar kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie jest równa 180°. Zatem:
\(60°+\alpha+\alpha=180°\)
\(2\alpha=120°/:2\)
\(\alpha=60°\)
Ponieważ wszystkie katy w tym trójkącie mają miarę 60°, to trójkąt ten jest równoboczny. Ponieważ trójkąty 1,2,3 są przystające, wszystkie są także równoboczne.
Wykażemy teraz, że trójkąt 4 jest przystający do trójkąta 1. Skorzystamy z cechy kbk (kąt-bok-kąt): dwa trójkąty są przystające jeżeli bok i dwa kąty, leżące przy nim w jednym trójkącie są odpowiednio przystające do boku i kątów leżących przy tym boku w drugim trójkącie. Zauważamy, że bok trójkąta możemy potraktować jak kąt półprosty o mierze 180°. Kąty wewnętrzne w trójkątach 1 i 2 mają miary 60°, więc:
\(60°+\angle{PMN}+60°=180°\)
\(\angle{PMN}=60°\)
Podobnie:
\(60°+\angle{MNP}+60°=180°\)
\(\angle{MNP}=60°\)
Ponieważ bok \(MN\) jest wspólny dla obu trójkątów, spełniona jest cecha kbk dla trójkątów 1 i 2, są więc przystające.
Skoro dwa kąty wewnętrzne mają miarę 60°, to ponieważ suma miar kątów w trójkącie jest równa 180°, to trzeci kąt również ma miarę 60°, zatem trójkąt 4 również jest trójkątem równobocznym.
Podobnie można wykazać, że trójkąt 4 jest przystający do pozostałych trójkątów.
© medianauka.pl, 2011-02-10, ZAD-1142
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Na trójkącie równobocznym o boku \(a=1\) opisano okrąg. Oblicz obwód tego okręgu i pole koła wyznaczonego przez ten okrąg.
Zadanie nr 2.
W trójkąt równoboczny o boku długości \(a=1\) wpisano koło. Oblicz jego pole i obwód.
Zadanie nr 3.
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty \(A=(1,1), B=(5,1), C=(3,2\sqrt{3}+1)\).
Zadanie nr 4.
Dane są punkty \(A=(1,1), B=(4,-2)\). Znajdź punkt \(C\), który jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego \(ABC\).
Zadanie nr 5.
Dany jest trójkąt równoboczny o boku \(a\). Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Oblicz wysokość mniejszego trójkąta leżącego w środku danego trójkąta.
Zadanie nr 6.
W trójkąt równoboczny o boku długości 2 wpisano kwadrat o polu 1. Oblicz wysokość trójkąta równoramiennego, wyznaczonego przez ten kwadrat.
Zadanie nr 7 — maturalne.
Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe \(\frac{4\sqrt{3}}{9}\). Obwód tego trójkąta jest równy
A. 4
B. 2
C. \(\frac{4}{3}\)
D. 2/3
Zadanie nr 8 — maturalne.
Wysokość trójkąta równobocznego jest równa \(6\sqrt{3}\). Pole tego trójkąta jest równe
A. \(3\sqrt{3}\)
B. \(4\sqrt{3}\)
C. \(27\sqrt{3}\)
D. \(36\sqrt{3}\)