Logo Media Nauka

Facebook

Pole trójkąta

Teoria Istnieje co najmniej kilka wzorów na pole trójkąta. Ich stosowanie zależy od danych jakie posiadamy i czasem od rodzaju trójkąta z jakim mamy do czynienia.

Poniżej przedstawiony został podstawowy wzór na pole trójkąta:

trójkąt

Twierdzenie Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

P=\frac{1}{2}ah

gdzie h jest wysokością trójkąta, natomiast a jest długością podstawy trójkąta, na którą została opuszczona wysokość.

Przykład Przykład

trójkąt

Obliczyć pole trójkąta przedstawionego na rysunku.

Rozwiązanie: Dana jest wysokość h, opuszczona na bok trójkąta o długości 4. Stosujemy więc wzór na pole trójkąta:

P=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot h=2h

Inne wzory na pole trójkąta

Twierdzenie Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

P=\frac{1}{2}ab\sin{\gamma}

gdzie a, b są długościami boków trójkąta, a \gamma jest kątem między tymi bokami.

Przykład Przykład

trójkąt

Jakie pole ma trójkąt przedstawiony na rysunku.

Rozwiązanie: Mamy dane dwie długości boków i kąt między nimi. Możemy więc zastosować powyższy wzór. Sinus kąta 60° jest równy \frac{\sqrt{3}}{2}. Mamy więc:

P=\frac{1}{2}ab\sin{\gamma}=\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin{60^o}=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}

Wzór Herona

Teoria Gdy dane są długości trzech boków trójkąta wzór na pole powierzchni trójkąta przyjmuje następującą postać:

Twierdzenie Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \ p=\frac{a+b+c}{2}

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta.

Pole trójkąta wpisanego i opisanego na okręgu

trójkąt

Twierdzenie Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

P=\frac{abc}{4R}

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta, R - długością promienia okręgu opisanego na trójkącie.

Twierdzenie Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

P=pr=\frac{a+b+c}{2}\cdot r

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta, r - długością promienia okręgu wpisanego w trójkąt.

Pole trójkąta wyznaczonego przez dwa wektory

wektory

Twierdzenie Twierdzenie

Pole trójkąta wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory zaczepione we wspólnym początku jest równe połowie modułu wyznacznika tych wektorów.

W=\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x\\ P=\frac{1}{2}|W|

Przykład Przykład

Wyznaczyć pole trójkąta wyznaczonego przez wektory [-1,1] i [4,3].

Korzystamy z powyższego twierdzenia i obliczamy wyznacznik wektorów:

W=\begin{vmatrix} -1&1\\4&3 \end{vmatrix}=(-1)\cdot 3-1\cdot 4=-3-4=-7\\ P=\frac{1}{2}\cdot |-7|=3\frac{1}{2}

Pole trójkąta, gdy dane są współrzędne wierzchołków

Twierdzenie Twierdzenie

Pole trójkąta o wierzchołkach:

P_1(x_1,y_1), \ P_2(x_2,y_2), \ P_3(x_3,y_3),

wyraża się wzorem:

P=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1 \end{vmatrix}

Pole trójkąta równobocznego

Możemy wyrazić pole powierzchni trójkąta równobocznego tylko w zależności od długości jego boku.

P=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}a\cdot \frac{1}{2}a\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}

Zatem pole powierzchni trójkąta równobocznego wyraża się wzorem:

P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}

Obwód trójkąta

Twierdzenie Twierdzenie

Obwód trójkąta wyraża się wzorem:

L=a+b+c

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta.

Pytania

Jak obliczyć pole trójkąta prostokątnego?

W przypadku trójkąta prostokątnego jego wysokość jest jednocześnie jego przyprostokątną. Zatem pole powierzchni trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i b jego pole obliczymy ze wzoru P=½ab.


© medianauka.pl, 2010-12-18, ART-1056


Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Pole i obwód trójkąta

zadanie-ikonka Zadanie - długość odcinka i pole trójkąta
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - pole trójkąta
Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości h=2 cm

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - pole trójkąta
Środki trójkąta równobocznego o boku długości 2 połączono ze sobą tak, że powstał mniejszy trójkąt wewnątrz większego. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - pole powierzchni i twierdzenie Pitagorasa
Ceny poszczególnych działek są następujące:
A: 60 000 PLN
B: 50 000 PLN
C: 50 000 PLN
D: 100 000 PLN
Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?
Twierdzenie Pitagorasa - zadanie

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - pole trójkąta
Dany jest trójkąt o bokach długości 2, 3 i 4. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - pole trójkąta
Wektory \vec{a}=[1,2], \ \vec{b}=[-3,4] wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - pole trójkąta
Dany jest wektor \vec{AB}=[2,5] zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - Pole trójkąta
Dany jest trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 i kącie wewnętrznym między tymi ramionami \alpha=30^o. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - pole trójkąta, okrąg opisany na trójkącie
Na trójkącie o polu równym 6 i o bokach o długości 2,3 i 4 opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - pole trójkąta
Dany jest trójkąt A, B, C o wierzchołkach A=(-1,1), B=(2,1), C=(-2,-1). Oblicz jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - pole trójkąta
Z kwadratu o boku a wycięto trójkąt tak, że jeden z jego wierzchołków stanowi środek boku kwadratu, a jeden z boków tego trójkąta stanowi bok kwadratu. Czy pole ścinków jest większe od pola trójkąta?

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - pole trójkąta
W trójkąt równoramienny o polu \sqrt{15} wpisano okrąg o promieniu r=\frac{\sqrt{15}}{5}. Na tym samy trójkącie opisano okrąg o promieniu R=\frac{8\sqrt{15}}{15}. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 19, matura 2016 (poziom podstawowy)
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
wzór
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe: A. 14
B. 2\sqrt{33}
C. 4\sqrt{33}
D. 12

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 34, matura 2014
Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 30°. Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.
rysunek do zadania 34, matura 2014

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie maturalne nr 17, matura 2017 (poziom podstawowy)
Obwód trójkąta ABC, przedstawionego na rysunku, jest równy
A. (3+ \frac{\sqrt{3}}{2})
B. (2+ \frac{\sqrt{2}}{2})
C. (3+ \sqrt{3})
D. (2+ \sqrt{2})

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

TrójkątTrójkąt
Trójkąt jest to wielokąt o trzech bokach. Rodzaje trójkątów, konstrukcja trójkąta.
Trójkąt prostokątnyTrójkąt prostokątny
Trójkąt prostokątny jest to trójkąt, w którym jeden z kątów jest kątem prostym.
Trójkąt równobocznyTrójkąt równoboczny
Definicja trójkąta równobocznego, wysokość trójkąta równobocznego oraz promienie okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym.
Twierdzenie PitagorasaTwierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych a^2+b^2=c^2.
Twierdzenia o trójkącieTwierdzenia o trójkącie
Podstawowe twierdzenia o trójkącie poza twierdzeniem Pitagorasa, które zostało omówione w oddzielnym artykule.
Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensówTwierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów
Omówienie twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów wraz z przykładami ich zastosowania w rozwiązywaniu trójkątów
TestTest wiedzy
Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.


Powiązane quizy

Quiz
Pole trójkąta
Szkoła podstawowa
Klasa 5
Liczba pytań: 10
Quiz
Pole jako wyrażenie
Szkoła podstawowa
Klasa 8
Liczba pytań: 15

Powiązane karty pracy do druku

ikona - karta pracy

Pole trójkąta

karta080.pdf
Szkoła podstawowa
Klasa 5







Polecamy w naszym sklepie

laboratorium w szufladzie Matematyka
Kolorowe skarpetki 3D
Rodzinna matematyka
kolorowe skarpetki matematyka
Kalkulatory maukowe
Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© ® Media Nauka 2008-2020 r.