Pole trójkąta
Istnieje co najmniej kilka wzorów na pole trójkąta. Ich stosowanie zależy od danych jakie posiadamy i czasem od rodzaju trójkąta z jakim mamy do czynienia.
Poniżej przedstawiony został podstawowy wzór na pole trójkąta:

Twierdzenie
Pole trójkąta wyraża się wzorem:

gdzie h jest wysokością trójkąta, natomiast a jest długością podstawy trójkąta, na którą została opuszczona wysokość.
Przykład

Obliczyć pole trójkąta przedstawionego na rysunku.
Rozwiązanie: Dana jest wysokość h, opuszczona na bok trójkąta o długości 4. Stosujemy więc wzór na pole trójkąta:
Inne wzory na pole trójkąta
Twierdzenie
Pole trójkąta wyraża się wzorem:

gdzie a, b są długościami boków trójkąta, a jest kątem między tymi bokami.
Przykład

Jakie pole ma trójkąt przedstawiony na rysunku.
Rozwiązanie: Mamy dane dwie długości boków i kąt między nimi. Możemy więc zastosować powyższy wzór. Sinus kąta 60° jest równy . Mamy więc:
Wzór Herona
Gdy dane są długości trzech boków trójkąta wzór na pole powierzchni trójkąta przyjmuje następującą postać:
Twierdzenie
Pole trójkąta wyraża się wzorem:

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta.
Pole trójkąta wpisanego i opisanego na okręgu

Twierdzenie
Pole trójkąta wyraża się wzorem:

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta, R - długością promienia okręgu opisanego na trójkącie.
Twierdzenie
Pole trójkąta wyraża się wzorem:

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta, r - długością promienia okręgu wpisanego w trójkąt.
Pole trójkąta wyznaczonego przez dwa wektory

Twierdzenie
Pole trójkąta wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory zaczepione we wspólnym początku jest równe połowie modułu wyznacznika tych wektorów.

Przykład
Wyznaczyć pole trójkąta wyznaczonego przez wektory [-1,1] i [4,3].
Korzystamy z powyższego twierdzenia i obliczamy wyznacznik wektorów:
Pole trójkąta, gdy dane są współrzędne wierzchołków
Twierdzenie
Pole trójkąta o wierzchołkach:
,
wyraża się wzorem:

Pole trójkąta równobocznego
Możemy wyrazić pole powierzchni trójkąta równobocznego tylko w zależności od długości jego boku.
Zatem pole powierzchni trójkąta równobocznego wyraża się wzorem:

Obwód trójkąta
Twierdzenie
Obwód trójkąta wyraża się wzorem:

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta.
Pytania
Jak obliczyć pole trójkąta prostokątnego?
W przypadku trójkąta prostokątnego jego wysokość jest jednocześnie jego przyprostokątną. Zatem pole powierzchni trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i b jego pole obliczymy ze wzoru P=½ab.
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Pole i obwód trójkąta
Zadanie - długość odcinka i pole trójkąta
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)
Zadanie - pole trójkąta
Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości h=2 cm
Zadanie - pole trójkąta
Środki trójkąta równobocznego o boku długości 2 połączono ze sobą tak, że powstał mniejszy trójkąt wewnątrz większego. Obliczyć jego pole.
Zadanie - pole powierzchni i twierdzenie Pitagorasa
Ceny poszczególnych działek są następujące:
A: 60 000 PLN
B: 50 000 PLN
C: 50 000 PLN
D: 100 000 PLN
Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?
Zadanie - pole trójkąta
Dany jest trójkąt o bokach długości 2, 3 i 4. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.
Zadanie - pole trójkąta
Wektory wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.
Zadanie - pole trójkąta
Dany jest wektor zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.
Zadanie - Pole trójkąta
Dany jest trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 i kącie wewnętrznym między tymi ramionami . Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.
Zadanie - pole trójkąta, okrąg opisany na trójkącie
Na trójkącie o polu równym 6 i o bokach o długości 2,3 i 4 opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.
Zadanie - pole trójkąta
Dany jest trójkąt A, B, C o wierzchołkach A=(-1,1), B=(2,1), C=(-2,-1). Oblicz jego pole.
Zadanie - pole trójkąta
Z kwadratu o boku a wycięto trójkąt tak, że jeden z jego wierzchołków stanowi środek boku kwadratu, a jeden z boków tego trójkąta stanowi bok kwadratu. Czy pole ścinków jest większe od pola trójkąta?
Zadanie - pole trójkąta
W trójkąt równoramienny o polu wpisano okrąg o promieniu
. Na tym samy trójkącie opisano okrąg o promieniu
. Oblicz długości boków tego trójkąta.
Zadanie maturalne nr 19, matura 2016 (poziom podstawowy)
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe:
A. 14
B.
C.
D. 12
Zadanie maturalne nr 34, matura 2014
Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 30°. Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.
Zadanie maturalne nr 17, matura 2017 (poziom podstawowy)
Obwód trójkąta ABC, przedstawionego na rysunku, jest równy
A.
B.
C.
D.
Inne zagadnienia z tej lekcji
Trójkąt równoboczny

Definicja trójkąta równobocznego, wysokość trójkąta równobocznego oraz promienie okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym.
Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych a^2+b^2=c^2.
Twierdzenia o trójkącie

Podstawowe twierdzenia o trójkącie poza twierdzeniem Pitagorasa, które zostało omówione w oddzielnym artykule.
Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów

Omówienie twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów wraz z przykładami ich zastosowania w rozwiązywaniu trójkątów
Powiązane quizy
© medianauka.pl, 2010-12-18, ART-1056