Pole trójkąta

Istnieje co najmniej kilka wzorów na pole trójkąta. Ich stosowanie zależy od danych jakie posiadamy i czasem od rodzaju trójkąta z jakim mamy do czynienia.

Poniżej przedstawiony został podstawowy wzór na pole trójkąta:

Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

$P=\frac{1}{2}ah$

gdzie h jest wysokością trójkąta, natomiast a jest długością podstawy trójkąta, na którą została opuszczona wysokość.

Przykład

Obliczyć pole trójkąta przedstawionego na rysunku.

Rozwiązanie: Dana jest wysokość h, opuszczona na bok trójkąta o długości 4. Stosujemy więc wzór na pole trójkąta:

$P=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot h=2h$

Inne wzory na pole trójkąta

Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

$P=\frac{1}{2}ab\sin{\gamma}$

gdzie a, b są długościami boków trójkąta, a $\gamma$ jest kątem między tymi bokami.

Przykład

Jakie pole ma trójkąt przedstawiony na rysunku.

Rozwiązanie: Mamy dane dwie długości boków i kąt między nimi. Możemy więc zastosować powyższy wzór. Sinus kąta 60° jest równy $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Mamy więc:

$P=\frac{1}{2}ab\sin{\gamma}=\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin{60^o}=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$

Wzór Herona

Gdy dane są długości trzech boków trójkąta wzór na pole powierzchni trójkąta przyjmuje następującą postać:

Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

$P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \ p=\frac{a+b+c}{2}$

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta.

Pole trójkąta wpisanego i opisanego na okręgu

Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

$P=\frac{abc}{4R}$

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta, R - długością promienia okręgu opisanego na trójkącie.

Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

$P=pr=\frac{a+b+c}{2}\cdot r$

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta, r - długością promienia okręgu wpisanego w trójkąt.

Pole trójkąta wyznaczonego przez dwa wektory

Twierdzenie

Pole trójkąta wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory zaczepione we wspólnym początku jest równe połowie modułu wyznacznika tych wektorów.

$W=\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x\\ P=\frac{1}{2}|W|$

Przykład

Wyznaczyć pole trójkąta wyznaczonego przez wektory [-1,1] i [4,3].

Korzystamy z powyższego twierdzenia i obliczamy wyznacznik wektorów:

$W=\begin{vmatrix} -1&1\\4&3 \end{vmatrix}=(-1)\cdot 3-1\cdot 4=-3-4=-7\\ P=\frac{1}{2}\cdot |-7|=3\frac{1}{2}$

Pole trójkąta, gdy dane są współrzędne wierzchołków

Twierdzenie

Pole trójkąta o wierzchołkach:

$P_1(x_1,y_1), \ P_2(x_2,y_2), \ P_3(x_3,y_3)$ ,

wyraża się wzorem:

$P=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1 \end{vmatrix}$

Pole trójkąta równobocznego

Możemy wyrazić pole powierzchni trójkąta równobocznego tylko w zależności od długości jego boku.

$P=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}a\cdot \frac{1}{2}a\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Zatem pole powierzchni trójkąta równobocznego wyraża się wzorem:

$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Obwód trójkąta

Twierdzenie

Obwód trójkąta wyraża się wzorem:

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta.

Pytania

Jak obliczyć pole trójkąta prostokątnego?

W przypadku trójkąta prostokątnego jego wysokość jest jednocześnie jego przyprostokątną. Zatem pole powierzchni trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i b jego pole obliczymy ze wzoru P=½ab.

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Pole i obwód trójkąta

Zadanie - długość odcinka i pole trójkąta
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości h=2 cm

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Środki trójkąta równobocznego o boku długości 2 połączono ze sobą tak, że powstał mniejszy trójkąt wewnątrz większego. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole powierzchni i twierdzenie Pitagorasa
Ceny poszczególnych działek są następujące:
A: 60 000 PLN
B: 50 000 PLN
C: 50 000 PLN
D: 100 000 PLN
Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?
Twierdzenie Pitagorasa - zadanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Dany jest trójkąt o bokach długości 2, 3 i 4. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Wektory $\vec{a}=[1,2], \ \vec{b}=[-3,4]$ wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Dany jest wektor $\vec{AB}=[2,5]$ zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - Pole trójkąta
Dany jest trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 i kącie wewnętrznym między tymi ramionami $\alpha=30^o$ . Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta, okrąg opisany na trójkącie
Na trójkącie o polu równym 6 i o bokach o długości 2,3 i 4 opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Dany jest trójkąt A, B, C o wierzchołkach A=(-1,1), B=(2,1), C=(-2,-1). Oblicz jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Z kwadratu o boku a wycięto trójkąt tak, że jeden z jego wierzchołków stanowi środek boku kwadratu, a jeden z boków tego trójkąta stanowi bok kwadratu. Czy pole ścinków jest większe od pola trójkąta?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
W trójkąt równoramienny o polu $\sqrt{15}$ wpisano okrąg o promieniu $r=\frac{\sqrt{15}}{5}$ . Na tym samy trójkącie opisano okrąg o promieniu $R=\frac{8\sqrt{15}}{15}$ . Oblicz długości boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 19, matura 2016 (poziom podstawowy)
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
wzór
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe: A. 14
B. $2\sqrt{33}$
C. $4\sqrt{33}$
D. 12

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 34, matura 2014
Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 30°. Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.
rysunek do zadania 34, matura 2014

Pokaż rozwiązanie zadania

Inne zagadnienia z tej lekcji

Trójkąt
Trójkąt jest to wielokąt o trzech bokach. Rodzaje trójkątów, konstrukcja trójkąta.

Trójkąt prostokątny
Trójkąt prostokątny jest to trójkąt, w którym jeden z kątów jest kątem prostym.

Trójkąt równoboczny
Definicja trójkąta równobocznego, wysokość trójkąta równobocznego oraz promienie okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym.

Twierdzenie Pitagorasa
W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów przyprostokątnych a^2+b^2=c^2.

Twierdzenia o trójkącie
Podstawowe twierdzenia o trójkącie poza twierdzeniem Pitagorasa, które zostało omówione w oddzielnym artykule.

Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów
Omówienie twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów wraz z przykładami ich zastosowania w rozwiązywaniu trójkątów

Test wiedzy