Pole i obwód trójkąta

Istnieje co najmniej kilka wzorów na pole trójkąta. Ich stosowanie zależy od danych jakie posiadamy i czasem od rodzaju trójkąta z jakim mamy do czynienia.

Pole trójkąta

Poniżej przedstawiony został podstawowy wzór na pole trójkąta:

trójkąt

Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

$P=\frac{1}{2}ah$

gdzie h jest wysokością trójkąta, natomiast a jest długością podstawy trójkąta, na którą została opuszczona wysokość.

Przykład

trójkąt

Obliczyć pole trójkąta przedstawionego na rysunku.

Rozwiązanie: Dana jest wysokośćh, opuszczona na bok trójkąta o długości 4. Stosujemy więc wzór na pole trójkąta:

$P=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot h=2h$

Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

$P=\frac{1}{2}ab\sin{\gamma}$

gdzie a, b są długościami boków trójkąta, a $\gamma$ jest kątem między tymi bokami.

Przykład

trójkąt

Obliczyć pole trójkąta przedstawionego na rysunku.

Rozwiązanie: Mamy dane dwie długości boków i kąt między nimi. Możemy więc zastosować powyższy wzór. Sinus kąta 60° jest równy $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Mamy więc:

$P=\frac{1}{2}ab\sin{\gamma}=\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin{60^o}=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$

Wzór Herona

Gdy dane są długości trzech boków trójkąta wzór na pole trójkąta przyjmuje następującą postać:

Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

$P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \ p=\frac{a+b+c}{2}$

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta.

Pole trójkąta wyrażone poprzez promienie
okręgu opisanego i wpisanego w trójkąt

trójkąt

Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

$P=\frac{abc}{4R}$

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta, R - długością promienia okręgu opisanego na trójkącie.

Twierdzenie

Pole trójkąta wyraża się wzorem:

$P=pr=\frac{a+b+c}{2}\cdot r$

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta, r - długością promienia okręgu wpisanego w trójkąt.

Pole trójkąta wyznaczonego przez dwa wektory

wektory

Twierdzenie

Pole trójkąta wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory zaczepione we wspólnym początku jest równe połowie modułu wyznacznika tych wektorów.

$W=\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x\\ P=\frac{1}{2}|W|$

Przykład

Wyznaczyć pole trójkąta wyznaczonego przez wektory [-1,1] i [4,3].

Korzystamy z powyższego twierdzenia i obliczamy wyznacznik wektorów:

$W=\begin{vmatrix} -1&1\\4&3 \end{vmatrix}=(-1)\cdot 3-1\cdot 4=-3-4=-7\\ P=|-7|=7$

Pole trójkąta, gdy dane są współrzędne wierzchołków

Twierdzenie

Pole trójkąta o wierzchołkach:

$P_1(x_1,y_1), \ P_2(x_2,y_2), \ P_3(x_3,y_3)$ ,

wyraża się wzorem:

$P=\begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1 \end{vmatrix}$

Obwód trójkąta

Twierdzenie

Obwód trójkąta wyraża się wzorem:

gdzie a, b, c są długościami boków trójkąta.

© medianauka.pl, 2010-12-18, ART-1056

Inne zagadnienia z tej lekcji

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenia o trójkącie

Twierdzenia o trójkącie

Pole i obwód trójkąta

Pole i obwód trójkąta

Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów

Twierdzenie sinusów, cosinusów i tangensów

Zadania z rozwiązaniami

spis treści

Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.

Zadanie - długość odcinka i pole trójkąta
Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty A=(1,2), B=(1,3), C=(4,1)

Zadanie maturalne nr 19, matura 2016 (poziom podstawowy)
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).
wzór
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe: A. 14
B. $2\sqrt{33}$
C. $4\sqrt{33}$
D. 12

Zadanie - pole trójkąta
W trójkąt równoramienny o polu $\sqrt{15}$ wpisano okrąg o promieniu $r=\frac{\sqrt{15}}{5}$ . Na tym samy trójkącie opisano okrąg o promieniu $R=\frac{8\sqrt{15}}{15}$ . Oblicz długości boków tego trójkąta.

Zadanie - pole trójkąta
Z kwadratu o boku a wycięto trójkąt tak, że jeden z jego wierzchołków stanowi środek boku kwadratu, a jeden z boków tego trójkąta stanowi bok kwadratu. Czy pole ścinków jest większe od pola trójkąta?

Zadanie - pole trójkąta
Dany jest trójkąt A, B, C o wierzchołkach A=(-1,1), B=(2,1), C=(-2,-1). Oblicz jego pole.

Zadanie - pole trójkąta, okrąg opisany na trójkącie
Na trójkącie o polu równym 6 i o bokach o długości 2,3 i 4 opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.

Zadanie - Pole trójkąta
Dany jest trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 i kącie wewnętrznym między tymi ramionami $\alpha=30^o$ . Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Zadanie - pole trójkąta
Dany jest wektor $\vec{AB}=[2,5]$ zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

Zadanie - pole trójkąta
Wektory $\vec{a}=[1,2], \ \vec{b}=[-3,4]$ wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.

Zadanie - pole trójkąta
Dany jest trójkąt o bokach długości 2, 3 i 4. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Zadanie - pole powierzchni i twierdzenie Pitagorasa
Ceny poszczególnych działek są następujące:
A: 60 000 PLN
B: 50 000 PLN
C: 50 000 PLN
D: 100 000 PLN
Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?
Twierdzenie Pitagorasa - zadanie

Zadanie - pole trójkąta
Środki trójkąta równobocznego o boku długości 2 połączono ze sobą tak, że powstał mniejszy trójkąt wewnątrz większego. Obliczyć jego pole.

Zadanie - pole trójkąta
Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości h=2 cm

Zadanie maturalne nr 34, matura 2014
Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 30°. Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB.
rysunek do zadania 34, matura 2014

Polecamy

Drzewa i krzewy iglaste

Drzewa i krzewy iglaste
Lucjan Kurowski

Świnka morska

Świnka morska
Marcin Jan Gorazdowski

Gołębie. Poradnik dobrego hodowcy

Gołębie. Poradnik dobrego hodowcy
Heinrich Mackrott

Elementy mechaniki kwantowej dla filozofów

Elementy mechaniki kwantowej dla filozofów
Michał Heller

© Media Nauka 2008-2017 r.