Mnożenie wektora przez liczbę

Definicja

Iloczyn wektora $\vec{a}$ przez liczbę k oznaczamy $k\vec{a}$ i nazywamy:

wektor zerowy $\vec{0}$ w przypadku, gdy k=0 lub $\vec{a}=\vec{0}$ ,
wektor o długości ka, który ma kierunek i zwrot wektora $\vec{a}$ , w przypadku, gdy $k>0,\quad{}\vec{a}\neq{}\vec{0}$ .
wektor o długości $|k|\cdot{a}$ , który ma kierunek wektora $\vec{a}$ i zwrot przeciwny do wektora $\vec{a}$ , w przypadku, gdy $k<0,\quad{}\vec{a}\neq{}\vec{0}$ .

Twierdzenie

Jeżeli $\vec{a}=[a_x,a_y],\ \vec{b}=[b_x,b_y], \ k\in R$ , to:

$k\vec{a}=[ka_x,ka_y]$

Przykład

Dane są wektory: $\vec{a}=[3,4], \ \vec{b}=[1,2]$ .

Obliczamy iloczyn wektora przez liczbę k=2:
$2\vec{a}=2\cdot [3,4]=[2\cdot 3,2\cdot 4]=[6,8]$

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Mnożenie wektora przez liczbę

Zadanie - mnożenie wektora przez skalar
Znaleźć współrzędne wektorów $-5\vec{a}, \ 3\vec{b}$ , jeżeli $\vec{a}=[-3,4], \ \vec{b}=5\vec{i}-3\vec{j}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - mnożenie wektora przez skalar
Dane są wektory $\vec{a}=[3,-4], \ \vec{b}=[-15,20]$ , wiadomo tez, że $\vec{a}=k\vec{b}$ . Znaleźć liczbę k.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - mnożenie wektora przez skalar
Dany jest wektor $\vec{a}=[3,4]$ . Przez jaką liczbę należy go pomnożyć, aby jego długość była równa 1?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - dodawanie wektorów metodą równoległoboku
Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Znaleźć graficznie metodą równoległoboku wektor:
a) $\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{AC}$
b) $\vec{CA}+\vec{BC}$