Długość wektora

Jak obliczyć długość wektora? Podamy dwa wzory, w przypadku gdy dane są współrzędne tego wektora (składowe wektora), a także w przypadku gdy mamy dane współrzędne początku i końca wektora.

Długość wektora \(\vec{a}\) (moduł wektora) będziemy oznaczać przez \(|\vec{a}|\) lub \(a\).

Aby obliczyć długość dowolnego wektora \(\vec{a}\), będziemy korzystać ze wzoru:

\(|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\)

gdzie \(a_x\) i \(a_y\) oznaczają miary składowych wektora \(\vec{a}\).

Zastosujmy powyższy wzór na długość wektora w zadaniu:

Przykład

Oto jak liczymy długość wektora \(\vec{a}=[4,-3]\):

\(|\vec{a}|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\)

Gdy dane są jedynie współrzędne początku \(A=(x_A,y_A)\) i końca wektora \(B=(x_B,y_B)\), to moduł wektora \(\vec{AB}\) obliczymy ze wzoru:

\(|\vec{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

Powyższy wzór wynika z własności współrzędnych wektora. Zauważ, że długość wektora obliczamy identycznie jak długość odcinka.

Przykład

Dany jest punkt \(A=(1,2)\) i \(B=(-2,3)\). Jaką długość ma wektor \(\vec{AB}\)?

Korzystamy z powyższego wzoru:

\(|\vec{AB}|=\sqrt{(-2-1)^2+(3-2)^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\)

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Rozwiązanie zadania: Oblicz długość wektora:

a) \(\vec{a}=[-3,4]\)

b) \(\vec{b}=5\vec{i}-2\vec{j}\)

c) \(\vec{c}=-\vec{j}\)

d) \(\vec{0}\)

e) \(\vec{AB}, A=(2,3), B=(-2,-3)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dany jest punkt \(A=(-1,1)\). Znaleźć punkt \(B\), jeżeli wiadomo, że \(|\vec{AB}|=4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obliczyć długość wektora \(\vec{a}=[1,1,1]\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Dany jest wektor \(\vec{a}=[3,4]\). Przez jaką liczbę należy go pomnożyć, aby jego długość była równa 1?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Powiązane materiały

Wektor

Współrzędne wektora

Iloczyn skalarny

Mnożenie wektora przez liczbę

Iloczyn wektorowy

Reguła śruby prawoskrętnej

Pojęcie wektora

Ćwiczenia

Długość wektora