Długość wektora

Jak obliczyć długość wektora? Podamy dwa wzory, w przypadku gdy dane są współrzędne tego wektora (składowe wektora), a także w przypadku gdy mamy dane współrzędne początku i końca wektora.

Długość wektora $\vec{a}$ (moduł wektora) będziemy oznaczać przez $|\vec{a}|$ lub a.

Aby obliczyć długość dowolnego wektora $\vec{a}$ będziemy korzystać ze wzoru:

$|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$

gdzie a_x i a_y oznaczają miary składowych wektora $\vec{a}$ .

Zastosujmy powyższy wzór na długość wektora w zadaniu:

Przykład

Oto jak liczymy długość wektora $\vec{a}=[4,-3]$ :
$|\vec{a}|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

Gdy dane są jedynie współrzędne początku i końca wektora , to moduł wektora $\vec{AB}$ obliczymy ze wzoru:

$|\vec{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Powyższy wzór wynika z własności współrzędnych wektora. Zauważ, że długość wektora obliczamy identycznie jak długość odcinka.

Przykład

Dany jest punkt A=(1,2) i B=(-2,3). Jaką długość ma wektor $\vec{AB}$ ?

Korzystamy z powyższego wzoru:

$|\vec{AB}|=\sqrt{(-2-1)^2+(3-2)^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Oblicz długość wektora:
$a) \ \vec{a}=[-3,4]\\ b) \ \vec{b}=5\vec{i}-2\vec{j}\\ c) \ \vec{c}=-\vec{j}\\ d)\ \vec{0}\\ e)\ \vec{AB}, \ A=(2,3), \ B=(-2,-3)$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.