Długość wektora

Jak obliczyć długość wektora? Podamy dwa wzory, w przypadku gdy dane są współrzędne tego wektora (składowe wektora), a także w przypadku gdy mamy dane współrzędne początku i końca wektora.

Długość wektora \(\vec{a}\) (moduł wektora) będziemy oznaczać przez \(|\vec{a}|\) lub \(a\).

Aby obliczyć długość dowolnego wektora \(\vec{a}\), będziemy korzystać ze wzoru:

\(|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\)

gdzie \(a_x\) i \(a_y\) oznaczają miary składowych wektora \(\vec{a}\).

Zastosujmy powyższy wzór na długość wektora w zadaniu:

Przykład

Oto jak liczymy długość wektora \(\vec{a}=[4,-3]\):

\(|\vec{a}|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\)

Gdy dane są jedynie współrzędne początku \(A=(x_A,y_A)\) i końca wektora \(B=(x_B,y_B)\), to moduł wektora \(\vec{AB}\) obliczymy ze wzoru:

\(|\vec{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

Powyższy wzór wynika z własności współrzędnych wektora. Zauważ, że długość wektora obliczamy identycznie jak długość odcinka.

Przykład

Dany jest punkt \(A=(1,2)\) i \(B=(-2,3)\). Jaką długość ma wektor \(\vec{AB}\)?

Korzystamy z powyższego wzoru:

\(|\vec{AB}|=\sqrt{(-2-1)^2+(3-2)^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\)

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.