Długość wektora
Jak obliczyć długość wektora? Podamy dwa wzory, w przypadku gdy dane są współrzędne tego wektora (składowe wektora), a także w przypadku gdy mamy dane współrzędne początku i końca wektora.
Długość wektora \(\vec{a}\) (moduł wektora) będziemy oznaczać przez \(|\vec{a}|\) lub \(a\).
Aby obliczyć długość dowolnego wektora \(\vec{a}\), będziemy korzystać ze wzoru:
gdzie \(a_x\) i \(a_y\) oznaczają miary składowych wektora \(\vec{a}\).
Zastosujmy powyższy wzór na długość wektora w zadaniu:
Przykład
Oto jak liczymy długość wektora \(\vec{a}=[4,-3]\):
\(|\vec{a}|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\)
Gdy dane są jedynie współrzędne początku \(A=(x_A,y_A)\) i końca wektora \(B=(x_B,y_B)\), to moduł wektora \(\vec{AB}\) obliczymy ze wzoru:
Powyższy wzór wynika z własności współrzędnych wektora. Zauważ, że długość wektora obliczamy identycznie jak długość odcinka.
Przykład
Dany jest punkt \(A=(1,2)\) i \(B=(-2,3)\). Jaką długość ma wektor \(\vec{AB}\)?
Korzystamy z powyższego wzoru:
\(|\vec{AB}|=\sqrt{(-2-1)^2+(3-2)^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\)
Ćwiczenia
Zwiększ populację dziobaków, rozwiązując krótkie zadania i ćwiczenia związane z tą lekcją.
1
2
3
Nie jesteś zalogowany.
Z jajka nic się nie wykluje, a Twoja populacja dziobaków nie przetrwa po opuszczeniu strony... Zaloguj się
Aby otworzyć złote jaja, musisz posiadać Plan Premium.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Rozwiązanie zadania: Oblicz długość wektora:
a) \(\vec{a}=[-3,4]\)
b) \(\vec{b}=5\vec{i}-2\vec{j}\)
c) \(\vec{c}=-\vec{j}\)
d) \(\vec{0}\)
e) \(\vec{AB}, A=(2,3), B=(-2,-3)\)
Zadanie nr 2.
Dany jest punkt \(A=(-1,1)\). Znaleźć punkt \(B\), jeżeli wiadomo, że \(|\vec{AB}|=4\).
Zadanie nr 4.
Dany jest wektor \(\vec{a}=[3,4]\). Przez jaką liczbę należy go pomnożyć, aby jego długość była równa 1?
📑 MODUŁY KURSU
Pełne śledzenie postępów kursu w planie Premium
© medianauka.pl, 2008-04-24, A-23/25
Data aktualizacji artykułu: 2026-05-12
