Nauka » Matematyka » Długość wektora

Zadanie - długość wektora

Oblicz długość wektora:
$a) \ \vec{a}=[-3,4]\\ b) \ \vec{b}=5\vec{i}-2\vec{j}\\ c) \ \vec{c}=-\vec{j}\\ d)\ \vec{0}\\ e)\ \vec{AB}, \ A=(2,3), \ B=(-2,-3)$

Rozwiązanie zadania uproszczone

$a) \ |\vec{a}|=\sqrt{9+16}=5\\ b) \ |\vec{b}|=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}\\ c) \ |\vec{c}|=\sqrt{0+1}=1\\ d)\ |\vec{0}|=0\\ e)\ |\vec{AB}|=\sqrt{16+36}=2\sqrt{13}$

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Korzystamy ze wzoru na długość wektora $\vec{a}=[a_x,a_y]$

$|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$

Mamy więc:

Przypadek a)

$\vec{a}=[-3,4]\\ |\vec{a}|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

Przypadek b)

$\vec{b}=5\vec{i}-2\vec{j}=[5,-2]\\ |\vec{b}|=\sqrt{5^2+(-2)^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}$

Przypadek c)

$\vec{c}=-\vec{j}=[0,-1]\\ |\vec{c}|=\sqrt{0^2+(-1)^2}=\sqrt{0+1}=\sqrt{1}=1$

Przypadek d)

$\vec{0}=[0,0]\\ |\vec{0}|=\sqrt{0^2+0^2}=\sqrt{0}=0$

Przypadek e)

Powołujemy się na twierdzenie, że jeżeli wektor $\vec{AB}=[a_x,a_y]$ leży na płaszczyźnie OXY, to zachodzą równości:

$a_x=x_B-x_A\\ a_y=y_B-y_A$

Powyższe twierdzenie pozwala nam wyznaczyć w prosty sposób współrzędne wektora, gdy dane są współrzędne jego początku i końca . Możemy więc zapisać, że: