Nauka » Matematyka » Długość wektora • Równanie okręgu

Zadanie - długość wektora i równanie okręgu

Treść zadania:

Dany jest punkt \(A=(-1,1)\). Znaleźć punkt \(B\), jeżeli wiadomo, że \(|\vec{AB}|=4\).

Rozwiązanie zadania

Oznaczmy współrzędne punktu \(B\) przez \(B=(x,y)\). Wektor \(\vec{AB}\) ma wówczas współrzędne:

Powołujemy się na twierdzenie, że jeżeli wektor \(\vec{AB}=[a_x,a_y]\) leży na płaszczyźnie OXY, to zachodzą równości:

\(a_x=x_B-x_A\)

\(a_y=y_B-y_A\)

Powyższe twierdzenie pozwala nam wyznaczyć w prosty sposób współrzędne wektora, gdy dane są współrzędne jego początku \(A=(x_A,y_A)\) i końca \(B=(x_B,y_B)\). Możemy więc zapisać, że:

\(\vec{AB}=[x_B-x_A,y_B-y_A]\)

Korzystamy wprost z powyższego wzoru:

\(A=(-1,1), \ B=(x,y)\)

\(\vec{AB}=[x-(-1),y-1]=[x+1,y-1]\)

Korzystamy ze wzoru na długość wektora \(\vec{a}=[a_x,a_y]\)

\(|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\)

Wiemy, że długość naszego wektora jest równa 4. Mamy więc:

\(|\vec{AB}|=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=4 /^2\)

\((x+1)^2+(y-1)^2=4^2\)

Otrzymaliśmy równanie z dwoma niewiadomymi. Pamiętamy, że równanie w postaci:

\((x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2\)

jest równaniem okręgu o środku w punkcie \(S=(x_s,y_s)\) i promieniu \(r\). Zatem nasz punkt B to dowolny punkt okręgi o środku \(S=(-1,1)\) i promieniu \(r=4\).