Nauka » Matematyka » Długość wektora Równanie okręgu

Zadanie - długość wektora i równanie okręgu

Dany jest punkt A=(-1,1). Znaleźć punkt B jeżeli wiadomo, że $|\vec{AB}|=4$ .

Rozwiązanie zadania skrócone

$\vec{AB}=[x+1,y-1]\\ |\vec{AB}|=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=4\\ (x+1)^2+(y-1)^2=4^2$
Punkt B leży na okręgu opisanym powyższym równaniem.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Oznaczmy współrzędne punktu B przez B=(x,y). Wektor $\vec{AB}$ ma wówczas współrzędne:

Powołujemy się na twierdzenie, że jeżeli wektor $\vec{AB}=[a_x,a_y]$ leży na płaszczyźnie OXY, to zachodzą równości:

$a_x=x_B-x_A\\ a_y=y_B-y_A$

Powyższe twierdzenie pozwala nam wyznaczyć w prosty sposób współrzędne wektora, gdy dane są współrzędne jego początku i końca . Możemy więc zapisać, że:

$\vec{AB}=[x_B-x_A,y_B-y_A]$

Korzystamy wprost z powyższego wzoru:

$A=(-1,1), \ B=(x,y)\\ \vec{AB}=[x-(-1),y-1]=[x+1,y-1]$ tło

Korzystamy ze wzoru na długość wektora $\vec{a}=[a_x,a_y]$

$|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$

Wiemy, że długość naszego wektora jest równa 4. Mamy więc:

$|\vec{AB}|=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}=4 /^2\\ (x+1)^2+(y-1)^2=4^2$

Otrzymaliśmy równanie z dwoma niewiadomymi. Pamiętamy, że równanie w postaci:

jest równaniem okręgu o środku w punkcie S=(x_s,y_s) i promieniu r. Zatem nasz punkt B to dowolny punkt okręgi o środku S=(-1,1) i promieniu r=4.

Odpowiedź

Punkt B to dowolny punkt okręgi o środku S=(-1,1) i promieniu r=4

Zadania podobne

Zadanie - równanie okręgu
Rozwiązać graficznie równanie

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie okręgu - odczyt z wykresu
Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.
okrąg w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie okręgu
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty $A=(1,1), \ B=(5,1),\ C=(3,2\sqrt{3}+1)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 8, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że x²+y²=2, prawdziwa jest nierówność x +y ≤ 2.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2014
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)²+(y-3)²=4 z osiami układu współrzędnych jest równa:

A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania