Nauka » Matematyka » Równanie okręgu

Zadanie maturalne nr 5, matura 2019 - poziom rozszerzony

Dane są okręgi o równaniach x² + y² −12x −8y + 43 = 0 i x² + y² − 2ax + 4y + a² − 77 = 0. Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Rozwiązanie zadania

Równanie kanoniczne okręgu ma postać:

gdzie r>0 jest promieniem okręgu, a S(p,q) jest jego środkiem.

W pierwszym równaniu mamy:

$x^2+y^2−12x−8y+43=0$

$x^2−12x +36-36+y^2−8y+16-16+43=0$

$(x-6)^2+(y-4)^2+43-36-16=0$\

$(x-6)^2+(y-4)^2=3^2$

Mamy więc okrąg o środku w punkcie $S_1=(6,4)$ i promieniu $r_1=3$.

Rozważmy drugi z okręgów, który jest sparametryzowany:

$x^2+y^2−2ax+4y+a^2−77=0$

$x^2−2ax+a^2+y^2+4y+4-4−77=0$

$(x-a)^2+(y+2)^2=9^2$

Mamy więc okrąg o środku w punkcie $S_2=(a,-2)$ i promieniu $r_2=9$.

Sporządzimy rysunek poglądowy. Pierwszy z okręgów jest dany. Środek drugiego ma określoną współrzędną $y=-2$. Środek drugiego okręgu może się "przesuwać" po tej prostej, dopóki okrąg ten nie znajdzie z pierwszym okręgiem jednego wspólnego punktu (styczności). Mamy kilka takich przypadków:

Rysunek do zadania

Mamy dwa przypadki styczności: zewnętrzną i wewnętrzną. Możemy dla nich zapisać warunki:

$|S_1S_2|=r_1+r_2$ i $|S_1S_2|=r_2-r_1$

Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:

Wzór na długość odcinka

Długość odcinka w układzie współrzędnych jest równa odległości końców odcinka $A=(x_A,y_A), B=(x_B, y_B)$ i obliczamy ją ze wzoru:

$d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

$\sqrt{(a-6)^2+6^2}=9+3/^2$

$(a-6)^2+36=144$

$a^2-12a+36+36-144=0$

$a^2-12a-72=0$

$\Delta_a=144+4\cdot 72==432$

$\sqrt{\Delta_a}=\sqrt{432}=12\sqrt{3}$

$a_1=\frac{12-12\sqrt{3}}{2}=6-6\sqrt{3}$

$a_2=\frac{12+12\sqrt{3}}{2}=6+6\sqrt{3}$

Teraz badamy drugi przypadek styczności.

$\sqrt{(a-6)^2+6^2}=9-3/^2$

$(a-6)^2+36=36$

$(a-6)^2=0$

$a=6$

Odpowiedź

$a_1=6-6\sqrt{3}$, $a_2=6+6\sqrt{3}$, $a_3=6$

Zadania podobne

Zadanie - równanie okręgu
Rozwiązać graficznie równanie

.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie okręgu - odczyt z wykresu
Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.
okrąg w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie okręgu
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty $A=(1,1), \ B=(5,1),\ C=(3,2\sqrt{3}+1)$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - długość wektora i równanie okręgu
Dany jest punkt A=(-1,1). Znaleźć punkt B jeżeli wiadomo, że $|\vec{AB}|=4$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 8, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że x²+y²=2, prawdziwa jest nierówność x +y ≤ 2.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 15, matura 2014
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)²+(y-3)²=4 z osiami układu współrzędnych jest równa:

A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 20, matura 2017 (poziom podstawowy)
Dany jest okrąg o środku S = (2,3) i promieniu r = 5 . Który z podanych punktów leży na tym okręgu?
A. A = (-1, 7)
B. B = (2, 3)
C. C = (3, 2)
D. D = (5, 3)

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 11, matura 2017 (poziom rozszerzony)
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A=(−5, 3) i B=(0, 6), którego środek leży na prostej o równaniu x−3y+1=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 18, matura 2018

Średnicą okręgu jest odcinek KL, gdzie K = (6,8) , L = (−6, − 8) . Równanie tego okręgu ma
postać

x²+y²=200
x²+y²=100
x²+y²=400
x²+y²=300

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.