Zadanie maturalne nr 5, matura 2019 - poziom rozszerzony


Dane są okręgi o równaniach x2 + y2 −12x −8y + 43 = 0 i x2 + y2 − 2ax + 4y + a2 − 77 = 0. Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Równanie kanoniczne okręgu ma postać:

(x-p)^2+(y-q)^2=r^2

gdzie r>0 jest promieniem okręgu, a S(p,q) jest jego środkiem.

W pierwszym równaniu mamy:

\(x^2+y^2−12x−8y+43=0\)

\(x^2−12x +36-36+y^2−8y+16-16+43=0\)

\((x-6)^2+(y-4)^2+43-36-16=0\)\

\((x-6)^2+(y-4)^2=3^2\)

Mamy więc okrąg o środku w punkcie \(S_1=(6,4)\) i promieniu \(r_1=3\).

Rozważmy drugi z okręgów, który jest sparametryzowany:

\(x^2+y^2−2ax+4y+a^2−77=0\)

\(x^2−2ax+a^2+y^2+4y+4-4−77=0\)

\((x-a)^2+(y+2)^2=9^2\)

Mamy więc okrąg o środku w punkcie \(S_2=(a,-2)\) i promieniu \(r_2=9\).

Sporządzimy rysunek poglądowy. Pierwszy z okręgów jest dany. Środek drugiego ma określoną współrzędną \(y=-2\). Środek drugiego okręgu może się "przesuwać" po tej prostej, dopóki okrąg ten nie znajdzie z pierwszym okręgiem jednego wspólnego punktu (styczności). Mamy kilka takich przypadków:

Rysunek do zadania

Mamy dwa przypadki styczności: zewnętrzną i wewnętrzną. Możemy dla nich zapisać warunki:

\(|S_1S_2|=r_1+r_2\) i \(|S_1S_2|=r_2-r_1\)

Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:

Wzór na długość odcinka

Długość odcinka w układzie współrzędnych jest równa odległości końców odcinka \(A=(x_A,y_A), B=(x_B, y_B)\) i obliczamy ją ze wzoru:

\(d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

\(\sqrt{(a-6)^2+6^2}=9+3/^2\)

\((a-6)^2+36=144\)

\(a^2-12a+36+36-144=0\)

\(a^2-12a-72=0\)

\(\Delta_a=144+4\cdot 72==432\)

\(\sqrt{\Delta_a}=\sqrt{432}=12\sqrt{3}\)

\(a_1=\frac{12-12\sqrt{3}}{2}=6-6\sqrt{3}\)

\(a_2=\frac{12+12\sqrt{3}}{2}=6+6\sqrt{3}\)

Teraz badamy drugi przypadek styczności.

\(\sqrt{(a-6)^2+6^2}=9-3/^2\)

\((a-6)^2+36=36\)

\((a-6)^2=0\)

\(a=6\)

ksiązki Odpowiedź

\(a_1=6-6\sqrt{3}\), \(a_2=6+6\sqrt{3}\), \(a_3=6\)

© medianauka.pl, 2023-02-12, ZAD-4707

Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie okręgu
Rozwiązać graficznie równanie x^2+y^2+4x+6y+9=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie okręgu - odczyt z wykresu
Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.
okrąg w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie xy-1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie 2x^2+y+x-1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie okręgu
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty A=(1,1), \ B=(5,1),\ C=(3,2\sqrt{3}+1)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - długość wektora i równanie okręgu
Dany jest punkt A=(-1,1). Znaleźć punkt B jeżeli wiadomo, że |\vec{AB}|=4.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 8, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że x2+y2=2, prawdziwa jest nierówność x +y ≤ 2.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2014
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)2+(y-3)2=4 z osiami układu współrzędnych jest równa:

A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 20, matura 2017 (poziom podstawowy)
Dany jest okrąg o środku S = (2,3) i promieniu r = 5 . Który z podanych punktów leży na tym okręgu?
A. A = (-1, 7)
B. B = (2, 3)
C. C = (3, 2)
D. D = (5, 3)


Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 11, matura 2017 (poziom rozszerzony)
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A=(−5, 3) i B=(0, 6), którego środek leży na prostej o równaniu x−3y+1=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 18, matura 2018

Średnicą okręgu jest odcinek KL, gdzie K = (6,8) , L = (−6, − 8) . Równanie tego okręgu ma
postać

  1. x2+y2=200
  2. x2+y2=100
  3. x2+y2=400
  4. x2+y2=300


Pokaż rozwiązanie zadania




Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
©® Media Nauka 2008-2023 r.