Zadanie maturalne nr 5, matura 2019 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Dane są okręgi o równaniach \(x^2+y^2−12x−8y+43=0\) i \(x^2+y^2−2ax+4y+a^2−77=0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.
Rozwiązanie zadania
Równanie kanoniczne okręgu ma postać:
gdzie r>0 jest promieniem okręgu, a S(p,q) jest jego środkiem.
W pierwszym równaniu mamy:
\(x^2+y^2−12x−8y+43=0\)
\(x^2−12x +36-36+y^2−8y+16-16+43=0\)
\((x-6)^2+(y-4)^2+43-36-16=0\)\
\((x-6)^2+(y-4)^2=3^2\)
Mamy więc okrąg o środku w punkcie \(S_1=(6,4)\) i promieniu \(r_1=3\).
Rozważmy drugi z okręgów, który jest sparametryzowany:
\(x^2+y^2−2ax+4y+a^2−77=0\)
\(x^2−2ax+a^2+y^2+4y+4-4−77=0\)
\((x-a)^2+(y+2)^2=9^2\)
Mamy więc okrąg o środku w punkcie \(S_2=(a,-2)\) i promieniu \(r_2=9\).
Sporządzimy rysunek poglądowy. Pierwszy z okręgów jest dany. Środek drugiego ma określoną współrzędną \(y=-2\). Środek drugiego okręgu może się "przesuwać" po tej prostej, dopóki okrąg ten nie znajdzie z pierwszym okręgiem jednego wspólnego punktu (styczności). Mamy kilka takich przypadków:
Mamy dwa przypadki styczności: zewnętrzną i wewnętrzną. Możemy dla nich zapisać warunki:
\(|S_1S_2|=r_1+r_2\) i \(|S_1S_2|=r_2-r_1\)
Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
Wzór na długość odcinka
Długość odcinka w układzie współrzędnych jest równa odległości końców odcinka \(A=(x_A,y_A), B=(x_B, y_B)\) i obliczamy ją ze wzoru:
\(d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)
\(\sqrt{(a-6)^2+6^2}=9+3/^2\)
\((a-6)^2+36=144\)
\(a^2-12a+36+36-144=0\)
\(a^2-12a-72=0\)
\(\Delta_a=144+4\cdot 72==432\)
\(\sqrt{\Delta_a}=\sqrt{432}=12\sqrt{3}\)
\(a_1=\frac{12-12\sqrt{3}}{2}=6-6\sqrt{3}\)
\(a_2=\frac{12+12\sqrt{3}}{2}=6+6\sqrt{3}\)
Teraz badamy drugi przypadek styczności.
\(\sqrt{(a-6)^2+6^2}=9-3/^2\)
\((a-6)^2+36=36\)
\((a-6)^2=0\)
\(a=6\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-02-12, ZAD-4707
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.
Zadanie nr 5.
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty \(A=(1,1), B=(5,1), C=(3,2\sqrt{3}+1)\).
Zadanie nr 6.
Dany jest punkt \(A=(-1,1)\). Znaleźć punkt \(B\), jeżeli wiadomo, że \(|\vec{AB}|=4\).
Zadanie nr 7 — maturalne.
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) takich, że \(x^2+y^2=2\), prawdziwa jest nierówność \(x+y\leq 2\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \((x+2)^2+(y-3)^2=4\) z osiami układu współrzędnych jest równa:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Zadanie nr 9 — maturalne.
Dany jest okrąg o środku \(S=(2,3)\) i promieniu \(r=5\). Który z podanych punktów leży na tym okręgu?
A. \(A=(-1, 7)\)
B. \(B=(2, 3)\)
C. \(C=(3, 2)\)
D. \(D=(5, 3)\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(A=(−5, 3)\) i \(B=(0, 6)\), którego środek leży na prostej o równaniu \(x−3y+1=0\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Średnicą okręgu jest odcinek \(KL\), gdzie \(K=(6,8)\), \(L=(−6, − 8)\). Równanie tego okręgu ma postać
A. \(x^2+y^2=200\)
B. \(x^2+y^2=100\)
C. \(x^2+y^2=400\)
D. \(x^2+y^2=300\)