Zadanie maturalne nr 5, matura 2019 - poziom rozszerzony
Dane są okręgi o równaniach x2 + y2 −12x −8y + 43 = 0 i x2 + y2 − 2ax + 4y + a2 − 77 = 0. Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.
Rozwiązanie zadania
Równanie kanoniczne okręgu ma postać:

gdzie r>0 jest promieniem okręgu, a S(p,q) jest jego środkiem.
W pierwszym równaniu mamy:
\(x^2+y^2−12x−8y+43=0\)
\(x^2−12x +36-36+y^2−8y+16-16+43=0\)
\((x-6)^2+(y-4)^2+43-36-16=0\)\
\((x-6)^2+(y-4)^2=3^2\)
Mamy więc okrąg o środku w punkcie \(S_1=(6,4)\) i promieniu \(r_1=3\).
Rozważmy drugi z okręgów, który jest sparametryzowany:
\(x^2+y^2−2ax+4y+a^2−77=0\)
\(x^2−2ax+a^2+y^2+4y+4-4−77=0\)
\((x-a)^2+(y+2)^2=9^2\)
Mamy więc okrąg o środku w punkcie \(S_2=(a,-2)\) i promieniu \(r_2=9\).
Sporządzimy rysunek poglądowy. Pierwszy z okręgów jest dany. Środek drugiego ma określoną współrzędną \(y=-2\). Środek drugiego okręgu może się "przesuwać" po tej prostej, dopóki okrąg ten nie znajdzie z pierwszym okręgiem jednego wspólnego punktu (styczności). Mamy kilka takich przypadków:
Mamy dwa przypadki styczności: zewnętrzną i wewnętrzną. Możemy dla nich zapisać warunki:
\(|S_1S_2|=r_1+r_2\) i \(|S_1S_2|=r_2-r_1\)
Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
Wzór na długość odcinka
Długość odcinka w układzie współrzędnych jest równa odległości końców odcinka \(A=(x_A,y_A), B=(x_B, y_B)\) i obliczamy ją ze wzoru:
\(d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)
\(\sqrt{(a-6)^2+6^2}=9+3/^2\)
\((a-6)^2+36=144\)
\(a^2-12a+36+36-144=0\)
\(a^2-12a-72=0\)
\(\Delta_a=144+4\cdot 72==432\)
\(\sqrt{\Delta_a}=\sqrt{432}=12\sqrt{3}\)
\(a_1=\frac{12-12\sqrt{3}}{2}=6-6\sqrt{3}\)
\(a_2=\frac{12+12\sqrt{3}}{2}=6+6\sqrt{3}\)
Teraz badamy drugi przypadek styczności.
\(\sqrt{(a-6)^2+6^2}=9-3/^2\)
\((a-6)^2+36=36\)
\((a-6)^2=0\)
\(a=6\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-02-12, ZAD-4707
Zadania podobne

Rozwiązać graficznie równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać graficznie równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać graficznie równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty

Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest punkt A=(-1,1). Znaleźć punkt B jeżeli wiadomo, że

Pokaż rozwiązanie zadania

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że x2+y2=2, prawdziwa jest nierówność x +y ≤ 2.
Pokaż rozwiązanie zadania

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)2+(y-3)2=4 z osiami układu współrzędnych jest równa:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest okrąg o środku S = (2,3) i promieniu r = 5 . Który z podanych punktów leży na tym okręgu?
A. A = (-1, 7)
B. B = (2, 3)
C. C = (3, 2)
D. D = (5, 3)
Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A=(−5, 3) i B=(0, 6), którego środek leży na prostej o równaniu x−3y+1=0.
Pokaż rozwiązanie zadania

Średnicą okręgu jest odcinek KL, gdzie K = (6,8) , L = (−6, − 8) . Równanie tego okręgu ma
postać
- x2+y2=200
- x2+y2=100
- x2+y2=400
- x2+y2=300
Pokaż rozwiązanie zadania