Zadanie — równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

Rozwiązanie zadania

Dokonujemy prostego przekształcenia równania:

\(2x^2+y+x-1=0\)

\(y=-2x^2-x+1\)

Otrzymaliśmy postać funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola.

Wyznaczamy miejsca zerowe:

\(a=-2,\ b=-1,\ c=1\)

\(\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot (-2)\cdot 1=9\)

\(\sqrt{\Delta}=3\)

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-3}{-4}=\frac{1}{2}\)

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+3}{-4}=-1\)

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli, korzystając ze wzoru:

\(x_w=-\frac{-1}{-4}=-\frac{1}{4}\)

\(y_w=-\frac{9}{-8}=1\frac{1}{8}\)

Współczynnik \(a\) jest ujemny, więc ramiona paraboli skierowane są w dół.

Wykres paraboli o równaniu \(y=-2x^2-x+1\) jest rozwiązaniem graficznym tego równania.

© medianauka.pl, 2010-02-02, ZAD-570

Zadania podobne

Rozwiązać graficznie równanie \(x^2+y^2+4x+6y+9=0\).

Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.

Rozwiązać graficznie równanie \(xy-1=0\).

Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty \(A=(1,1), B=(5,1), C=(3,2\sqrt{3}+1)\).

Dany jest punkt \(A=(-1,1)\). Znaleźć punkt \(B\), jeżeli wiadomo, że \(|\vec{AB}|=4\).

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) takich, że \(x^2+y^2=2\), prawdziwa jest nierówność \(x+y\leq 2\).

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \((x+2)^2+(y-3)^2=4\) z osiami układu współrzędnych jest równa:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Dany jest okrąg o środku \(S=(2,3)\) i promieniu \(r=5\). Który z podanych punktów leży na tym okręgu?

A. \(A=(-1, 7)\)

B. \(B=(2, 3)\)

C. \(C=(3, 2)\)

D. \(D=(5, 3)\)

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(A=(−5, 3)\) i \(B=(0, 6)\), którego środek leży na prostej o równaniu \(x−3y+1=0\).

Średnicą okręgu jest odcinek \(KL\), gdzie \(K=(6,8)\), \(L=(−6, − 8)\). Równanie tego okręgu ma postać

A. \(x^2+y^2=200\)

B. \(x^2+y^2=100\)

C. \(x^2+y^2=400\)

D. \(x^2+y^2=300\)

Dane są okręgi o równaniach \(x^2+y^2−12x−8y+43=0\) i \(x^2+y^2−2ax+4y+a^2−77=0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.