Zadanie maturalne nr 8, matura 2016 (poziom rozszerzony)
Rozwiązanie zadania
Jest co najmniej kilka sposobów podejścia do rozwiązania tego zadania. Tutaj zostanie zaproponowany najszybszy - graficzne podejście do problemu.
I sposób
Mamy do czynienia z dwoma dodatnimi liczbami i dwoma obszarami - okręgiem (równanie x2+y2=2 reprezentuje okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu równym pierwiastkowi z dwóch) oraz obszarem opisanym nierównością y ≤ -x+2 (jest to półpłaszczyzna ograniczona prostą o równaniu y=-x+2). Sporządźmy rysunek zawierający oba te obszary. Pamiętajmy, że x i y są dodatnie, ograniczamy się więc tylko do I ćwiartki układu współrzędnych.
Okrąg jest styczny z prostą y=-x+2, gdyż punkt P=(1,1), zaznaczony na wykresie, należy do okręgu (bo 12+12=2), należy też do y=-x+2 (bo 1=-1+2). Ponieważ mamy do czynienia z nierównością nieostrą widać, że wszystkie punkty okręgu (także punkt styczności) leżą w obszarze półpłaszczyzny (kolor pomarańczowy na rysunku), co kończy dowód.
II sposób
Przekształcimy nierówność x +y ≤ 2 tak, aby wykorzystać warunek x2+y2=2 i otrzymać zdanie prawdziwe dla dodatnich liczb x i y.

Teraz wykorzystamy warunek x2+y2=2, wstawiając go po prawej stronie nierówności.

Otrzymalismy zdanie prawdziwe, co kończy dowód.
© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3278
Zadania podobne

Rozwiązać graficznie równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać graficznie równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać graficznie równanie

Pokaż rozwiązanie zadania

Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty

Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest punkt A=(-1,1). Znaleźć punkt B jeżeli wiadomo, że

Pokaż rozwiązanie zadania

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)2+(y-3)2=4 z osiami układu współrzędnych jest równa:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Pokaż rozwiązanie zadania

Dany jest okrąg o środku S = (2,3) i promieniu r = 5 . Który z podanych punktów leży na tym okręgu?
A. A = (-1, 7)
B. B = (2, 3)
C. C = (3, 2)
D. D = (5, 3)
Pokaż rozwiązanie zadania

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A=(−5, 3) i B=(0, 6), którego środek leży na prostej o równaniu x−3y+1=0.
Pokaż rozwiązanie zadania

Średnicą okręgu jest odcinek KL, gdzie K = (6,8) , L = (−6, − 8) . Równanie tego okręgu ma
postać
- x2+y2=200
- x2+y2=100
- x2+y2=400
- x2+y2=300
Pokaż rozwiązanie zadania