Logo Media Nauka

Zadanie maturalne nr 8, matura 2016 (poziom rozszerzony)


Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że x2+y2=2, prawdziwa jest nierówność x +y ≤ 2.

ksiązki Rozwiązanie zadania

Jest co najmniej kilka sposobów podejścia do rozwiązania tego zadania. Tutaj zostanie zaproponowany najszybszy - graficzne podejście do problemu.

I sposób

Mamy do czynienia z dwoma dodatnimi liczbami i dwoma obszarami - okręgiem (równanie x2+y2=2 reprezentuje okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu równym pierwiastkowi z dwóch) oraz obszarem opisanym nierównością y ≤ -x+2 (jest to półpłaszczyzna ograniczona prostą o równaniu y=-x+2). Sporządźmy rysunek zawierający oba te obszary. Pamiętajmy, że x i y są dodatnie, ograniczamy się więc tylko do I ćwiartki układu współrzędnych.

Okrąg jest styczny z prostą y=-x+2, gdyż punkt P=(1,1), zaznaczony na wykresie, należy do okręgu (bo 12+12=2), należy też do y=-x+2 (bo 1=-1+2). Ponieważ mamy do czynienia z nierównością nieostrą widać, że wszystkie punkty okręgu (także punkt styczności) leżą w obszarze półpłaszczyzny (kolor pomarańczowy na rysunku), co kończy dowód.


II sposób

Przekształcimy nierówność x +y ≤ 2 tak, aby wykorzystać warunek x2+y2=2 i otrzymać zdanie prawdziwe dla dodatnich liczb x i y.

x+y\leq 2\\
(x+y)^2\leq 4\\ x^2+2xy+y^2\leq 4\\ x^2+2xy+y^2\leq 2\cdot 2

Teraz wykorzystamy warunek x2+y2=2, wstawiając go po prawej stronie nierówności.

x^2+2xy+y^2\leq 2(x^2+y^2)\\ x^2+y^2+2xy\leq 2x^2+2y^2\\ -x^2-y^2+2xy\leq 0\\ x^2+y^2-2xy\geq 0\\ (x-y)^2\geq 0

Otrzymalismy zdanie prawdziwe, co kończy dowód.


© medianauka.pl, 2016-11-01, ZAD-3278

Zadania podobne

kulkaZadanie - równanie okręgu
Rozwiązać graficznie równanie x^2+y^2+4x+6y+9=0.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie okręgu - odczyt z wykresu
Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.
okrąg w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie xy-1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
Rozwiązać graficznie równanie 2x^2+y+x-1=0

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - równanie okręgu
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty A=(1,1), \ B=(5,1),\ C=(3,2\sqrt{3}+1)

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie - długość wektora i równanie okręgu
Dany jest punkt A=(-1,1). Znaleźć punkt B jeżeli wiadomo, że |\vec{AB}|=4.

Pokaż rozwiązanie zadania

kulkaZadanie maturalne nr 15, matura 2014
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)2+(y-3)2=4 z osiami układu współrzędnych jest równa:

A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania



Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.
© Media Nauka 2008-2019 r.