Iloczyn skalarny
Co to jest iloczyn skalarny wektorów? Mnożenie skalarne wektorów nie jest jedynym działaniem iloczynu na wektorach. Pamiętajmy, że jest jeszcze mnożenie wektora przez skalar.
Istnieją dwa pojęcia iloczynu wektorów. Wynikiem jednego iloczynu jest liczba (skalar) i iloczyn ten nazywamy iloczynem skalarnym, wynikiem drugiego iloczynu jest wektor - iloczyn ten nazywamy iloczynem wektorowym. W niniejszym artykule zajmiemy się tylko iloczynem skalarnym.
Definicja
Iloczyn skalarny dwóch wektorów
i
jest to liczba równa iloczynowi modułów (długości) tych wektorów i cosinusa kąta między nimi w przypadku, gdy są to wektory niezerowe i równa zeru, gdy jeden lub drugi wektor jest wektorem zerowym. Iloczyn skalarny oznaczamy następująco:

Powyższy wzór na iloczyn skalarny wykorzystamy w przykładowym zadaniu:
Przykład
Dla przykładu obliczymy iloczyn wektorów i
, jeżeli wiadomo, że kąt między tymi wektorami ma miarę 90°.
Obliczamy najpierw moduły wektorów:
obliczamy iloczyn skalarny:
Twierdzenie
Iloczyn skalarny dwóch wektorów równa się sumie iloczynów równoimiennych współrzędnych tych wektorów:

Przykład
Zastosujemy powyższe twierdzenie do wyznaczenia iloczynu skalarnego wektorów z powyższego zadania:
Własności iloczynu skalarnego
Twierdzenie
Własności iloczynu skalarnego:
- iloczyn skalarny jest przemienny, tzn.
,
- iloczyn skalarny jest łączny względem mnożenia przez liczbę, tzn.
,
- iloczyn skalarny jest rozdzielny względem dodawania wektorów, tzn.
,
- iloczyn skalarny jest równy zeru, gdy jeden lub drugi z wektorów jest wektorem zerowym lub wektory są prostopadłe,
- iloczyn skalarny wektora przez ten sam wektor jest równy kwadratowi modułu tego wektora:
,
- jeśli
są wersorami prostokątnego układu kartezjańskiego, to:
,
,
.
Zastosowanie iloczynu skalarnego
Iloczyn skalarny ma zastosowanie w matematyce i fizyce. Tutaj skupimy się na zastosowaniu iloczynu skalarnego wektorów w geometrii

Prostopadłość wektorów
Kiedy wektory są prostopadłe do siebie?
Twierdzenie
Jeśli dwa niezerowe wektory są prostopadłe, to ich iloczyn skalarny jest równy zeru.
Twierdzenie
Jeśli iloczyn skalarny dwóch wektorów jest równy zeru, to co najmniej jeden z nich jest wektorem zerowym lub wektory są prostopadłe
Równoległość wektorów
Kiedy dwa wektory są równoległe do siebie?
Twierdzenie
Jeżeli dwa niezerowe wektory są równoległe, to wyznacznik tych wektorów jest równy zeru:
Twierdzenie
Jeśli wyznacznik dwóch wektorów jest równy zeru, to albo co najmniej jeden z tych wektorów jest wektorem zerowym albo wektory są równoległe.
Przykład
Sprawdzimy, czy wektory i
są równoległe. w tym celu obliczamy wyznacznik wektorów:
Ponieważ wyznacznik wektorów niezerowych jest równy zero, wektory te są równoległe.

Pole równoległoboku i pole trójkąta
Twierdzenie
Pole P równoległoboku wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory zaczepione we wspólnym początku jest równe modułowi wyznacznika W tych wektorów.
Twierdzenie
Pole trójkąta wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory zaczepione we wspólnym początku jest równe połowie modułu wyznacznika tych wektorów.
Przykład
Wyznaczyć pole trójkąta wyznaczonego przez wektory [-1,1] i [4,3].
Korzystamy z powyższego twierdzenia i obliczamy wyznacznik wektorów:
© medianauka.pl, 2010-12-12, ART-1052
Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Iloczyn skalarny
Zadanie - pole trójkąta
Wektory wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.
Zadanie - iloczyn skalarny wektorów
Zbadać, czy wektory są prostopadłe.
Zadanie - iloczyn skalarny wektorów
Jaki kąt tworzą ze sobą wektory , jeżeli ich iloczyn skalarny jest równy 1, a długości tych wektorów są równe odpowiednio 2 i 1?
Zadanie - iloczyn skalarny wektorów
Dany jest wektor . Oblicz
.
Zadanie - iloczyn skalarny wektorów
Dane są wektory . Oblicz
.
Zadanie - zastosowanie iloczynu skalarnego
Czy trójkąt wyznaczony przez wektory jest trójkątem prostokątnym?
Zadanie - zastosowanie iloczynu skalarnego
Zbadać, czy wektory są równoległe.
Zadanie - zastosowanie iloczynu skalarnego
Dla jakiej wartości parametru m wektory są równoległe.
Zadanie - zastosowanie iloczynu skalarnego
Dla jakiej wartości parametru m wektory są prostopadłe?
Zadanie - pole trójkąta
Dany jest wektor zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.
Zadanie - pole powierzchni rombu
Oblicz pole rombu ABCD, jeżeli wiadomo, że A=(2,0), B=(3,2), C=(2,4), D=(1,2).
Zadanie - równoległobok
Obliczyć pole równoległoboku ABCD, jeżeli wiadomo, że A=(1,1), B=(5,1), C=(7,3), D=(3,3).
Inne zagadnienia z tej lekcji

Co to jest wektor? Jakie ma własności?

Jak wyznaczamy Współrzędne wektora? Co to jest o wektor jednostkowy?

Jak obliczyć długość dowolnego wektora?

Poznasz metodę trójkąta, metodę graficzną dodawania wektorów, dodawanie i odejmowanie wektorów równoległych.

Opis odejmowania wektorów równoległych i nierównoległych.

Definicja mnożenia wektora przez liczbę.

Iloczyn wektorowy - definicja i przykłady

Reguła śruby prawoskrętnej

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.