Iloczyn skalarny wektorów

Istnieją dwa pojęcia iloczynu wektorów. Wynikiem jednego iloczynu jest liczba (skalar) i iloczyn ten nazywamy iloczynem skalarnym, wynikiem drugiego iloczynu jest wektor - iloczyn ten nazywamy iloczynem wektorowym. W niniejszym artykule zajmiemy się tylko iloczynem skalarnym.

Definicja

Iloczyn skalarny dwóch wektorów $\vec{a}$ i $\vec{b}$ jest to liczba równa iloczynowi modułów (długości) tych wektorów i cosinusa kąta między nimi w przypadku, gdy są to wektory niezerowe i równa zeru, gdy jeden lub drugi wektor jest wektorem zerowym. Iloczyn skalarny oznaczamy następująco:

$\vec{a}\circ \vec{b}=ab \cdot \cos{(\vec{a},\vec{b})}$

Przykład

Dla przykładu obliczymy iloczyn wektorów $\vec{a}=[1,2]$ i $\vec{b}=[-4,2]$ , jeżeli wiadomo, że kąt między tymi wektorami ma miarę 90°.

Obliczamy najpierw moduły wektorów:
$|\vec{a}|=a=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\\ |\vec{b}|=b=\sqrt{(-4)^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
obliczamy iloczyn skalarny:
$\vec{a}\circ \vec{b}=ab\cdot cos{(\vec{a}, \vec{b})}=\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}\cdot \cos{90^o}=10\cdot 0 = 0$

Twierdzenie

Iloczyn skalarny dwóch wektorów równa się sumie iloczynów równoimiennych współrzędnych tych wektorów:

$\vec{a}\circ \vec{b}=a_xb_x+a_yb_y$

Przykład

Zastosujemy powyższe twierdzenie do wyznaczenia iloczynu skalarnego wektorów z powyższego zadania:
$\vec{a}\circ \vec{b}=1\cdot (-4)+2\cdot2=4-4=0$

Własności iloczynu skalarnego

Twierdzenie

Własności iloczynu skalarnego:

iloczyn skalarny jest przemienny, tzn. $\vec{a}\circ \vec{b}=\vec{b}\circ \vec{a}$ ,
iloczyn skalarny jest łączny względem mnożenia przez liczbę, tzn. $(k\vec{a})\circ \vec{b}=k(\vec{a}\circ \vec{b})$ ,
iloczyn skalarny jest rozdzielny względem dodawania wektorów, tzn. $(\vec{a}+\vec{b})\circ \vec{c}=\vec{a}\circ \vec{c}+\vec{b}\circ \vec{c}$ ,
iloczyn skalarny jest równy zeru, gdy jeden lub drugi z wektorów jest wektorem zerowym lub wektory są prostopadłe,
iloczyn skalarny wektora przez ten sam wektor jest równy kwadratowi modułu tego wektora: $\vec{a}\circ \vec{a}=a^2$ ,
jeśli $\vec{i}, \ \vec{j}$ są wersorami prostokątnego układu kartezjańskiego, to: $\vec{i}\circ \vec{i}=1$ , $\vec{j}\circ \vec{j}=1$ , $\vec{i}\circ \vec{j}=0$ .