Iloczyn skalarny

Co to jest iloczyn skalarny wektorów? Mnożenie skalarne wektorów nie jest jedynym działaniem iloczynu na wektorach. Pamiętajmy, że jest jeszcze mnożenie wektora przez skalar. Jest także iloczyn wektorowy.

Istnieją dwa pojęcia iloczynu wektorów. Wynikiem jednego iloczynu jest liczba (skalar) i iloczyn ten nazywamy iloczynem skalarnym. Wynikiem drugiego iloczynu jest wektor — iloczyn ten nazywamy iloczynem wektorowym. W niniejszym artykule zajmiemy się tylko iloczynem skalarnym.

Definicja

Iloczyn skalarny dwóch wektorów \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) jest to liczba równa iloczynowi modułów (długości) tych wektorów i cosinusa kąta między nimi w przypadku, gdy są to wektory niezerowe i równa zeru, gdy jeden lub drugi wektor jest wektorem zerowym.

Iloczyn skalarny oznaczamy następująco:

\(\vec{a}\circ \vec{b}=ab \cdot \cos{(\vec{a},\vec{b})}\)

Powyższy wzór na iloczyn skalarny wykorzystamy w przykładowym zadaniu:

Przykład 1

Dla przykładu obliczymy iloczyn wektorów \(\vec{a}=[1,2]\) i \(\vec{b}=[-4,2]\), jeżeli wiadomo, że kąt między tymi wektorami ma miarę 90°.

Obliczamy najpierw moduły wektorów:

\(|\vec{a}|=a=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)

\(\vec{b}|=b=\sqrt{(-4)^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)\)

Obliczamy iloczyn skalarny:

\(\vec{a}\circ \vec{b}=ab\cdot cos{(\vec{a}, \vec{b})}=\)

\(=\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}\cdot \cos{90^o}=10\cdot 0 = 0\)

Twierdzenie 1

Iloczyn skalarny dwóch wektorów równa się sumie iloczynów równoimiennych współrzędnych tych wektorów:

\(\vec{a}\circ \vec{b}=a_xb_x+a_y b_y\)

Przykład 2

Zastosujemy powyższe twierdzenie do wyznaczenia iloczynu skalarnego wektorów z przykładu pierwszego:

\(\vec{a}\circ \vec{b}=1\cdot (-4)+2\cdot2=4-4=0\)

Własności iloczynu skalarnego

Oto wybrane własności iloczynu skalarnego:

Zastosowanie iloczynu skalarnego

Iloczyn skalarny ma dość szerokie zastosowanie w matematyce i fizyce. Tutaj skupimy się na zastosowaniu iloczynu skalarnego wektorów w geometrii.

Prostopadłość wektorów

Kiedy wektory są prostopadłe do siebie?

Prostopadłość wektorów

Twierdzenie 2

Jeśli dwa niezerowe wektory są prostopadłe, to ich iloczyn skalarny jest równy zeru.

Twierdzenie 3

Jeśli iloczyn skalarny dwóch wektorów jest równy zeru, to co najmniej jeden z nich jest wektorem zerowym lub wektory są prostopadłe

Równoległość wektorów

Kiedy dwa wektory są równoległe do siebie?

Twierdzenie 4

Jeżeli dwa niezerowe wektory są równoległe, to wyznacznik tych wektorów jest równy zeru:

\(\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x=0\)

Twierdzenie 5

Jeśli wyznacznik dwóch wektorów jest równy zeru, to albo co najmniej jeden z tych wektorów jest wektorem zerowym albo wektory są równoległe.

Przykład 3

Sprawdzimy, czy wektory \(\vec{a}=[1,3]\) i \(\vec{b}=[-2,-6]\) są równoległe. W tym celu obliczamy wyznacznik wektorów:

\(\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&3\\-2&-6 \end{vmatrix}=1\cdot (-6)-3\cdot(-2)=-6+6=0\)

Ponieważ wyznacznik wektorów niezerowych jest równy zero, wektory te są równoległe.

Pole równoległoboku i pole trójkąta

Pole równoległoboku i pole trójkąta

Twierdzenie 6

Pole \(P\) równoległoboku wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory zaczepione we wspólnym początku jest równe modułowi wyznacznika \(W\) tych wektorów.

\(W=\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x\)

\(P=|W|\)

Twierdzenie 7

Pole równoległoboku i pole trójkąta

Pole trójkąta wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory zaczepione we wspólnym początku jest równe połowie modułu wyznacznika tych wektorów.

\(W=\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x\)

\(P=\frac{1}{2}|W|\)

Przykład 4

Wyznaczyć pole trójkąta wyznaczonego przez wektory \([-1,1]\) i \([4,3]\).

Korzystamy z powyższego twierdzenia i obliczamy wyznacznik wektorów:

\(W=\begin{vmatrix} -1&1\\4&3 \end{vmatrix}=(-1)\cdot 3-1\cdot 4=-3-4=-7\)

\(P=|-7|=7\)

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Wektory \(\vec{a}=[1,2], \vec{b}=[-3,4]\) wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Zbadać, czy wektory \(\vec{a}=[4,8], \vec{b}=[2,-1]\) są prostopadłe.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3.

Jaki kąt tworzą ze sobą wektory \(\vec{a}, \vec{b}\), jeżeli ich iloczyn skalarny jest równy \(1\), a długości tych wektorów są równe odpowiednio \(2\) i \(1\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4.

Dany jest wektor \(\vec{a}=[4,-5]\). Oblicz \(\vec{a}\circ 2\vec{a}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5.

Dane są wektory \(\vec{a}=2\vec{i}-4\vec{j}, \vec{b}=2\vec{i}+3\vec{j}\). Oblicz \(\vec{a}\circ \vec{b}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6.

Czy trójkąt wyznaczony przez wektory \(\vec{a}=[-2,4], \vec{b}=[3,1]\) jest trójkątem prostokątnym?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7.

Zbadać, czy wektory \(\vec{a}=[12,24], \vec{b}=[-3,-6]\) są równoległe.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8.

Dla jakiej wartości parametru \(m\) wektory \(\vec{a}=[2,-3], \vec{b}=[5,3m]\) są równoległe.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9.

Dla jakiej wartości parametru \(m\) wektory \(\vec{a}=[m,3], \vec{b}=[4,-2m+1]\) są prostopadłe?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10.

Dany jest wektor \(\vec{AB}=[2,5]\) zaczepiony w punkcie \(A=(1,1)\). Znaleźć taki punkt \(C\), leżący na prostej \(y=2\), że pole trójkąta \(ABC\) jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11.

Oblicz pole rombu \(ABCD\), jeżeli wiadomo, że \(A=(2,0), B=(3,2), C=(2,4), D=(1,2)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12.

Obliczyć pole równoległoboku \(ABCD\), jeżeli wiadomo, że \(A=(1,1), B=(5,1), C=(7,3), D=(3,3)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2010-12-12, A-1052
Data aktualizacji artykułu: 2023-07-11



©® Media Nauka 2008-2023 r.