Iloczyn skalarny
Co to jest iloczyn skalarny wektorów? Mnożenie skalarne wektorów nie jest jedynym działaniem iloczynu na wektorach. Pamiętajmy, że jest jeszcze mnożenie wektora przez skalar.
Istnieją dwa pojęcia iloczynu wektorów. Wynikiem jednego iloczynu jest liczba (skalar) i iloczyn ten nazywamy iloczynem skalarnym, wynikiem drugiego iloczynu jest wektor - iloczyn ten nazywamy iloczynem wektorowym. W niniejszym artykule zajmiemy się tylko iloczynem skalarnym.
Definicja
Iloczyn skalarny dwóch wektorów
i
jest to liczba równa iloczynowi modułów (długości) tych wektorów i cosinusa kąta między nimi w przypadku, gdy są to wektory niezerowe i równa zeru, gdy jeden lub drugi wektor jest wektorem zerowym. Iloczyn skalarny oznaczamy następująco:

Powyższy wzór na iloczyn skalarny wykorzystamy w przykładowym zadaniu:
Przykład
Dla przykładu obliczymy iloczyn wektorów i
, jeżeli wiadomo, że kąt między tymi wektorami ma miarę 90°.
Obliczamy najpierw moduły wektorów:
obliczamy iloczyn skalarny:
Twierdzenie
Iloczyn skalarny dwóch wektorów równa się sumie iloczynów równoimiennych współrzędnych tych wektorów:

Przykład
Zastosujemy powyższe twierdzenie do wyznaczenia iloczynu skalarnego wektorów z powyższego zadania:
Własności iloczynu skalarnego
Twierdzenie
Własności iloczynu skalarnego:
- iloczyn skalarny jest przemienny, tzn.
,
- iloczyn skalarny jest łączny względem mnożenia przez liczbę, tzn.
,
- iloczyn skalarny jest rozdzielny względem dodawania wektorów, tzn.
,
- iloczyn skalarny jest równy zeru, gdy jeden lub drugi z wektorów jest wektorem zerowym lub wektory są prostopadłe,
- iloczyn skalarny wektora przez ten sam wektor jest równy kwadratowi modułu tego wektora:
,
- jeśli
są wersorami prostokątnego układu kartezjańskiego, to:
,
,
.
Zastosowanie iloczynu skalarnego
Iloczyn skalarny ma zastosowanie w matematyce i fizyce. Tutaj skupimy się na zastosowaniu iloczynu skalarnego wektorów w geometrii

Prostopadłość wektorów
Kiedy wektory są prostopadłe do siebie?
Twierdzenie
Jeśli dwa niezerowe wektory są prostopadłe, to ich iloczyn skalarny jest równy zeru.
Twierdzenie
Jeśli iloczyn skalarny dwóch wektorów jest równy zeru, to co najmniej jeden z nich jest wektorem zerowym lub wektory są prostopadłe
Równoległość wektorów
Kiedy dwa wektory są równoległe do siebie?
Twierdzenie
Jeżeli dwa niezerowe wektory są równoległe, to wyznacznik tych wektorów jest równy zeru:
Twierdzenie
Jeśli wyznacznik dwóch wektorów jest równy zeru, to albo co najmniej jeden z tych wektorów jest wektorem zerowym albo wektory są równoległe.
Przykład
Sprawdzimy, czy wektory i
są równoległe. w tym celu obliczamy wyznacznik wektorów:
Ponieważ wyznacznik wektorów niezerowych jest równy zero, wektory te są równoległe.

Pole równoległoboku i pole trójkąta
Twierdzenie
Pole P równoległoboku wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory zaczepione we wspólnym początku jest równe modułowi wyznacznika W tych wektorów.
Twierdzenie
Pole trójkąta wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory zaczepione we wspólnym początku jest równe połowie modułu wyznacznika tych wektorów.
Przykład
Wyznaczyć pole trójkąta wyznaczonego przez wektory [-1,1] i [4,3].
Korzystamy z powyższego twierdzenia i obliczamy wyznacznik wektorów:
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 3.
Jaki kąt tworzą ze sobą wektory
Zadanie nr 6.
Czy trójkąt wyznaczony przez wektory![\vec{a}=[-2,4],\ \vec{b}=[3,1]](matematyka/wzory/zad691/1.gif)
Zadanie nr 10.
Dany jest wektor![\vec{AB}=[2,5]](matematyka/wzory/zad621/1.gif)
Zadanie nr 11.
Oblicz pole rombu ABCD, jeżeli wiadomo, że A=(2,0), B=(3,2), C=(2,4), D=(1,2).Zadanie nr 12.
Obliczyć pole równoległoboku ABCD, jeżeli wiadomo, że A=(1,1), B=(5,1), C=(7,3), D=(3,3).Inne zagadnienia z tej lekcji
© medianauka.pl, 2010-12-12, ART-1052