Logo Serwisu Media Nauka

Iloczyn skalarny wektorów

Teoria Istnieją dwa pojęcia iloczynu wektorów. Wynikiem jednego iloczynu jest liczba (skalar) i iloczyn ten nazywamy iloczynem skalarnym, wynikiem drugiego iloczynu jest wektor - iloczyn ten nazywamy iloczynem wektorowym. W niniejszym artykule zajmiemy się tylko iloczynem skalarnym.

Definicja Definicja

Iloczyn skalarny dwóch wektorów \vec{a} i \vec{b} jest to liczba równa iloczynowi modułów (długości) tych wektorów i cosinusa kąta między nimi w przypadku, gdy są to wektory niezerowe i równa zeru, gdy jeden lub drugi wektor jest wektorem zerowym. Iloczyn skalarny oznaczamy następująco:

\vec{a}\circ \vec{b}=ab \cdot \cos{(\vec{a},\vec{b})}

Przykład Przykład

Dla przykładu obliczymy iloczyn wektorów \vec{a}=[1,2] i \vec{b}=[-4,2], jeżeli wiadomo, że kąt między tymi wektorami ma miarę 90°.

Obliczamy najpierw moduły wektorów:
|\vec{a}|=a=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\\ |\vec{b}|=b=\sqrt{(-4)^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}
obliczamy iloczyn skalarny:
\vec{a}\circ \vec{b}=ab\cdot cos{(\vec{a}, \vec{b})}=\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}\cdot \cos{90^o}=10\cdot 0 = 0

Twierdzenie Twierdzenie

Iloczyn skalarny dwóch wektorów równa się sumie iloczynów równoimiennych współrzędnych tych wektorów:

\vec{a}\circ \vec{b}=a_xb_x+a_yb_y

Przykład Przykład

Zastosujemy powyższe twierdzenie do wyznaczenia iloczynu skalarnego wektorów z powyższego zadania:
\vec{a}\circ \vec{b}=1\cdot (-4)+2\cdot2=4-4=0

Własności iloczynu skalarnego

Twierdzenie Twierdzenie

Własności iloczynu skalarnego:

  • iloczyn skalarny jest przemienny, tzn. \vec{a}\circ \vec{b}=\vec{b}\circ \vec{a},
  • iloczyn skalarny jest łączny względem mnożenia przez liczbę, tzn. (k\vec{a})\circ \vec{b}=k(\vec{a}\circ \vec{b}),
  • iloczyn skalarny jest rozdzielny względem dodawania wektorów, tzn. (\vec{a}+\vec{b})\circ \vec{c}=\vec{a}\circ \vec{c}+\vec{b}\circ \vec{c},
  • iloczyn skalarny jest równy zeru, gdy jeden lub drugi z wektorów jest wektorem zerowym lub wektory są prostopadłe,
  • iloczyn skalarny wektora przez ten sam wektor jest równy kwadratowi modułu tego wektora: \vec{a}\circ \vec{a}=a^2,
  • jeśli \vec{i}, \ \vec{j}wersorami prostokątnego układu kartezjańskiego, to: \vec{i}\circ \vec{i}=1, \vec{j}\circ \vec{j}=1, \vec{i}\circ \vec{j}=0.

© medianauka.pl, 2010-12-12, ART-1052





Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zbiór zadań związany
z niniejszym artykułem.


zadanie-ikonka Zadanie - iloczyn skalarny wektorów
Zbadać, czy wektory \vec{a}=[4,8], \ \vec{b}=[2,-1] są prostopadłe.

zadanie-ikonka Zadanie - iloczyn skalarny wektorów
Jaki kąt tworzą ze sobą wektory \vec{a}, \ \vec{b}, jeżeli ich iloczyn skalarny jest równy 1, a długości tych wektorów są równe odpowiednio 2 i 1?

zadanie-ikonka Zadanie - iloczyn skalarny wektorów
Dany jest wektor \vec{a}=[4,-5]. Oblicz \vec{a}\circ 2\vec{a}.

zadanie-ikonka Zadanie - iloczyn skalarny wektorów
Dane są wektory \vec{a}=2\vec{i}-4\vec{j},\ \vec{b}=2\vec{i}+3\vec{j}. Oblicz \vec{a}\circ \vec{b}.




Polecamy koszyk



© Media Nauka 2008-2017 r.