Iloczyn skalarny

Co to jest iloczyn skalarny wektorów? Mnożenie skalarne wektorów nie jest jedynym działaniem iloczynu na wektorach. Pamiętajmy, że jest jeszcze mnożenie wektora przez skalar.

Istnieją dwa pojęcia iloczynu wektorów. Wynikiem jednego iloczynu jest liczba (skalar) i iloczyn ten nazywamy iloczynem skalarnym, wynikiem drugiego iloczynu jest wektor - iloczyn ten nazywamy iloczynem wektorowym. W niniejszym artykule zajmiemy się tylko iloczynem skalarnym.

Definicja

Iloczyn skalarny dwóch wektorów $\vec{a}$ i $\vec{b}$ jest to liczba równa iloczynowi modułów (długości) tych wektorów i cosinusa kąta między nimi w przypadku, gdy są to wektory niezerowe i równa zeru, gdy jeden lub drugi wektor jest wektorem zerowym. Iloczyn skalarny oznaczamy następująco:

$\vec{a}\circ \vec{b}=ab \cdot \cos{(\vec{a},\vec{b})}$

Powyższy wzór na iloczyn skalarny wykorzystamy w przykładowym zadaniu:

Przykład

Dla przykładu obliczymy iloczyn wektorów $\vec{a}=[1,2]$ i $\vec{b}=[-4,2]$ , jeżeli wiadomo, że kąt między tymi wektorami ma miarę 90°.

Obliczamy najpierw moduły wektorów:
$|\vec{a}|=a=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\\ |\vec{b}|=b=\sqrt{(-4)^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
obliczamy iloczyn skalarny:
$\vec{a}\circ \vec{b}=ab\cdot cos{(\vec{a}, \vec{b})}=\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}\cdot \cos{90^o}=10\cdot 0 = 0$

Twierdzenie

Iloczyn skalarny dwóch wektorów równa się sumie iloczynów równoimiennych współrzędnych tych wektorów:

$\vec{a}\circ \vec{b}=a_xb_x+a_yb_y$

Przykład

Zastosujemy powyższe twierdzenie do wyznaczenia iloczynu skalarnego wektorów z powyższego zadania:
$\vec{a}\circ \vec{b}=1\cdot (-4)+2\cdot2=4-4=0$

Własności iloczynu skalarnego

Twierdzenie

Własności iloczynu skalarnego:

iloczyn skalarny jest przemienny, tzn. $\vec{a}\circ \vec{b}=\vec{b}\circ \vec{a}$ ,
iloczyn skalarny jest łączny względem mnożenia przez liczbę, tzn. $(k\vec{a})\circ \vec{b}=k(\vec{a}\circ \vec{b})$ ,
iloczyn skalarny jest rozdzielny względem dodawania wektorów, tzn. $(\vec{a}+\vec{b})\circ \vec{c}=\vec{a}\circ \vec{c}+\vec{b}\circ \vec{c}$ ,
iloczyn skalarny jest równy zeru, gdy jeden lub drugi z wektorów jest wektorem zerowym lub wektory są prostopadłe,
iloczyn skalarny wektora przez ten sam wektor jest równy kwadratowi modułu tego wektora: $\vec{a}\circ \vec{a}=a^2$ ,
jeśli $\vec{i}, \ \vec{j}$ są wersorami prostokątnego układu kartezjańskiego, to: $\vec{i}\circ \vec{i}=1$ , $\vec{j}\circ \vec{j}=1$ , $\vec{i}\circ \vec{j}=0$ .

Zastosowanie iloczynu skalarnego

Iloczyn skalarny ma zastosowanie w matematyce i fizyce. Tutaj skupimy się na zastosowaniu iloczynu skalarnego wektorów w geometrii

Prostopadłość wektorów

Kiedy wektory są prostopadłe do siebie?

Twierdzenie

Jeśli dwa niezerowe wektory są prostopadłe, to ich iloczyn skalarny jest równy zeru.

Twierdzenie

Jeśli iloczyn skalarny dwóch wektorów jest równy zeru, to co najmniej jeden z nich jest wektorem zerowym lub wektory są prostopadłe

Równoległość wektorów

Kiedy dwa wektory są równoległe do siebie?

Twierdzenie

Jeżeli dwa niezerowe wektory są równoległe, to wyznacznik tych wektorów jest równy zeru:

$\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x=0$

Twierdzenie

Jeśli wyznacznik dwóch wektorów jest równy zeru, to albo co najmniej jeden z tych wektorów jest wektorem zerowym albo wektory są równoległe.

Przykład

Sprawdzimy, czy wektory $\vec{a}=[1,3]$ i $\vec{b}=[-2,-6]$ są równoległe. w tym celu obliczamy wyznacznik wektorów:

$\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&3\\-2&-6 \end{vmatrix}=1\cdot (-6)-3\cdot(-2)=-6+6=0$

Ponieważ wyznacznik wektorów niezerowych jest równy zero, wektory te są równoległe.

Pole równoległoboku i pole trójkąta

Twierdzenie

Pole P równoległoboku wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory zaczepione we wspólnym początku jest równe modułowi wyznacznika W tych wektorów.

$W=\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x\\ P=|W|$

Pole równoległoboku i pole trójkąta

Twierdzenie

Pole trójkąta wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory zaczepione we wspólnym początku jest równe połowie modułu wyznacznika tych wektorów.

$W=\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x\\ P=\frac{1}{2}|W|$

Przykład

Wyznaczyć pole trójkąta wyznaczonego przez wektory [-1,1] i [4,3].

Korzystamy z powyższego twierdzenia i obliczamy wyznacznik wektorów:

$W=\begin{vmatrix} -1&1\\4&3 \end{vmatrix}=(-1)\cdot 3-1\cdot 4=-3-4=-7\\ P=|-7|=7$

Zadania z rozwiązaniami

Zadania związane z tematem:
Iloczyn skalarny

Zadanie - pole trójkąta
Wektory $\vec{a}=[1,2], \ \vec{b}=[-3,4]$ wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - iloczyn skalarny wektorów
Zbadać, czy wektory $\vec{a}=[4,8], \ \vec{b}=[2,-1]$ są prostopadłe.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - iloczyn skalarny wektorów
Jaki kąt tworzą ze sobą wektory $\vec{a}, \ \vec{b}$ , jeżeli ich iloczyn skalarny jest równy 1, a długości tych wektorów są równe odpowiednio 2 i 1?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - iloczyn skalarny wektorów
Dany jest wektor $\vec{a}=[4,-5]$ . Oblicz $\vec{a}\circ 2\vec{a}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - iloczyn skalarny wektorów
Dane są wektory $\vec{a}=2\vec{i}-4\vec{j},\ \vec{b}=2\vec{i}+3\vec{j}$ . Oblicz $\vec{a}\circ \vec{b}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie iloczynu skalarnego
Czy trójkąt wyznaczony przez wektory $\vec{a}=[-2,4],\ \vec{b}=[3,1]$ jest trójkątem prostokątnym?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie iloczynu skalarnego
Zbadać, czy wektory $\vec{a}=[12,24],\ \vec{b}=[-3,-6]$ są równoległe.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie iloczynu skalarnego
Dla jakiej wartości parametru m wektory $\vec{a}=[2,-3],\ \vec{b}=[5,3m]$ są równoległe.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie iloczynu skalarnego
Dla jakiej wartości parametru m wektory $\vec{a}=[m,3],\ \vec{b}=[4,-2m+1]$ są prostopadłe?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Dany jest wektor $\vec{AB}=[2,5]$ zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.