Nauka » Matematyka » Iloczyn skalarny

Zadanie - zastosowanie iloczynu skalarnego

Czy trójkąt wyznaczony przez wektory $\vec{a}=[-2,4],\ \vec{b}=[3,1]$ jest trójkątem prostokątnym?

Rozwiązanie zadania uproszczone

$\vec{a}\circ \vec{b}=-2\cdot 3+4\cdot 1=-6+4=-2\neq 0$
Trójkąt nie jest prostokątny.

Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami

Sporządźmy szkic:

szkic do zadania 691, wektory w układzie współrzędnych

Musimy rozstrzygnąć, czy kąt zaznaczony na rysunku jest kątem prosty. Skorzystamy z własności iloczynu skalarnego. Jeśli dwa niezerowe wektory są prostopadłe, to ich iloczyn skalarny jest równy zeru.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów równa się sumie iloczynów równoimiennych współrzędnych tych wektorów:

$\vec{a}\circ \vec{b}=a_xb_x+a_yb_y$

Mamy więc:

$\vec{a}=[-2,4],\ \vec{b}=[3,1]\\ \vec{a}\circ \vec{b}=-2\cdot 3+4\cdot 1=-6+4=-2\neq 0$

Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest różny od zera, a więc wektory te nie są prostopadłe.

Odpowiedź

Wektory te nie wyznaczają trójkąta prostokątnego.

Zadania podobne

Zadanie - pole trójkąta
Wektory $\vec{a}=[1,2], \ \vec{b}=[-3,4]$ wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole trójkąta
Dany jest wektor $\vec{AB}=[2,5]$ zaczepiony w punkcie A=(1,1). Znaleźć taki punkt C, leżący na prostej y=2, że pole trójkąta ABC jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - pole powierzchni rombu
Oblicz pole rombu ABCD, jeżeli wiadomo, że A=(2,0), B=(3,2), C=(2,4), D=(1,2).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równoległobok
Obliczyć pole równoległoboku ABCD, jeżeli wiadomo, że A=(1,1), B=(5,1), C=(7,3), D=(3,3).

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - iloczyn skalarny wektorów
Zbadać, czy wektory $\vec{a}=[4,8], \ \vec{b}=[2,-1]$ są prostopadłe.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - iloczyn skalarny wektorów
Jaki kąt tworzą ze sobą wektory $\vec{a}, \ \vec{b}$ , jeżeli ich iloczyn skalarny jest równy 1, a długości tych wektorów są równe odpowiednio 2 i 1?

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - iloczyn skalarny wektorów
Dany jest wektor $\vec{a}=[4,-5]$ . Oblicz $\vec{a}\circ 2\vec{a}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - iloczyn skalarny wektorów
Dane są wektory $\vec{a}=2\vec{i}-4\vec{j},\ \vec{b}=2\vec{i}+3\vec{j}$ . Oblicz $\vec{a}\circ \vec{b}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie iloczynu skalarnego
Zbadać, czy wektory $\vec{a}=[12,24],\ \vec{b}=[-3,-6]$ są równoległe.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie iloczynu skalarnego
Dla jakiej wartości parametru m wektory $\vec{a}=[2,-3],\ \vec{b}=[5,3m]$ są równoległe.

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - zastosowanie iloczynu skalarnego
Dla jakiej wartości parametru m wektory $\vec{a}=[m,3],\ \vec{b}=[4,-2m+1]$ są prostopadłe?

Pokaż rozwiązanie zadania