Iloczyn wektorowy

Co to jest iloczyn wektorowy? Na wstępie należy zaznaczyć, że nie jest to jedyny iloczyn dwóch wektorów. Iloczyn wektorowy daje w wyniku wektor, natomiast jest określone jeszcze tak zwany iloczyn skalarny, którego wynikiem jest liczba.

Definicja

Iloczyn wektorowy wektorów \(\vec{a}\) oraz \(\vec{b}\) nazywamy taki wektor \(\vec{c}\), że:

jego kierunek jest prostopadły do płaszczyzny, na której leżą wektory \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\),
jego zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej,
jego długość jest równa \(a\cdot b\cdot \sin{\alpha}\), gdzie \(\alpha\) jest miarą kąta między tymi wektorami.

Iloczyn wektorowy oznaczamy następująco:

\(\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}\)

Iloczyn wektorowy — wzory

Podstawowy wzór przydatny w zadaniach z rachunku wektorowego jest następujący:

\(|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \sin{\angle{(\vec{a},\vec{b})}}\)

Wzór ten pozwala wyznaczyć, jaką długość ma iloczyn wektorowy. Jest on równy iloczynowi długości dwóch wektorów i sinusowi kąta między nimi.

Zauważ, że w odróżnieniu od iloczynu skalarnego, wynikiem iloczynu wektorowego jest wektor, a nie skalar.

iloczyn-wektorowy

Własności iloczynu wektorowego

Uwaga! Iloczyn wektorowy nie jest przemienny.

\(\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}\)

Między współrzędnymi poszczególnych wektorów w iloczynie wektorowym zachodzą pewne zależności. Jeżeli \(\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}\), to:

\(\vec{a}=[a_x,a_y,a_z]\)

\(\vec{b}=[b_x,b_y,b_z]\)

\(\vec{c}=[c_x,c_y,c_z]\)

\(c_x=a_yb_z-a_zb_y\)

\(c_y=a_zb_x-a_xb_z\)

\(c_z=a_xb_y-a_yb_x\)

Prawo rozdzielności mnożenia wektorowego wektorów względem dodawania wektorów:

\(\vec{a}\times (\vec{b}+ \vec{c})=\vec{a}\times \vec{b}+\vec{a}\times \vec{c}\)

Prawo łączności mnożenia wektorowego wektorów przez skalar \(s\):

\(s(\vec{a}\times \vec{b})=(s\vec{a})\times \vec{b}\)

Oznaczanie wektorów prostopadłych

Jak narysować wektor prostopadły do płaszczyzny, na którą patrzymy? Stosuje się następujące oznaczenia:

\(\odot\) — oznacza wektor prostopadły do płaszczyzny, na którą patrzysz, zwrócony do patrzącego,

\(\otimes\) — oznacza wektor prostopadły do płaszczyzny, na którą patrzysz, zwrócony za tę płaszczyznę.

Pytania

Gdzie stosuje się iloczyn wektorowy?

Iloczyn wektorowy ma duże zastosowanie w fizyce — na przykład w ruchu obrotowym i w teorii pola elektromagnetycznego.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.