Iloczyn wektorowy

Co to jest iloczyn wektorowy? Na wstępie należy zaznaczyć, że nie jest to jedyny iloczyn dwóch wektorów. Iloczyn wektorowy daje w wyniku wektor, natomiast jest określone jeszcze tak zwany iloczyn skalarny, którego wynikiem jest liczba.

Definicja

Iloczyn wektorowy wektorów $\vec{a}$ oraz $\vec{b}$ nazywamy taki wektor $\vec{c}$ , że:

jego kierunek jest prostopadły do płaszczyzny, na której leżą wektory $\vec{a}$ i $\vec{b}$ ,
jego zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej,
jego długość jest równa , gdzie alfa jest katem między tymi wektorami.

Iloczyn wektorowy oznaczamy następująco:

Zauważ, że w odróżnieniu od iloczynu skalarnego, wynikiem iloczynu wektorowego jest wektor, a nie skalar.

iloczyn-wektorowy

Własności iloczynu wektorowego

Uwaga! Iloczyn wektorowy nie jest przemienny.

$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$

Między współrzędnymi poszczególnych wektorów w iloczynie wektorowym zachodzą pewne zależności. Jeżeli , to:

$\vec{a}=[a_x,a_y,a_z]\\\vec{b}=[b_x,b_y,b_z]\\\vec{c}=[c_x,c_y,c_z]\\c_x=a_yb_z-a_zb_y\\c_y=a_zb_x-a_xb_z\\c_z=a_xb_y-a_yb_x$

Iloczyn wektorowy ma spore zastosowanie w fizyce na przykład w ruchu obrotowym i w teorii pola elektromagnetycznego.

Prawo rozdzielności mnożenia wektorowego wektorów względem dodawania wektorów:

a×(b+c)=a×b+a×c

Prawo łączności mnożenia wektorowego wektorów przez skalar s:

s(a×b)=(sa)×b

Oznaczanie wektorów prostopadłych

Jak narysować wektor prostopadły do płaszczyzny na którą patrzymy? Stosuje się następujące oznaczenia:

$\odot$ - oznacza wektor prostopadły do płaszczyzny na którą patrzysz, zwrócony do patrzącego,

- oznacza wektor prostopadły do płaszczyzny na którą patrzysz, zwrócony za tę płaszczyznę.

Iloczyn wektorowy - wzory

Podstawowy wzór przydatny w zadaniach z rachunku wektorowego jest następujący:

|a×b|=|a||b|sin∠(a,b)

Wektory oznaczono pogrubioną czcionką. Wzór ten pozwala wyznaczyć jaką długość ma iloczyn wektorowy. Jest on równy iloczynowi długości dwóch wektorów i sinusowi kąta między nimi.