Dodawanie wektorów

Wektory podlegają podobnym działaniom jak skalary, jednak zasady dodawania i odejmowania wektorów zasadniczo różnią się od sposobu dodawania i odejmowania liczb.

Warto poznać różne metody działań na wektorach, zarówno graficzne, jak i algebraiczne. Zostaną one opisane w kolejnych częściach lekcji.

Poznasz więc metodę trójkąta, metodę graficzną dodawania wektorów, dodawanie i odejmowanie wektorów równoległych. W niniejszej lekcji zostały również omówione działania na współrzędnych wektorów.

Suma wektorów metodą trójkąta

Metoda trójkąta jest to geometryczna metoda dodawania wektorów.

suma wektorów, dodawanie wektorów - metoda trójkąta - animacja

Za pomocą przesunięcia równoległego przesuwamy wektor \(\vec{b}\) tak, aby początek wektora \(\vec{b}\) znalazł się w końcu wektora \(\vec{a}\).
Sumę wektorów \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) otrzymujemy łącząc początek wektora \(\vec{a}\) z końcem wektora \(\vec{b}\)

Dodawanie wektorów metodą równoległoboku

Metoda równoległoboku jest to również geometryczna metoda dodawania wektorów.

metoda równoległoboku - animacja

Za pomocą przesunięcia równoległego przesuwamy wektor \(\vec{b}\) tak, aby początek wektora \(\vec{b}\) znalazł się w początku wektora \(\vec{a}\).
Budujemy równoległobok oparty o wektory \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\).
Sumę wektorów \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) otrzymujemy łącząc początek wektorów \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) naprzeciwległym wierzchołkiem równoległoboku.

Suma wielu wektorów — metoda graficzna

suma wielu wektorów - animacja

Za pomocą przesunięcia równoległego przesuwamy wektory tak, aby początek kolejnego wektora znajdował się w końcu poprzedniego wektora. Tworzymy w ten sposób „łańcuch” wektorów.
Sumę wektorów otrzymujemy, łącząc początek pierwszego wektora z końcem ostatniego.

Dodawanie wektorów równoległych

Wektory równoległe najłatwiej dodawać, stosując metodę trójkąta, czyli do końca jednego wektora przesuwamy początek drugiego. Sumę wektorów otrzymujemy, łącząc początek pierwszego z końcem drugiego wektora. Oto dwa przykłady:

suma wektorów równoległych - animacja

Dodawanie wektorów — wzór

Jeżeli mamy dane współrzędne wektorów, to prawdziwe jest twierdzenie:

Twierdzenie

Jeżeli \(\vec{a}=[a_x,a_y],\ \vec{b}=[b_x,b_y], \ k\in \mathbb{R}\), to:

\(\vec{a}+\vec{b}=[a_x+b_x,a_y+b_y]\)

Powyższy wzór na dodawanie wektorów zastosujemy w poniższym przykładzie.

Przykład 1

Dane są wektory:\(\vec{a}=[3,4], \vec{b}=[1,2]\).

Obliczamy sumę wektorów: \(\vec{a}+\vec{b}=[3+1,4+2]=[4,6]\)

Jeśli wektor jest wyrażony jako suma wersorów układu mnożonych przez odpowiednie współrzędne wektorów, wówczas sumując je lub odejmując od siebie, sumujemy lub odejmujemy odpowiednie składowe wektorów, grupując je.

Przykład 2

Dane są wektory:

\(\vec{a}=5\vec{i}-2\vec{j}\)

\(\vec{b}=-2\vec{i}+2\vec{j}\)

Znaleźć sumę tych wektorów.

Wykonujemy więc dodawanie wektorów:

\(\vec{a}+\vec{b}=5\vec{i}-2\vec{j}+(-2\vec{i}+2\vec{j})=5\vec{i}-2\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{j}=\)

\(=(5-2)\vec{i}+(-2+2)\vec{j}=3\vec{i}+0\cdot \vec{j}=3\vec{i}\)

Pytania

Gdzie znajduje zastosowanie dodawanie wektorów?

Powszechnie dodawanie wektorów stosuje się w fizyce i technice dla sumowania wielkości wektorowych, na przykład prędkości, przyspieszenia, a także dla wyznaczania siły wypadkowej wielu sił działających na dane ciało.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Dany jest prostokąt \(ABCD\). Zaznacz na rysunku wektory:

\(\vec{a}=\vec{AB}+\vec{BC},\ \vec{b}=\vec{AD}+\vec{BA}\)

\(\vec{c}=\vec{DC}+\vec{AB},\ \vec{d}=\vec{AB}+\vec{CB}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\). Zaznacz na rysunku wektory:

\(\vec{a}=\vec{AB}+\vec{BC},\ \vec{b}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD},\)

\(\vec{c}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DA},\ \vec{d}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{DC}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Dane są wektory \(\vec{a}, \vec{b}\), pokazane na poniższym rysunku. Znaleźć graficznie wektor \(\vec{c}\), jeżeli wiadomo, że \(\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}\).

Wektory

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć graficznie sumę wektorów \(\vec{a}=[-2,3], \vec{b}=[2,1]\):

a) metodą trójkąta

b) metodą równoległoboku.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Dane są wektory \(\vec{a}=[-2,3], \vec{b}=[3,-3], \vec{c}=[2,4]\). Znaleźć:

\(\vec{a}+\vec{b}\)
\(-\vec{a}+\vec{c}\)
\(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\)
\(\vec{b}-\vec{a}\)
\(\vec{c}-\vec{a}+\vec{b}\)
\(\ 5\vec{a}-3\vec{b}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dane są wektory \(\vec{a}=-5\vec{i}+6\vec{j}, \vec{b}=3\vec{i}-4\vec{j}, \vec{c}=\vec{i}-4\vec{j}\). Oblicz \(\vec{a}+\vec{b}, \vec{c}+\vec{b}, \vec{a}+\vec{b}-\vec{c}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\). Znaleźć graficznie metodą równoległoboku wektor \(\vec{AD}+\vec{BC}\) (sumę wektorów wyznaczonych przez ramiona trapezu).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Znaleźć graficznie metodą równoległoboku wektor:

a) \(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{AC}\)

b) \(\vec{CA}+\vec{BC}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Dany jest prostokąt \(ABCD\). Znaleźć graficznie wektory \(\vec{AB}+\vec{DC}, \vec{BC}+\vec{DA}, \vec{DA}-\vec{BC}, \vec{CD}-\vec{BA}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.