Dodawanie wektorów

Wektory podlegają podobnym działaniom jak skalary, jednak zasady dodawania i odejmowania wektorów zasadniczo różnią się od sposobu dodawania i odejmowania liczb.

Warto poznać różne metody działań na wektorach, zarówno graficzne jak i algebraiczne. Zostaną one opisane w kolejnych częściach lekcji.

Poznasz więc metodę trójkąta, metodę graficzną dodawania wektorów, dodawanie i odejmowanie wektorów równoległych. W niniejszej lekcji zostały również omówione działania na współrzędnych wektorów.

Suma wektorów metodą trójkąta

Jest to geometryczna metoda dodawania wektorów.

suma wektorów, dodawanie wektorów - metoda trójkąta - animacja

Za pomocą przesunięcia równoległego przesuwamy wektor $\vec{b}$ tak, aby początek wektora $\vec{b}$ znalazł się w końcu wektora $\vec{a}$ .
Sumę wektorów $\vec{a}$ i $\vec{b}$ otrzymujemy łącząc początek wektora $\vec{a}$ z końcem wektora $\vec{b}$

Dodawanie wektorów metodą równoległoboku

Jest to również geometryczna metoda dodawania wektorów.

Za pomocą przesunięcia równoległego przesuwamy wektor $\vec{b}$ tak, aby początek wektora $\vec{b}$ znalazł się w początku wektora $\vec{a}$ .
Budujemy równoległobok oparty o wektory $\vec{a}$ i $\vec{b}$ .
Sumę wektorów $\vec{a}$ i $\vec{b}$ otrzymujemy łącząc początek wektorów $\vec{a}$ i $\vec{b}$ naprzeciwległym wierzchołkiem równoległoboku.

Suma wielu wektorów - metoda graficzna

suma wielu wektorów - animacja 1) Za pomocą przesunięcia równoległego przesuwamy wektory tak, aby początek kolejnego wektora znajdował się w końcu poprzedniego wektora. Tworzymy w ten sposób "łańcuch" wektorów.
2) Sumę wektorów otrzymujemy łącząc początek pierwszego wektora z końcem ostatniego.

Dodawanie wektorów równoległych

Wektory równoległe najłatwiej dodawać stosując metodę trójkąta, czyli do końca jednego wektora przesuwamy początek drugiego. Sumę wektorów otrzymujemy łącząc początek pierwszego z końcem drugiego wektora. Oto dwa przykłady:

suma wektorów równoległych - animacja

Dodawanie wektorów - wzór

Jeżeli mamy dane współrzędne wektorów, to prawdziwe jest twierdzenie:

Twierdzenie

Jeżeli $\vec{a}=[a_x,a_y],\ \vec{b}=[b_x,b_y], \ k\in R$ , to:

$\vec{a}+\vec{b}=[a_x+b_x,a_y+b_y]$

Przykład

Dane są wektory: $\vec{a}=[3,4], \ \vec{b}=[1,2]$ .

Obliczamy sumę wektorów: $\vec{a}+\vec{b}=[3+1,4+2]=[4,6]$

Jeśli wektor jest wyrażony jako suma wersorów układu mnożonych przez odpowiednie współrzędne wektorów wówczas sumując je lub odejmując od siebie, sumujemy lub odejmujemy odpowiednie składowe wektorów, grupując je.

Przykład

Dane są wektory:
$\vec{a}=5\vec{i}-2\vec{j}\\ \vec{b}=-2\vec{i}+2\vec{j}$
Znaleźć sumę tych wektorów.

Wykonujemy więc dodawanie wektorów:

$\vec{a}+\vec{b}=5\vec{i}-2\vec{j}+(-2\vec{i}+2\vec{j})=5\vec{i}-2\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{j}=\\ =(5-2)\vec{i}+(-2+2)\vec{j}=3\vec{i}+0\cdot \vec{j}=3\vec{i}$

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Dany jest prostokąt ABCD. Zaznacz na rysunku wektory
$\vec{a}=\vec{AB}+\vec{BC},\ \vec{b}=\vec{AD}+\vec{BA},\\ \vec{c}=\vec{DC}+\vec{AB},\ \vec{d}=\vec{AB}+\vec{CB}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dany jest trapez równoramienny ABCD. Zaznacz na rysunku wektory
$\vec{a}=\vec{AB}+\vec{BC},\ \vec{b}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD},\\ \vec{c}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DA},\ \vec{d}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{DC}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Dane są wektory $\vec{a}, \ \vec{b}$ pokazane na poniższym rysunku. Znaleźć graficznie wektor $\vec{c}$ , jeżeli wiadomo, że $\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}$
Wektory

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć graficznie sumę wektorów $\vec{a}=[-2,3], \ \vec{b}=[2,1]$ ,
a) metodą trójkąta
b) metodą równoległoboku.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Dane są wektory $\vec{a}=[-2,3], \ \vec{b}=[3,-3], \vec{c}=[2,4]$ . Znaleźć:
$\vec{a}+\vec{b},\ -\vec{a}+\vec{c},\ \vec{a}+\vec{b}+\vec{c},\ \vec{b}-\vec{a},\ \vec{c}-\vec{a}+\vec{b},\ 5\vec{a}-3\vec{b}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dane są wektory $\vec{a}=-5\vec{i}+6\vec{j}, \ \vec{b}=3\vec{i}-4\vec{j}, \ \vec{c}=\vec{i}-4\vec{j}$ .
Oblicz $\vec{a}+\vec{b}, \ \vec{c}+\vec{b},\ \vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Dany jest trapez równoramienny ABCD. Znaleźć graficznie metodą równoległoboku wektor $\vec{AD}+\vec{BC}$ (sumę wektorów wyznaczonych przez ramiona trapezu).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Znaleźć graficznie metodą równoległoboku wektor:
a) $\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{AC}$
b) $\vec{CA}+\vec{BC}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Dany jest prostokąt ABCD. Znaleźć graficznie wektory
$\vec{AB}+\vec{DC}, \ \vec{BC}+\vec{DA},\ \vec{DA}-\vec{BC}, \ \vec{CD}-\vec{BA}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Odejmowanie wektorów

Opis odejmowania wektorów równoległych i nierównoległych.

Test wiedzy

Sprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.

Jak mrówki nawigują i co mają z tym wspólnego wektory?

Istnieje pewien rodzaj mrówek, który posługuje się specyficznym sposobem orientowania się w przestrzeni. Czy ma to coś wspólnego z wektorami? Otóż okazuje się, że tak!