Logo Media Nauka

Współrzędne wektora

Współrzędne wektora

To miary wektorów składowych.

Wersor

To wektor jednostkowy; wektor o długości jednostkowej, którego zwrot jest zgodny ze zwrotem prostej, na której leży.

Zaczniemy od wyjaśnienia, co to jest wektor jednostkowy (wersor).

Wektor jednostkowy - wersor

teoria Dana jest prosta, na której zaznaczono dwa punkty: O i A. Zwrot prostej jest od O do A. Jeżeli przyjmiemy, że odcinek OA jest jednostką długości (OA=1), to wektor \vec{OA} nazywać będziemy wersorem (wektorem jednostkowym). Wersory układu kartezjańskiego zwykło się oznaczać przez \vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k}.

wersor wersory w układzie współrzędnym

Miara wektora

Teoria Miarą wektora \vec{a} na osi OX nazywać będziemy liczbę ax równą długości tego wektora wziętej ze znakiem "plus", jeżeli zwrot wektora jest zgodny ze zwrotem osi OX, natomiast ze znakiem "minus", jeżeli zwrot wektora jest przeciwny do zwrotu osi OX.

Przykład Przykład

wektory - ilustracja

W zilustrowanym przykładzie miarą wektora \vec{a} jest liczba -3, natomiast miarą wektora \vec{b} jest liczba 2.

Współrzędne wektora - definicja

Współrzędne wektora zdefiniujemy jako miary wszystkich wektorów składowych.

Współrzędne wektora zapisujemy w nawiasach kwadratowych.

Przykłady

Przykład Przykład

miara wektora - ilustracja

W powyższym przykładzie \vec{a}=[4,1], gdyż miarą składowej \vec{a_x} jest liczba 4, natomiast miarą składowej \vec{a_y} jest liczba 1.


Przykład Przykład

wektory w układzie współrzędnym - przykłady

Wektory zilustrowane na powyższym rysunku mają następujące współrzędne:

\vec{a}=[2,3]\\ \vec{b}=[-1,-1]\\ \vec{c}=[2,-2]\\ \vec{d}=[2,1]

Własności współrzędnych wektorów

Twierdzenie Twierdzenie

Jeśli wektor \vec{a}=\vec{AB} leży na osi OX, to zachodzi równość: a_x=x_B-x_A

rysunek

Przykład Przykład

Punkt A ma współrzędną -2, punkt B ma współrzędną 2. Jaka jest współrzędna wektora \vec{a}=\vec{AB}?

Korzystamy z powyższego twierdzenia i mamy: a_x=x_B-x_A=2-(-2)=4

Twierdzenie Twierdzenie

Dowolny wektor na płaszczyźnie można przedstawić jako sumę wersorów układu pomnożonych przez odpowiednie współrzędne wektora:

\vec{v}=v_x\vec{i}+v_y\vec{j}

Twierdzenie Twierdzenie

Dowolny wektor w przestrzeni można przedstawić jako sumę wersorów układu pomnożonych przez odpowiednie współrzędne wektora:

\vec{v}=v_x\vec{i}+v_y\vec{j}+v_z\vec{k}

Przykład Przykład

Wektor \vec{a}=[-2,1,8] można przedstawić jako \vec{a}=-2\vec{i}+\vec{j}+8\vec{k}

Twierdzenie Twierdzenie

Jeżeli wektor \vec{a}=\vec{AB} leży na płaszczyźnie OXY, to zachodzą równości:

a_x=x_B-x_A\\ a_y=y_B-y_A

Powyższe twierdzenie pozwala nam wyznaczyć w prosty sposób współrzędne wektora, gdy dane są współrzędne jego początku i końca.

Przykład Przykład

Dane są punkty A=(3,-1) oraz B=(-2,4). Wyznaczyć współrzędne wektora \vec{a}=\vec{AB}

Korzystamy z powyższego twierdzenia i mamy:

a_x=x_B-x_A=-2-3=-5\\ a_y=y_B-y_A=4-(-1)=5

Mamy więc: \vec{a}=[-5,5]

Zilustrujemy to jeszcze rysunkiem.

ilustracja

Ćwiczenia

AplikacjaSymulacja

Poniższa symulacja pozwala obserwować jak zmieniają się współrzędne wektora w zależności od jego położenia w układzie współrzędnych.


Pobierz odtwarzacz Adobe Flash Player

Pytania

Jak obliczyć współrzędne wektora?

Wyżej opisujemy analityczny sposób określania współrzędnych wektora. Tu pozwolimy sobie na bardziej swobodny opis. Spójrzmy na rysunek.

ilustracja

Aby obliczyć współrzędne naszego wektora \vec{a}=\vec{AB} wystarczy naszkicować sobie jego składowe i określić ich długość, a znak przyjąć zgodny ze zwrotem osi. Tu składowa x ma 5 jednostek, jest zwrócona przeciwnie do osi OX, a składowa y ma również 5 jednostek, a jej zwrot jest zgodny z osią OY. Stąd nasz wektor ma współrzędne [-5,5].

Jaki jest wzór na długość wektora?

Długość wektora omawiamy w kolejnym artykule, tu jednak podamy odpowiednie wzory:

|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}

|\vec{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Działania na współrzędnych wektorów

Twierdzenie Twierdzenie

Jeżeli \vec{a}=[a_x,a_y],\ \vec{b}=[b_x,b_y], \ k\in R, to:

\vec{a}+\vec{b}=[a_x+b_x,a_y+b_y]
\vec{a}-\vec{b}=[a_x-b_x,a_y-b_y]
k\vec{a}=[ka_x,ka_y]

Przykład Przykład

Dane są wektory:\vec{a}=[3,4], \ \vec{b}=[1,2].

Obliczamy sumę wektorów: \vec{a}+\vec{b}=[3+1,4+2]=[4,6]
Obliczamy różnicę wektorów: \vec{a}-\vec{b}=[3-1,4-2]=[2,2]
Obliczamy różnicę wektorów: \vec{b}-\vec{a}=[1-3,2-4]=[-2,-2]
Obliczamy iloczyn wektora przez liczbę k=2: 2\vec{a}=2\cdot [3,4]=[2\cdot 3,2\cdot 4]=[6,8]

Teoria Jeśli wektor jest wyrażony jako suma wersorów układu mnożonych przez odpowiednie współrzędne wektorów wówczas sumując je lub odejmując od siebie, sumujemy lub odejmujemy odpowiednie składowe wektorów, grupując je.

Przykład Przykład

Dane są wektory:
\vec{a}=5\vec{i}-2\vec{j}\\ \vec{b}=-2\vec{i}+2\vec{j}
Znaleźć sumę tych wektorów.

Wykonujemy więc dodawanie:

\vec{a}+\vec{b}=5\vec{i}-2\vec{j}+(-2\vec{i}+2\vec{j})=5\vec{i}-2\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{j}=\\ =(5-2)\vec{i}+(-2+2)\vec{j}=3\vec{i}+0\cdot \vec{j}=3\vec{i}


© medianauka.pl, 2008-04-23, ART-22





Zadania z rozwiązaniami

spis treści
Zadania związane z tematem:
Współrzędne wektora

zadanie-ikonka Zadanie - współrzędne wektora
Dane są punkty A=(3,-5), B=(1,5), C=(-3,2). Znaleźć współrzędne wektorów \vec{AB}, \ \vec{BA},\ \vec{AC},\ \vec{CB}.

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - wektor w układzie współrzędnych
Zaznaczyć w układzie współrzędnych wektory zaczepione w punkcie A=(1,1), określone następująco:
\vec{a}=[1,3]\\ \vec{b}=[-1,2]\\ \vec{c}=2\vec{i}-3\vec{j}\\ \vec{d}=\vec{i}-\vec{j}\\ \vec{e}=5\vec{i}\\ \vec{f}=-\vec{j}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - współrzędne wektora
Znaleźć współrzędne punktu B, jeżeli wiadomo, że A=(2,2) i
a)\ \vec{AB}=[-2,-3]\\ b)\ \vec{AB}=2\vec{i}+4\vec{j}

Pokaż rozwiązanie zadania

zadanie-ikonka Zadanie - współrzędne wektora
Dany jest prostokąt ABCD, gdzie A=(1,1), B=(5,1), C=(5,3), D=(1,3). Znaleźć współrzędne wektorów \vec{AD}, \ \vec{CA},\ \vec{BD}, \ \vec{CD}.

Pokaż rozwiązanie zadania



Inne zagadnienia z tej lekcji

WektorWektor
Co to jest wektor? Jakie ma własności?
Długość wektoraDługość wektora
Jak obliczyć długość dowolnego wektora?
Suma wektorówSuma wektorów
Poznasz metodę trójkąta, metodę graficzną dodawania wektorów, dodawanie i odejmowanie wektorów równoległych.
Odejmowanie wektorówOdejmowanie wektorów
Opis odejmowania wektorów równoległych i nierównoległych.
Iloczyn skalarnyIloczyn skalarny
Co to jest iloczyn skalarny dwóch wektorów i jakie ma własności?
Mnożenie wektora przez liczbęMnożenie wektora przez liczbę
Definicja mnożenia wektora przez liczbę.
Iloczyn wektorowyIloczyn wektorowy
Iloczyn wektorowy - definicja i przykłady
Reguła śruby prawoskrętnejReguła śruby prawoskrętnej
Reguła śruby prawoskrętnej



© Media Nauka 2008-2018 r.