Współrzędne wektora

Współrzędne wektora

Współrzędne wektora to miary wektorów składowych.

Wersor

To wektor jednostkowy, wektor o długości jednostkowej, którego zwrot jest zgodny ze zwrotem prostej, na której leży.

Zaczniemy od wyjaśnienia, co to jest wektor jednostkowy (wersor).

Wektor jednostkowy — wersor

Dana jest prosta, na której zaznaczono dwa punkty: \(O\) i \(A\). Zwrot prostej jest od \(O\) do \(A\). Jeżeli przyjmiemy, że odcinek \(OA\) jest jednostką długości (\(OA=1\)), to wektor \(\vec{OA}\) nazywać będziemy wersorem (wektorem jednostkowym).

Wersory układu kartezjańskiego zwykło się oznaczać przez \(\vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k}\).

wersor wersory w układzie współrzędnym

Miara wektora

Miarą wektora \(\vec{a}\) na osi \(OX\) nazywać będziemy liczbę \(a_x\) równą długości tego wektora wziętej ze znakiem „plus”, jeżeli zwrot wektora jest zgodny ze zwrotem osi \(OX\), natomiast ze znakiem „minus”, jeżeli zwrot wektora jest przeciwny do zwrotu osi \(OX\).

Przykład

wektory - ilustracja

W zilustrowanym powyżej przykładzie miarą wektora \(\vec{a}\) jest liczba \(-3\), natomiast miarą wektora \(\vec{b}\) jest liczba \(2\).

Współrzędne wektora

Współrzędne wektora zdefiniujemy jako miary wszystkich wektorów składowych.

Współrzędne wektora zapisujemy w nawiasach kwadratowych.

Przykład 1

miara wektora - ilustracja

W powyższym przykładzie \(\vec{a}=[4,1]\), gdyż miarą składowej \(\vec{a_x}\) jest liczba \(4\), natomiast miarą składowej \(\vec{a_y}\) jest liczba \(1\).

Przykład 2

wektory w układzie współrzędnym - przykłady

Wektory zilustrowane na powyższym rysunku mają następujące współrzędne:

\(\vec{a}=[2,3]\)

\(\vec{b}=[-1,-1]\)

\(\vec{c}=[2,-2]\)

\(\vec{d}=[2,1]\)

Własności współrzędnych wektorów

Twierdzenie 1

Jeśli wektor \(\vec{a}=\vec{AB}\) leży na osi \(OX\), to zachodzi równość: \(a_x=x_B-x_A\).

rysunek

Przykład

Punkt \(A\) ma współrzędną równą \(-2\) na osi \(OX\), punkt \(B\) ma współrzędną \(2\). Jaka jest współrzędna wektora \(\vec{a}=\vec{AB}\)?

Korzystamy z powyższego twierdzenia i mamy: \(a_x=x_B-x_A=2-(-2)=4\)

Twierdzenie 2

Dowolny wektor na płaszczyźnie można przedstawić jako sumę wersorów układu pomnożonych przez odpowiednie współrzędne wektora: \(\vec{v}=v_x\vec{i}+v_y\vec{j}\)

Twierdzenie 3

Dowolny wektor w przestrzeni można przedstawić jako sumę wersorów układu pomnożonych przez odpowiednie współrzędne wektora: \(vec{v}=v_x\vec{i}+v_y\vec{j}+v_z\vec{k}\)

Przykład

Wektor \(\vec{a}=[-2,1,8]\) można przedstawić jako \(\vec{a}=-2\vec{i}+\vec{j}+8\vec{k}\).

Twierdzenie 4

Jeżeli wektor \(\vec{a}=\vec{AB}\) leży na płaszczyźnie \(OXY\), to zachodzą równości:

\(a_x=x_B-x_A\)

\(a_y=y_B-y_A\)

Powyższe twierdzenie pozwala nam wyznaczyć w prosty sposób współrzędne wektora, gdy dane są współrzędne jego początku i końca.

Przykład

Dane są punkty \(A=(3,-1)\) oraz \(B=(-2,4)\). Wyznaczyć współrzędne wektora \(\vec{a}=\vec{AB}\).

Korzystamy z powyższego twierdzenia i mamy:

\(a_x=x_B-x_A=-2-3=-5\)

\(a_y=y_B-y_A=4-(-1)=5\)

Mamy więc: \(\vec{a}=[-5,5]\)

Zilustrujemy to jeszcze rysunkiem.

ilustracja

Działania na współrzędnych wektorów

Jeżeli \(\vec{a}=[a_x,a_y],\ \vec{b}=[b_x,b_y], \ k\in \mathbb{R}\), to:

\(\vec{a}+\vec{b}=[a_x+b_x,a_y+b_y]\)

\(\vec{a}-\vec{b}=[a_x-b_x,a_y-b_y]\)

\(k\vec{a}=[ka_x,ka_y]\)

Przykłady

Dane są wektory: \(\vec{a}=[3,4], \ \vec{b}=[1,2]\).

Obliczamy sumę wektorów: \(\vec{a}+\vec{b}=[3+1,4+2]=[4,6]\)
Obliczamy różnicę wektorów: \(\vec{a}-\vec{b}=[3-1,4-2]=[2,2]\)
Obliczamy różnicę wektorów: \(\vec{b}-\vec{a}=[1-3,2-4]=[-2,-2]\)
Obliczamy iloczyn wektora przez liczbę \(k=2\): \(2\vec{a}=2\cdot [3,4]=[2\cdot 3,2\cdot 4]=[6,8]\)

Jeśli wektor jest wyrażony jako suma wersorów układu mnożonych przez odpowiednie współrzędne wektorów, wówczas sumując je lub odejmując od siebie, sumujemy lub odejmujemy odpowiednie składowe wektorów, grupując je.

Przykład

Dane są wektory:

\(\vec{a}=5\vec{i}-2\vec{j}, \vec{b}=-2\vec{i}+2\vec{j}\)

Znaleźć sumę tych wektorów.

Wykonujemy więc dodawanie:

\(\vec{a}+\vec{b}=5\vec{i}-2\vec{j}+(-2\vec{i}+2\vec{j})=5\vec{i}-2\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{j}=\)

\( =(5-2)\vec{i}+(-2+2)\vec{j}=3\vec{i}+0\cdot \vec{j}=3\vec{i}\)

Pytania

Jak obliczyć współrzędne wektora?

Wyżej opisujemy analityczny sposób określania współrzędnych wektora. Tu pozwolimy sobie na bardziej swobodny opis. Spójrzmy na rysunek.

ilustracja

Aby obliczyć współrzędne naszego wektora \(\vec{a}=\vec{AB}\) wystarczy naszkicować sobie jego składowe i określić ich długość, a znak przyjąć zgodny ze zwrotem osi. Tu składowa \(x\) ma \(5\) jednostek, jest zwrócona przeciwnie do osi \(OX\), a składowa \(y\) ma również \(5\) jednostek, a jej zwrot jest zgodny z osią \(OY\). Stąd nasz wektor ma współrzędne \([-5,5]\).

Jaki jest wzór na długość wektora?

Długość wektora omawiamy w kolejnym artykule, tu jednak podamy odpowiednie wzory:

\(|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\)

\(|\vec{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)