Współrzędne wektora
Współrzędne wektora
To miary wektorów składowych.
Wersor
To wektor jednostkowy; wektor o długości jednostkowej, którego zwrot jest zgodny ze zwrotem prostej, na której leży.Zaczniemy od wyjaśnienia, co to jest wektor jednostkowy (wersor).
Wektor jednostkowy - wersor
Dana jest prosta, na której zaznaczono dwa punkty: O i A. Zwrot prostej jest od O do A. Jeżeli przyjmiemy, że odcinek OA jest jednostką długości (OA=1), to wektor
nazywać będziemy wersorem (wektorem jednostkowym). Wersory układu kartezjańskiego zwykło się oznaczać przez
.
Miara wektora
Miarą wektora
na osi OX nazywać będziemy liczbę ax równą długości tego wektora wziętej ze znakiem "plus", jeżeli zwrot wektora jest zgodny ze zwrotem osi OX, natomiast ze znakiem "minus", jeżeli zwrot wektora jest przeciwny do zwrotu osi OX.
Przykład

W zilustrowanym przykładzie miarą wektora jest liczba -3, natomiast miarą wektora
jest liczba 2.
Współrzędne wektora - definicja
Współrzędne wektora zdefiniujemy jako miary wszystkich wektorów składowych.
Współrzędne wektora zapisujemy w nawiasach kwadratowych.
Przykłady
Przykład
W powyższym przykładzie , gdyż miarą składowej
jest liczba 4, natomiast miarą składowej
jest liczba 1.
Przykład
Wektory zilustrowane na powyższym rysunku mają następujące współrzędne:
Własności współrzędnych wektorów
Twierdzenie
Jeśli wektor leży na osi OX, to zachodzi równość:

Przykład
Punkt A ma współrzędną -2, punkt B ma współrzędną 2. Jaka jest współrzędna wektora ?
Korzystamy z powyższego twierdzenia i mamy:
Twierdzenie
Dowolny wektor na płaszczyźnie można przedstawić jako sumę wersorów układu pomnożonych przez odpowiednie współrzędne wektora:
Twierdzenie
Dowolny wektor w przestrzeni można przedstawić jako sumę wersorów układu pomnożonych przez odpowiednie współrzędne wektora:
Przykład
Wektor można przedstawić jako
Twierdzenie
Jeżeli wektor leży na płaszczyźnie OXY, to zachodzą równości:
Powyższe twierdzenie pozwala nam wyznaczyć w prosty sposób współrzędne wektora, gdy dane są współrzędne jego początku i końca.
Przykład
Dane są punkty A=(3,-1) oraz B=(-2,4). Wyznaczyć współrzędne wektora
Korzystamy z powyższego twierdzenia i mamy:
Mamy więc:
Zilustrujemy to jeszcze rysunkiem.

Ćwiczenia
Symulacja
Poniższa symulacja pozwala obserwować jak zmieniają się współrzędne wektora w zależności od jego położenia w układzie współrzędnych.
Pytania
Jak obliczyć współrzędne wektora?
Wyżej opisujemy analityczny sposób określania współrzędnych wektora. Tu pozwolimy sobie na bardziej swobodny opis. Spójrzmy na rysunek.
Aby obliczyć współrzędne naszego wektora wystarczy naszkicować sobie jego składowe i określić ich długość, a znak przyjąć zgodny ze zwrotem osi. Tu składowa x ma 5 jednostek, jest zwrócona przeciwnie do osi OX, a składowa y ma również 5 jednostek, a jej zwrot jest zgodny z osią OY. Stąd nasz wektor ma współrzędne [-5,5].
Jaki jest wzór na długość wektora?
Długość wektora omawiamy w kolejnym artykule, tu jednak podamy odpowiednie wzory:
Działania na współrzędnych wektorów
Twierdzenie
Jeżeli , to:
Przykład
Dane są wektory:.
Obliczamy sumę wektorów:
Obliczamy różnicę wektorów:
Obliczamy różnicę wektorów:
Obliczamy iloczyn wektora przez liczbę k=2:
Jeśli wektor jest wyrażony jako suma wersorów układu mnożonych przez odpowiednie współrzędne wektorów wówczas sumując je lub odejmując od siebie, sumujemy lub odejmujemy odpowiednie składowe wektorów, grupując je.
Przykład
Dane są wektory:
Znaleźć sumę tych wektorów.
Wykonujemy więc dodawanie:
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Dane są punkty A=(3,-5), B=(1,5), C=(-3,2). Znaleźć współrzędne wektorów
Zadanie nr 2.
Zaznaczyć w układzie współrzędnych wektory zaczepione w punkcie A=(1,1), określone następująco:![\vec{a}=[1,3]\\ \vec{b}=[-1,2]\\ \vec{c}=2\vec{i}-3\vec{j}\\ \vec{d}=\vec{i}-\vec{j}\\ \vec{e}=5\vec{i}\\ \vec{f}=-\vec{j}](matematyka/wzory/zad663/1.gif)
Zadanie nr 4.
Dany jest prostokąt ABCD, gdzie A=(1,1), B=(5,1), C=(5,3), D=(1,3). Znaleźć współrzędne wektorów
Inne zagadnienia z tej lekcji
© medianauka.pl, 2008-04-23, ART-22