Nauka » Matematyka » Równania trygonometryczne

Zadanie maturalne nr 7, matura 2018 (poziom rozszerzony)

Rozwiąż równanie 2cos²x+3sinx=0 w przedziale < -π/2; 3π/2>.

Rozwiązanie zadania

Dane jest równanie:

$ 2cos^2x+3sinx=0 $

Dziedziną tego równania jest przedział $ ⟨-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}⟩$.

Skorzystajmy ze wzoru na jedynkę trygonometryczną:

$ sin^x+cos^2x=1$

Zatem

$ 2(1-sin^2x)+3sinx=0 $

$ 2-2sin^2x+3sinx=0 $

$ -2sin^2x+3sinx+2=0 $

Dokonajmy podstawienia:

$ t=sinx $

przy czym skoro

$ x\in ⟨-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}⟩$

to:

$ t\in ⟨-1; 1⟩$

$ sin(-\frac{\pi}{2})=-1$

$ sin(\frac{3\pi}{2})=1$.

Otrzymujemy zwykłe równanie kwadratowe:

$ -2t^2+3t+2=0$

$ \Delta=25$

$ t_1=\frac{-3-5}{-4}=2\notin D$

$ t_2=\frac{-3+5}{-4}=-\frac{1}{2}$

Znajdujemy rozwiązanie równania

$ sinx=-\frac{1}{2}$

w przedziale

$ ⟨-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}⟩$

rysunek

Na wykresie zaznaczono wykres y=sinx, rozpatrywany przedział i wykres y=-1/2. Widać dwa rozwiązania:

Odpowiedź

$ x\in \lbrace -\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\rbrace$

Zadania podobne

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a)

b) $\sqrt{2}\sin{2x}=1$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie - równanie trygonometryczne
Rozwiązać równanie:
a) $ctg3x=\sqrt{3}$
b) $2\cos{3x}=\sqrt{2}$
c) $\cos{5x}=\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania

Zadanie maturalne nr 4, matura 2015 (poziom rozszerzony)
Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania

Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.