Zadanie maturalne nr 7, matura 2018 (poziom rozszerzony)
Rozwiąż równanie 2cos2x+3sinx=0 w przedziale < -π/2; 3π/2>.
Rozwiązanie zadania
Dane jest równanie:
\( 2cos^2x+3sinx=0 \)
Dziedziną tego równania jest przedział \( 〈-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}〉\).
Skorzystajmy ze wzoru na jedynkę trygonometryczną:
\( sin^x+cos^2x=1\)
Zatem
\( 2(1-sin^2x)+3sinx=0 \)
\( 2-2sin^2x+3sinx=0 \)
\( -2sin^2x+3sinx+2=0 \)
Dokonajmy podstawienia:
\( t=sinx \)
przy czym skoro
\( x\in 〈-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}〉\)
to:
\( t\in 〈-1; 1〉\)
bo
\( sin(-\frac{\pi}{2})=-1\)
\( sin(\frac{3\pi}{2})=1\).
Otrzymujemy zwykłe równanie kwadratowe:
\( -2t^2+3t+2=0\)
\( \Delta=25\)
\( t_1=\frac{-3-5}{-4}=2\notin D\)
\( t_2=\frac{-3+5}{-4}=-\frac{1}{2}\)
Znajdujemy rozwiązanie równania
\( sinx=-\frac{1}{2}\)
w przedziale
\( 〈-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}〉\)
Na wykresie zaznaczono wykres y=sinx, rozpatrywany przedział i wykres y=-1/2. Widać dwa rozwiązania:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-01-12, ZAD-4640
Zadania podobne

Rozwiązać równanie:
a)

b)

Pokaż rozwiązanie zadania

Rozwiązać równanie:
a)

b)

c)

Pokaż rozwiązanie zadania

Równanie 2sinx+3cosx=6 w przedziale (0,2π)
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
Pokaż rozwiązanie zadania