Zadanie maturalne nr 11, matura 2022 - poziom rozszerzony

Rozwiązanie zadania

Dane jest równanie:

\(\sin{x}+\sin{2x}+\sin{3x}=0\)

\(\sin{x}+\sin{2x}+\sin{x+2x}=0\)

Korzystamy ze wzoru na sinus sumy kątów:

\(\sin{x}+\sin{2x}+\sin{x}\cos{2x}+\cos{x}\sin{2x}=0\)

Korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta:

\(\sin{x}+2\sin{x}\cos{x}+\sin{x}\cos{2x}+ \cos{x}\cdot 2\sin{x}\cos{x}=0\)

Wyłączamy \(\sin{x}\) przed nawias:

\(\sin{x}(1+2\cos{x}+\cos{2x}+ 2\cos^2{x})=0\)

Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:

\(\sin{x}(1+2\cos{x}+\cos^2{x}-\sin^2{x}+ 2\cos^2{x})=0\)

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

\(\sin{x}(1+2\cos{x}+\cos^2{x}-(1-\cos^2{x})+ 2\cos^2{x})=0\)

\(\sin{x}(1+2\cos{x}+\cos^2{x}-1+\cos^2{x}+ 2\cos^2{x})=0\)

\(\sin{x}(2\cos{x}+4\cos^2{x})=0\)

\(2\sin{x}\cdot \cos{x}\cdot (1+2\cos{x})=0/:2\)

\(\sin{x}\cdot \cos{x}\cdot (1+2\cos{x})=0\)

\(sin{x}=0\) lub \(cos{x}=0\) lub \(cos{x}=-\frac{1}{2}\)

\(x=k\pi\) lub \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) lub \(x-\frac{2}{3}\pi+2k\pi\) lub \(x-\frac{4}{3}\pi+2k\pi\)

Zaś rozwiązania tego równania w przedziale \(\langle 0,\pi \rangle\) są następujące

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2023-04-29, ZAD-4889

Zadania podobne

Rozwiązać równanie:

a) \(tg2x=1\)

b) \(\sqrt{2}\sin{2x}=1\)

Rozwiązać równanie:

a) \(ctg3x=\sqrt{3}\)

b) \(2\cos{3x}=\sqrt{2}\)

c) \(\cos{5x}=\sqrt{2}\)

Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Rozwiąż równanie \(2\cos^2{x}+3\sin{x}=0\) w przedziale \(\langle -\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\rangle\).